數(shù)學七年級北師大版 52 探索軸對稱的性質(zhì)將軍飲馬模型

1、將軍飲馬模型一、背景知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營B開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案并不難，據(jù)說海倫略加思索就解決了它從此以后，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今【問題原型】將軍飲馬 造橋選址 費馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短； 三角形兩邊三邊關(guān)系； 軸對稱 ；平移；【解題思路】找對稱點，實現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動型：兩定點到一動點的距離和最小例1：在定直線l上找一個動點P，

2、使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB最小.作法：連接AB，與直線l的交點Q，Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：兩點之間線段最短。證明：連接AB，與直線l的交點Q，P為直線l上任意一點，在PAB中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PBAB(當且僅當PQ重合時取)例2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之和最小，即PA+PB的和最小.關(guān)鍵：找對稱點作法：作定點B關(guān)于定直線l的對稱點C，連接AC，與直線l的交點Q即為所要尋找的點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理：兩點之間，線段最短證明

3、：連接AC，與直線l的交點Q，P為直線l上任意一點，在PAC中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PCAC(當且僅當PQ重合時取)2.兩動一定型例3：在MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得BAC周長最短作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A，作點A關(guān)于ON的對稱點A ，連接A A，與OM交于點B，與ON交于點C，連接AB，AC，ABC即為所求原理：兩點之間，線段最短例4：在MON的內(nèi)部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A，作點B關(guān)于ON的對稱點B ，連接A B，與OM交于點C，與ON交于點D，

4、連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求原理：兩點之間，線段最短3. 兩定兩動型最值例5：已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等于定長d（動點M位于動點N左側(cè)），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定長的動點問題一定要考慮平移作法一：將點A向右平移長度d得到點A， 作A關(guān)于直線l的對稱點A，連接AB，交直線l于點N，將點N向左平移長度d，得到點M。作法二：作點A關(guān)于直線l的對稱點A1，將點A1向右平移長度d得到點A2，連接A2 B，交直線l于點Q，將點Q向左平移長度d，得到點Q。原理：兩點之間，線段最短，最小值為AB+MN例6：（造橋選址）將軍每日需騎馬從軍營出

5、發(fā)，去河岸對側(cè)的瞭望臺觀察敵情，已知河流的寬度為30米，請問，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？例6：直線l1l2，在直線l1上找一個點C，直線l2上找一個點D，使得CDl2, 且ACBDCD最短作法：將點A沿CD方向向下平移CD長度d至點A，連接AB，交l2于點D，過點D作DCl2于點C，連接AC則橋CD即為所求此時最小值為AB+CD原理：兩點之間，線段最短，4. 垂線段最短型例7：在MON的內(nèi)部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得ABBC最短原理：垂線段最短點A是定點，OM，ON是定線，點B、點C是OM、ON上要找的點，是動點作法：作點A關(guān)于OM的對稱點A，過點A作AC

6、ON，交OM于點B，B、C即為所求。例8：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與B的距離之差最小，即PA-PB最小.作法：連接AB，作AB的中垂線與l的交點，即為所求點P此時|PA-PB |=0原理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等例9：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB |最大作法：延長BA交l于點C，點C即為所求，即點B、A、C三點共線時，最大值為AB的長度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊例10：在定直線l上找一個動點C，使動點C到兩個定點A與B的距離之差最大，即|PA-PB|最大作法：作點B關(guān)于l的對稱點B，連接AB，交交l于點P即為所求，最大值為AB的長度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊典型例題 三角形1如圖，在等邊ABC中，AB = 6，ADBC，E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE = 2，求EM+EC的最小值解