數(shù)形結(jié)合解最值

1、 數(shù)形結(jié)合解最值四川省廣元市寶輪中學(xué) 唐明友“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”直觀，“形”結(jié)合于“數(shù)”簡(jiǎn)便，兩者之間相輔相成，相互轉(zhuǎn)化，“數(shù)”和“形”的這種辯證關(guān)系就是數(shù)形結(jié)合思想。本文例析運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決最值問(wèn)題。一.結(jié)合數(shù)軸例1.若a<b<c，試求函數(shù)y=+的最小值。分析與解：本題若用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”解，且a、b、c不是具體的數(shù)，計(jì)算起來(lái)非常麻煩。根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，在數(shù)軸上、分別表示線段AX、BX、CX的長(zhǎng)?，F(xiàn)在要求+的最小值，從幾何意義上理解，就是在數(shù)軸上找一點(diǎn)X，使點(diǎn)X到A、B、C三點(diǎn)距離之和最小。由圖知，當(dāng)X與點(diǎn)B重合時(shí)，即當(dāng)x=b時(shí)該距離之和最小，y的最小值為ca。說(shuō)明：如果

2、a、b、c是具體的常數(shù)，還可通過(guò)分類討論，畫出分段函數(shù)的圖像，再根據(jù)圖像找出最小值。二.結(jié)合直角三角形例2.求代數(shù)式+的最小值分析與解：僅從代數(shù)角度思考顯然難以奏效，觀察到兩個(gè)根號(hào)下都是平方和的形式，自然聯(lián)想到勾股定理，進(jìn)而可考慮構(gòu)造RtACP和RtBDP。如圖，ACl于C,BDl于D,AC=2,BD=3,CD=12,P在直線l上，且PC=a(由題意a為負(fù)數(shù)或0均不是最小的，可設(shè)a>0),則PA+PB=+，因此，本題化為“在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小”。為此，取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AEBD交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PA、AB，則原式=PA+PB=PA+PBAB=13

3、因此，原式的最小值是13。說(shuō)明：本題亦能構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系，求代數(shù)式的最小值，相當(dāng)于要在x軸上求一點(diǎn)（a,0）,使它到（2,0）和（12，3）這兩點(diǎn)的距離的和最短，請(qǐng)同學(xué)們?nèi)ニ伎?。?結(jié)合二次函數(shù)例3.如圖，在ABC中，AB+AC=12，ADBC于D，且AD=3，O是ABC的外接圓，當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，O的面積最大？并求O的最大面積。分析和解：由于ABC形狀不確定，O的面積也會(huì)隨之變化，應(yīng)設(shè)法先找出AB與半徑的關(guān)系，再利用二次函數(shù)求最值。作直徑AE，連接BE，則ABE=90,又由ADBC得ADC=90,即ABE=ADC=90，而E=C，ADCABE=設(shè)AB=x，O的半徑為y，則有=,整理得：y

4、=-x+2x=-(x-6)+6(3x9)因此當(dāng)AB的長(zhǎng)為6時(shí)，O的面積最大，其最大面積為36。說(shuō)明:運(yùn)用二次函數(shù)求最值時(shí)，有時(shí)自變量不一定取頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)函數(shù)獲得最值，要注意考慮自變量的取值范圍。四.結(jié)合一次函數(shù)例4.為完成一次實(shí)地測(cè)量任務(wù)，夏令營(yíng)的同學(xué)們成立了一支測(cè)繪隊(duì)，需要24人參加測(cè)量，20人參加計(jì)算，16人參加繪圖。測(cè)繪隊(duì)中很多人是多面手，有8人既參加了測(cè)量又參加了計(jì)算，有6人既參加了測(cè)量又參加了繪圖，有4人既參加了計(jì)算又參加了繪圖。另有一些人三項(xiàng)都參加了。請(qǐng)問(wèn)這支測(cè)繪隊(duì)至少有多少人？分析和解:讀罷本題有很多人都搞糊涂了吧，如果采用圖示表其意（稱為韋恩圖）將會(huì)一目了然。設(shè)三項(xiàng)工作都參加

5、的人數(shù)為x，總?cè)藬?shù)為y,列出一次函數(shù)為：y=(10-x)+(8-x)+（6-x）+4+6+8+x,整理得y=42-2x，0x6,3042-2x42,亦即30y42因此，測(cè)繪隊(duì)人數(shù)最少為30人，此時(shí)x=6說(shuō)明：圖示分析法可使應(yīng)用題中的已知量和未知量的關(guān)系更加直觀清晰，解決問(wèn)題方便快捷，同學(xué)們應(yīng)能熟練運(yùn)用。五.結(jié)合不等式例5.A、B、C三個(gè)工廠如圖所示，它們都生產(chǎn)同一種產(chǎn)品。已知A廠年產(chǎn)量是B廠年產(chǎn)量的，B廠年產(chǎn)量是C廠年產(chǎn)量的?，F(xiàn)在要選一地址建一個(gè)公用倉(cāng)庫(kù)，把三個(gè)工廠的產(chǎn)品都運(yùn)放在該倉(cāng)庫(kù)中，并且總費(fèi)用最省，問(wèn)倉(cāng)庫(kù)應(yīng)選在何處？并說(shuō)明你的理由。分析和解:總運(yùn)費(fèi)應(yīng)與公路里程和產(chǎn)量有關(guān)，設(shè)AB=c,AC

6、=b,BC=a，由題意又設(shè)A廠產(chǎn)量為2m,B廠產(chǎn)量為3m,C廠產(chǎn)量為5m。本題答案是：倉(cāng)庫(kù)地址應(yīng)選在C處。理由如下：假定倉(cāng)庫(kù)另選一地O，設(shè)AO=x,BO=y,CO=z,則倉(cāng)庫(kù)在O處時(shí)總費(fèi)用可表示為:2mx+3my+5mz 倉(cāng)庫(kù)在C處時(shí)，總費(fèi)用可表示為：2mb+3ma x+zb,y+za,2mx+2mz2mb,3my+3mz3ma,將此兩式相加得：2mx+3my+5mz2mb+3ma 由知，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)O與C重合時(shí)等號(hào)成立，因此，公用倉(cāng)庫(kù)選在C處，總費(fèi)用最省。說(shuō)明：對(duì)于x+zb,y+za，這里不但考慮了三角形中兩邊之和大于第三邊，而且還考慮了兩點(diǎn)之間線段最短。六.結(jié)合一元二次方程根的判別式例6.如

7、圖，在矩形ADPE中，PD=3，PE=7,BC是過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線，與AD、AE延長(zhǎng)線交于B、C，求ABC面積的最小值。分析和解：因直線BC是運(yùn)動(dòng)的，它與直線AD所成夾角也是變化的。設(shè)DBP=，則EPC=,在RtBDP中，BD=，又在RtCEP中，CE=7tanS=AB×AC=(+7)(7tan+3),整理得49tan+2(21-S)tan+9=0,又因tan是實(shí)數(shù)，=4(21-S)-4×49×90，即S（S-42）0，S>0,S42因此，ABC面積的最小值為42。說(shuō)明：運(yùn)用一元二次方程根的判別式的不等關(guān)系求最值，是一種常用方法，同學(xué)們應(yīng)予以掌握。七.結(jié)合立體圖

8、形的展開圖例7.長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中，AB=3,BC=4,CC=5,一只小蟲由A處出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到C，這時(shí)小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)度是多少？分析與解：因?yàn)樾∠x是沿長(zhǎng)方體表面爬行的，所以必須將爬行的面展開到一個(gè)平面內(nèi)，方可找到最短路線。共可分三種情況：（1）經(jīng)過(guò)面ABCD、DCCD到C，如圖（1），在RtABC中有：AC=；（2）經(jīng)過(guò)面ADDA、ADCB到C，如圖（2），在RtADC中有：AC=；（3）經(jīng)過(guò)面AABB、BBCC到C，如圖（3），在RtAAC中有：AC=比較三種結(jié)果，顯然小蟲爬行的最短路徑的長(zhǎng)度為。例8.如圖，有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC，母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B沿圓錐表面去偷襲老鼠，求小貓經(jīng)過(guò)的最短路線長(zhǎng)。分析與解：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，設(shè)其圓心角的度數(shù)為n,由題意知圓錐底面半徑為×6=3，=2×3，n=180，即這個(gè)扇形是半圓AD過(guò)A作AEAB交半圓于E，取