扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

1、第7講 教學(xué)方案扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)基本內(nèi)容扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)。教學(xué)目的1、 掌握外力偶矩的計(jì)算方法，扭矩的計(jì)算和扭矩圖的繪制。2、 理解薄壁圓筒的定義，掌握薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上剪應(yīng)力的計(jì)算。3、 深入理解剪應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律。4、 剪切變形能和比能的定義和計(jì)算。重點(diǎn)、難點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)：外力偶矩的計(jì)算和扭矩圖的繪制，剪應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律。本節(jié)難點(diǎn)：外力偶矩的計(jì)算，剪應(yīng)力互等定理的理解。第三章 扭轉(zhuǎn)§3-1 概述工程上的軸是承受扭轉(zhuǎn)變形的典型構(gòu)件，如圖4-1所示的攻絲絲錐，圖4-2所示的橋式起重機(jī)的傳動(dòng)軸以及齒輪軸等。扭轉(zhuǎn)有如下特點(diǎn)：1受力特點(diǎn)：在桿件兩

2、端垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一對大小相等，方向相反的外力偶扭轉(zhuǎn)力偶。其相應(yīng)內(nèi)力分量稱為扭矩。2變形特點(diǎn)：橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)，出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)變形。若桿件橫截面上只存在扭矩一個(gè)內(nèi)力分量，則這種受力形式稱為純扭轉(zhuǎn)。§3-2 外力偶矩與扭矩的計(jì)算 扭矩圖1外力偶矩如圖4-3所示的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，通常外力偶矩不是直接給出的，而是通過軸所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速n由下列關(guān)系計(jì)算得到的。 (4-1a)如軸在m作用下勻速轉(zhuǎn)動(dòng)角，則力偶做功為，由功率定義。角速度與轉(zhuǎn)速n（單位為轉(zhuǎn)/分，即r/min）。關(guān)系為（單位為弧度/秒，rad/s）。由于1kW=1000N·m/s，千瓦的功率相當(dāng)于每秒鐘作功，單位為N&

3、#183;m；而外力偶在1秒鐘內(nèi)所作的功為/60 （N·m）由于二者作的功應(yīng)該相等，則有/60 由此便得（4-1）式。式中：傳遞功率（千瓦，kW） 轉(zhuǎn)速（r/min）如果傳遞功率單位是馬力(PS)，由于1PS=735.5 N·m/s，則有 （N·m） (4-1b) 式中：傳遞功率（馬力，PS） 轉(zhuǎn)速（r/min）2扭矩求出外力偶矩后，可進(jìn)而用截面法求扭轉(zhuǎn)內(nèi)力扭矩。如圖4-4所示圓軸，由，從而可得AA截面上扭矩T ， 稱為截面AA上的扭矩；扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定為：按右手螺旋法則，矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)?；蚴噶颗c橫截面外法線方向一致為正，反之為負(fù)。例3-1 傳動(dòng)軸

4、如圖4-5a所示，主動(dòng)輪A輸入功率馬力，從動(dòng)輪B、C、D輸出功率分別為馬力，馬力，軸的轉(zhuǎn)速為。試畫出軸的扭矩圖。解：按外力偶矩公式計(jì)算出各輪上的外力偶矩從受力情況看出，軸在BC、CA、AD三段內(nèi)，各截面上的扭矩是不相等的?，F(xiàn)在用截面法，根據(jù)平衡方程計(jì)算各段內(nèi)的扭矩。在BC段內(nèi)，以表示截面II上的扭矩，并任意地把的方向假設(shè)為如圖4-5b所示。由平衡方程，有 得負(fù)號(hào)說明，實(shí)際扭矩轉(zhuǎn)向與所設(shè)相反。在BC段內(nèi)各截面上的扭矩不變，所以在這一段內(nèi)扭矩圖為一水平線（圖4-5e）。同理，在CA段內(nèi)，由圖4-5c，得 在AD段內(nèi)（圖4-5d），與軸力圖相類似，最后畫出扭矩圖如圖4-5e其中最大扭矩發(fā)生于CA段內(nèi)

5、，且。對上述傳動(dòng)軸，若把主動(dòng)輪A安置于軸的一端（現(xiàn)為右端），則軸的扭矩圖如圖4-6所示。這時(shí)，軸的最大扭矩。顯然單從受力角度，圖4-5所示輪子布局比圖4-6合理。§3-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 當(dāng)空心圓筒的壁厚t與平均直徑D（即2r）之比時(shí)稱為薄壁圓筒.1剪應(yīng)力與剪切互等定理若在薄壁圓筒的外表面畫上一系列互相平行的縱向直線和橫向圓周線，將其分成一個(gè)個(gè)小方格，其中代表性的一個(gè)小方格如圖4-7a所示。這時(shí)使筒在外力偶作用下扭轉(zhuǎn)，扭轉(zhuǎn)后相鄰圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)過一微小轉(zhuǎn)角?？v線均傾斜一微小傾角從而使方格變成菱形(見圖4-7b)，但圓筒沿軸線及周線的長度都沒有變化。這表明，當(dāng)薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面和

6、包含軸線的縱向截面上都沒有正應(yīng)力，橫截面上只有切于截面的剪應(yīng)力，因?yàn)橥脖诘暮穸群苄?，可以認(rèn)為沿筒壁厚度剪應(yīng)力不變，又根據(jù)圓截面的軸對稱性，橫截面上的剪應(yīng)力沿圓環(huán)處處相等。根據(jù)如圖4-7c所示部分的平衡方程，有 （4-2）如圖4-7d是從薄壁圓筒上取出的相應(yīng)于4-7a上小方塊的單元體，它的厚度為壁厚t，寬度和高度分別為，。當(dāng)薄壁圓筒受扭時(shí)，此單元體分別相應(yīng)于p-p,q-q圓周面的左、右側(cè)面上有剪應(yīng)力，因此在這兩個(gè)側(cè)面上有剪力，而且這兩個(gè)側(cè)面上剪力大小相等而方向相反，形成一個(gè)力偶，其力偶矩為。為了平衡這一力偶，上、下水平面上也必須有一對剪應(yīng)力作用（據(jù)，也應(yīng)大小相等，方向相反）。對整個(gè)單元體，必須滿

7、足，即所以 （4-3）上式表明，在一對相互垂直的微面上，垂直于交線的剪應(yīng)力應(yīng)大小相等，方向共同指向或背離交線。這就是剪應(yīng)力互等定理。圖表-7d所示單元體稱純剪切單無體。2剪應(yīng)變與剪切胡克定律與圖4-7b中小方格（平行四邊形）相對應(yīng)，圖4-7e中單元體的相對兩側(cè)面發(fā)生微小的相對錯(cuò)動(dòng)，使原來互相垂直的兩個(gè)棱邊的夾角改變了一個(gè)微量，此直角的改變量稱為剪應(yīng)變或角應(yīng)變。如圖4-7b所示若為圓筒兩端的相對扭轉(zhuǎn)角，為圓筒的長度，則剪應(yīng)變?yōu)?（4-4）薄圓筒扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)表明，在彈性范圍內(nèi)，剪應(yīng)變與剪應(yīng)力成正比，即 （4-5）式（4-5）為剪切胡克定律；稱為材料剪切彈性模量，單位：GPa。對各向同性材料，彈性常數(shù)三者有關(guān)系 （4-6）3變形能與比能若從薄壁圓筒中取出受純剪切的單元體如圖4-8所示，由于變形的相對性，可設(shè)單元體左側(cè)面不動(dòng)，右側(cè)面上的剪力由零逐漸增至，右側(cè)面因錯(cuò)動(dòng)沿方向的位移由零增至。因此剪力所作的功為等于單元體內(nèi)儲(chǔ)存的變形能，故剪切單元體的變形能為 （4-7）其中。以單元體的體積除得單位體積內(nèi)的剪