數(shù)值分析公式

1、第一章 非線性方程和方程組的數(shù)值解法1）二分法的基本原理，誤差：2）迭代法收斂階：，若則要求3）單點(diǎn)迭代收斂定理：定理一：若當(dāng)時(shí)，且，則迭代格式收斂于唯一的根；定理二：設(shè)滿(mǎn)足：時(shí)，則對(duì)任意初值迭代收斂，且：定理三：設(shè)在的鄰域內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，則迭代格式具有局部收斂性；定理四：假設(shè)在根的鄰域內(nèi)充分可導(dǎo)，則迭代格式是P階收斂的ó（Taylor展開(kāi)證明）4）Newton迭代法：，平方收斂5）Newton迭代法收斂定理：設(shè)在有根區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足：；：；：初值使得；則Newton迭代法收斂于根。6）多點(diǎn)迭代法：收斂階：7）Newton迭代法求重根（收斂仍為線性收斂），對(duì)Newt

2、on法進(jìn)行修改：已知根的重?cái)?shù)r，（平方收斂）：未知根的重?cái)?shù)：，為的重根，則為的單根。8）迭代加速收斂方法：當(dāng)不動(dòng)點(diǎn)迭代函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，平方收斂9）確定根的重?cái)?shù)：當(dāng)Newton迭代法收斂較慢時(shí)，表明方程有重根10）擬Newton法其中11）秩1擬Newton法：Broyden秩1方法第二章 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法1）向量范數(shù)：非負(fù)性：，且的充要條件是；：齊次性：三角不等式：1范數(shù)：2范數(shù)：范數(shù)：p范數(shù)：2）矩陣范數(shù)：非負(fù)性：，且的充要條件是；：齊次性：三角不等式：乘法不等式：F范數(shù)：1范數(shù)：，列和最大范數(shù)：，行和最大2范數(shù)：，其中，為的特征值，3）Gauss消元法（上三角陣）：；

3、Gauss-Jordan消元法（對(duì)角陣）：；列選主元消元法：在消元之前進(jìn)行行變換，將該列最大元素?fù)Q置對(duì)角線主元位置；（可用于求逆矩陣）全選主元消元法：全矩陣搜索矩陣最大元素進(jìn)行行變換和列變換至其處于對(duì)角線主元位置；4）三角分解法：Doolittle分解法：A=LU，L單位下三角陣，U上三角陣：Crout分解法：A=LU，L下三角陣，U單位上三角陣：Cholesky分解法：A對(duì)稱(chēng)正定，L為單位下三角陣：改進(jìn)的Cholesky分解法：A對(duì)稱(chēng)正定，L為單位下三角陣，D為對(duì)角陣：追趕法：Crout分解法解三對(duì)角方程5）矩陣的條件數(shù)，譜條件數(shù)：6）如果，則為非奇異陣，且7）迭代法基本原理：迭代法：(&#

4、243;，迭代格式收斂)：至少存在一種矩陣的從屬范數(shù)，使8）Jacobi迭代：9）Gauss-Seidel迭代：10）超松弛迭代法11）二次函數(shù)的一維搜索：12）最速下降法：選擇方向進(jìn)行一維搜索：，其中13）共軛梯度法：第一步：最速下降法，第二步：過(guò)選擇的共軛方向，其中，過(guò)以為方向的共軛直線為，進(jìn)行二次函數(shù)的一維搜索14）一般的共軛梯度法：第三章 插值法與數(shù)值逼近1）Lagrange插值：，余項(xiàng)：2）Newton插值：差商表余項(xiàng)3）反插值4）Hermite插值（待定系數(shù)法）其中余項(xiàng)：實(shí)際中使用最廣泛的是三次Hermite插值多項(xiàng)式,即n=1的情況5）分段線性插值：插值基函數(shù)：余項(xiàng)：分段余項(xiàng)6）

5、有理逼近：反差商表有理逼近函數(shù)式：7）正交多項(xiàng)式的計(jì)算：定理：在上帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式序列，若最高項(xiàng)系數(shù)唯一，它便是唯一的，且由以下的遞推公式確定其中定理3.88）連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近：在上，法方程為，其中，均方誤差：最大誤差：9）離散函數(shù)的最佳平方逼近（曲線的最小二乘擬合）：法方程其中第四章 數(shù)值積分1）代數(shù)精度的概念及應(yīng)用：對(duì)r次多項(xiàng)式的精確成立，以及代入法求解系數(shù)。2）Lagrange插值代入Lagrange插值基函數(shù)，其中誤差：定理：數(shù)值積分公式具至少有n次代數(shù)精度ó其是差值型的3）等距節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes公式將拉格朗日差值積分公式中的差值節(jié)點(diǎn)即可，其中；，令（C

6、otes系數(shù)）則：N-C公式的數(shù)值穩(wěn)定性：當(dāng)同號(hào)時(shí)是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定，（其中）N-C公式至少具有n次代數(shù)精度，若n為偶數(shù)，則其代數(shù)精度可提高到n+1次；余項(xiàng)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，4）復(fù)化的N-C公式復(fù)化的梯形公式：將積分區(qū)間n等分，然后在每個(gè)區(qū)間上應(yīng)用梯形公式復(fù)化的Simpson公式：將積分區(qū)間n等分，然后在每個(gè)區(qū)間上應(yīng)用Simpson公式5）Romberg積分法逼近的階為6）求積節(jié)點(diǎn)為n+1的機(jī)械求積公式的代數(shù)精度<=2n+1；7）Gauss求積公式在a，b上與所有次數(shù)<=n的多項(xiàng)式帶權(quán)正交ó上式為Gauss求積公式、8）Gauss-Legendre求積公式給

7、出公式：、······給出區(qū)間1,-1上的求積公式，取的零點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn) 取零點(diǎn)為0 取零點(diǎn)為對(duì)于區(qū)間a,b上的Gauss求積公式，令，則：余項(xiàng)：第五章 乘冪法1）基本定理：定理一：若為A的特征值，為某一多項(xiàng)式，則矩陣的特征值是。特別地，的特征值是。定理二：如果A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則A的所有特征值均為實(shí)數(shù)，且存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；不同特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量正交。定理三：設(shè)A與B為相似矩陣，即存在非奇異陣P，使，則A與B有相同的特征值。定理四：如果A有n個(gè)不同的特征值，則存在一個(gè)相似變換矩陣P，使得，其中D是一個(gè)對(duì)角矩陣，它的對(duì)角線元素

8、就是A的特征值。定理五：對(duì)于任意方陣A，存在一個(gè)酉變矩陣Q，使得，其中T是一個(gè)上三角矩陣，是是共軛轉(zhuǎn)置矩陣。推論：如果A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在一個(gè)正交矩陣Q，使，其中D是對(duì)角矩陣，它的對(duì)角線元素是A的特征值，而Q的各列即為A的特征向量，并且。定理六：設(shè)是以為中心的一些圓，其半徑為，設(shè)，則A的所有特征值都位于區(qū)域內(nèi)。推論：的譜半徑滿(mǎn)足。定理七：設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定陣，則有，其中，x是任意復(fù)向量，表示x的共軛轉(zhuǎn)置。定理八：對(duì)任意非奇異矩陣A，有，其中為A的任一特征值。2）求按模最大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量，3）第六章 常微分方程的數(shù)值解法（差分法）1）離散化方法：Taylor展開(kāi)、差商代替求導(dǎo)、數(shù)值積分2

9、）Euler公式：Euler隱式（1階）改進(jìn)的Euler公式（2階精確解）歐拉預(yù)估-校正格式:3）截?cái)嗾`差和P階精確解：截?cái)嗾`差4）S級(jí)Runge-Kuta法2級(jí)Runge-Kuta法（2階精度）的取值1/2（中點(diǎn)公式）、2/3（Heun公式）、1（改進(jìn)的Euler方法）5）單步法（*）相容性：則（*）式與初值問(wèn)題相容收斂性：對(duì)于固定的當(dāng)時(shí)有則稱(chēng)（*）式收斂數(shù)值穩(wěn)定性：若一數(shù)值方法在上有擾動(dòng)而于以后的各節(jié)點(diǎn)值上產(chǎn)生的偏差均不超過(guò)，則稱(chēng)該方法絕對(duì)收斂試驗(yàn)方程：用以求解絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間絕對(duì)收斂：用單步法求解試驗(yàn)方程，若絕對(duì)收斂則稱(chēng)該方法絕對(duì)穩(wěn)定6）線性多步法德一般格式：局部階段誤差（系數(shù)通過(guò)Taylor展開(kāi)構(gòu)造）其中線性多步法的階數(shù)通過(guò)誤差系數(shù)來(lái)判斷，最高階數(shù)7）線性多步法的收斂性判斷：稱(chēng)線性多步法相容滿(mǎn)足根條件：第一特征多項(xiàng)式，第二特征多項(xiàng)式當(dāng)?shù)谝惶卣鞫囗?xiàng)式所有根的模均不大于1，且模為1的根均是單根，稱(chēng)滿(mǎn)足根條件收斂ó相容且滿(mǎn)足根條件8）數(shù)值穩(wěn)定性判斷：穩(wěn)定多項(xiàng)式（特征多項(xiàng)式）令，是穩(wěn)定多項(xiàng)式的根，：若對(duì)任意有，且當(dāng)時(shí)，為單根，則稱(chēng)為相對(duì)穩(wěn)定區(qū)間；：若對(duì)任意有，則稱(chēng)為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間1、拋物插值基函數(shù)：2、插值余項(xiàng)：3、一階差商： 二階差商：階差商：4、階差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：5、差商插值多項(xiàng)式：6、插值： 其中：，7、分段線