平面的等距變換

1、第二章 平面圖形的對(duì)稱群2.1 平面的等距變換定義1.1 設(shè)是一個(gè)平面，映射f：，則f是一個(gè)雙射。若f是保持平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變，則f是平面的等距變換。記P，Q，。例1.2：（1）平面變換：設(shè)是一個(gè)平面，點(diǎn)O是內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，是一個(gè)以O(shè)為起點(diǎn)的定向量，平移是只平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的映射，t：，滿足，則平移變換是一個(gè)等距變換。（2）反射變換：設(shè)是一個(gè)平面，l是內(nèi)的一條直線。平面關(guān)于l的反射變換是指平面到的一個(gè)映射W：。W把內(nèi)的點(diǎn)P映射到關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，則該變換是一個(gè)等距變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：設(shè)是一個(gè)平面，D是內(nèi)的一個(gè)固定點(diǎn)，定義到自身的一個(gè)映射P: ，P把內(nèi)的任意一點(diǎn)P繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)?/p>

2、向旋轉(zhuǎn)角度后映射到，這個(gè)映射稱為以O(shè)為中心轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)。（4）滑動(dòng)反射變換：將沿直線l做一個(gè)平移，再關(guān)于l做一個(gè)反射，對(duì)的這種操作確定了內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為平面的滑動(dòng)反射變換。（5）恒等變換命題1.3 若f是一個(gè)平面等距變換，則中不同的P，Q，R共線f(P)，f(Q)，f(R)共線，從而若l是一條直線，則f（l）也是一條直線。證明：設(shè)P，Q，R三點(diǎn)共線，選取記號(hào)使得R在P，Q之間，則。假設(shè)f(P)，f(Q)，f(R)不共線，則他們是三角形的頂點(diǎn)，則 + ，這與f是等距變換相矛盾，反之可類似證明。若不是直線，則他有不共線的三點(diǎn)f(P)，f(Q)，f(R)，其中P，Q，R共線于l上矛盾。

3、從而結(jié)論得證。例：1、4證明：在平面等距變換下，三角形的形狀和大小都保持不變。證：設(shè)f是內(nèi)一個(gè)等距變換，ABC是內(nèi)任意一個(gè)三角形， 則， 又則為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且 點(diǎn)積： 命題1、5 設(shè)f是平面的一個(gè)等距變換，則f保持點(diǎn)積不變等價(jià)于。證明：“充分性”，若對(duì)都有 則 “必要性”若則 定義1、6 設(shè)f：到平面等距變換，若在內(nèi)，至少存在一個(gè)點(diǎn)o,使得稱f為有不動(dòng)點(diǎn)的等距變換。例如：反射變換，旋轉(zhuǎn)變換，恒等變換。 記平面的所有等距變換構(gòu)成集合為Isom() 記平面固定原點(diǎn)有等距變換構(gòu)成集合為O（2，）。則,又，且點(diǎn)積：，命題1.5 設(shè)f是平面Z上的一個(gè)等距變換，則f保持點(diǎn)積不變證明：，則f(0)=0 ,定義1.6 設(shè)f:z-Z 平面等距變換 若在Z中至少有一個(gè)點(diǎn)0 使得 f(0)=0,稱f為不動(dòng)點(diǎn)的等距變換，（例如：反射變換、旋轉(zhuǎn)變換）。記平面Z的所有等距變換構(gòu)成的等距變換集合為Isom(z)，記平面固定點(diǎn)的所以等距變換構(gòu)成的集合為D（Z，z）。例2.4：求鄰不等且非矩形的平行四邊形的對(duì)稱群。CDAB解: 其中是系統(tǒng)中心作的旋轉(zhuǎn)變換下證不再向其它的對(duì)稱變換：設(shè)是的一個(gè)對(duì)稱變換。使得中心點(diǎn)保持不變 （而）于是就能完