巴特沃斯高通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

1、巴特沃斯高通數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)要求：3dB數(shù)字截止頻率為，阻帶下邊頻rad，阻帶衰減為。一、課程設(shè)計(jì)目的：數(shù)字信號(hào)處理（Digital Signal Processing DSP）是20世紀(jì)60年代以來，隨著信息學(xué)科和計(jì)算機(jī)學(xué)科的高速發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。數(shù)字信號(hào)處理是利用計(jì)算機(jī)或其他專用處理設(shè)備，以數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行采集、變換、濾波、壓縮、傳輸、估值與識(shí)別等加工處理，借以達(dá)到提取信息和便于應(yīng)用的目的的一種技術(shù)。數(shù)字信號(hào)處理隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)信息技術(shù)的進(jìn)步獲得了飛速的發(fā)展。數(shù)字信號(hào)處理已廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，是新一代IT工程師必須掌握的信息處理技術(shù)。它在越來越多的應(yīng)

2、用領(lǐng)域中迅速替代傳統(tǒng)的模擬信號(hào)處理技術(shù)，并且開辟出許多新的領(lǐng)域。數(shù)字信號(hào)處理有很多深?yuàn)W的數(shù)學(xué)概念，理論也相對(duì)抽象，而且是一門理論與實(shí)踐密切結(jié)合的課程。我們通過課程設(shè)計(jì)深入掌握課程內(nèi)容，深入理解與消化關(guān)于巴特沃斯濾波器的基本理論，鍛煉我們獨(dú)立解決問題的能力，培養(yǎng)我們的創(chuàng)新意識(shí)，加強(qiáng)我們的實(shí)踐學(xué)習(xí)。二、設(shè)計(jì)原理：1、數(shù)字濾波器所謂數(shù)字濾波器，是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)字運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波器處理精度高、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾

3、波功能。按照不同的分類方式，數(shù)字濾波器可以有很多種類型，但總起來可以分為兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器的特點(diǎn)是其輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的成分分別占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器濾除干擾，得到純凈信號(hào)，達(dá)到濾波目的。但是，如果信號(hào)和干擾的頻譜相互重疊，則經(jīng)典濾波器無法有效濾除干擾，最大限度恢復(fù)信號(hào)，這就需要現(xiàn)代濾波器。現(xiàn)代濾波器是根據(jù)隨機(jī)信號(hào)的一些統(tǒng)計(jì)特性，在某種最佳準(zhǔn)則下，最大限度抑制干擾，同時(shí)最大限度恢復(fù)信號(hào)，達(dá)到最佳的濾波效果的目的。2、模擬濾波器模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有多種典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯濾波器、切比雪夫?yàn)V波

4、器、橢圓濾波器、貝塞爾濾波器等。這些濾波器有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用，而且所涉及的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的特性相對(duì)前三者是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋特性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型?，F(xiàn)在，我們分別使用、H、H表示模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)、頻率響應(yīng)函數(shù)、系統(tǒng)函數(shù)，三者的關(guān)系為：可以用、中任意一個(gè)描述模擬濾波器，也可以用線性常系數(shù)微分方程描述模擬濾波

5、器。但在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，設(shè)計(jì)指標(biāo)一般由幅頻響應(yīng)函數(shù)給出，而模擬濾波器設(shè)計(jì)就是根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)，求系統(tǒng)函數(shù)。工程上通常用所謂的損耗函數(shù)（也稱為衰減函數(shù)）來描述濾波器的幅頻響應(yīng)特性，對(duì)歸一化幅頻響應(yīng)函數(shù)，定義如下（其單位是分貝，用dB表示）： dB應(yīng)當(dāng)注意，損耗函數(shù)和幅頻特性函數(shù)只是濾波器幅頻響應(yīng)特性的兩種描述方法。損耗函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)幅頻響應(yīng)的取值非線性壓縮，放大了小的幅度，從而可以同時(shí)觀察通帶和阻帶的頻響特性的變化情況。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有、和。其中和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率，稱為通帶最大衰減（即通帶中允許的最大值），稱為阻帶最小衰減（即阻帶上允許的最小值），和的單位是dB。對(duì)于單

6、調(diào)下降的幅度特性，和可表示為：濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)。一般的濾波器單位沖激響應(yīng)為實(shí)函數(shù)，因此如果能由、和求出，那么就可以求出，由此可求出所需要的。必須是因果穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的的極點(diǎn)必然落在右半平面。這就是由求所需要的的具體原則。3、巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑。這種濾波器最先由英國(guó)工程師斯替芬·巴特沃斯（Stephen Butterworth）在1930年發(fā)表在英國(guó)無線電工程期刊的一篇論文中提出的。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻

7、率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波特圖上,從某一邊界角頻率開始,振幅隨著角頻率的增加而逐步減少,趨向負(fù)無窮大。 一階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻6分貝，每十倍頻20分貝。二階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻12分貝、 三階巴特沃斯濾波器的衰減率為每倍頻18分貝、如此類推。巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無論階數(shù)，振幅對(duì)角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和低級(jí)數(shù)的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。4、設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法（1）、歸一化模擬低通

8、原型到數(shù)字高通濾波器的變換設(shè)歸一化模擬低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是，p為模擬域內(nèi)的拉普拉斯變量。在模擬域內(nèi)從低通到高通變換，即以代替p,有進(jìn)行反歸一化后，即以代入上式，得到反歸一化后的高通濾波器的傳輸函數(shù)；再進(jìn)雙線性變換，得數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為；直接由歸一化低通原型變換為數(shù)字高通濾波器時(shí)，變換關(guān)系為，其中，為模擬濾波器3dB截止頻率；為數(shù)字濾波器3dB截止頻率。（2）歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換直接尋求從模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關(guān)系：，其中，為模擬濾波器3dB截止頻率；分別是數(shù)字帶通濾波器的中心頻率、通帶上邊頻、通帶下邊頻和帶通的上阻帶下邊頻。（3）歸一化模擬低通原型到

9、數(shù)字帶阻濾波器的變換直接尋求從模擬低通到數(shù)字帶阻之間的映射關(guān)系：其中，為模擬濾波器3dB截止頻率；分別為數(shù)字帶阻濾波器的中心頻率、阻帶上邊頻、阻帶下邊頻和帶阻的上通帶下邊頻。（4）數(shù)字低通濾波器到數(shù)字低通的變換由截頻為的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)得到截頻為的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)，變換關(guān)系為（5）數(shù)字低通濾波器到數(shù)字高通變換由截頻的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)得到截頻為的數(shù)字高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)，變換關(guān)系為（6）數(shù)字低通濾波器到數(shù)字帶通變換由截頻為的數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)得到中心頻率為，帶通上、下截頻分別為的數(shù)字帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)，變換關(guān)系為5、MATLAB模擬頻率變換函數(shù)MATLAB信號(hào)處理工具箱函數(shù)l

10、p2lp、lp2bp、lp2hp、lp2bs是模擬頻率變換函數(shù)。（1）低通模擬濾波器到低通模擬濾波器變換函數(shù)lp2lp調(diào)用格式說明如下。bs,as=lp2lp(b,a,Wl)該函數(shù)將截止頻率為1rad/s（歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器變換成截止頻率為Wl的低通濾波器。（2）低通模擬濾波器到帶通模擬濾波器的變換函數(shù)lp2bp調(diào)用格式如下。bs,as=lp2bp(b,a,W0,Bw)該函數(shù)將截止頻率為1rad/s（歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器變換成具有指定帶寬和中心頻率為的帶通濾波器。如果要求濾波器的低端截止頻率為，高端截止頻率為，則按下式可計(jì)算帶寬和中心頻率為的帶通濾波器。Bw=

11、W2-W1W0=sqrt(W1*W2)（3）低通模擬濾波器到高通模擬濾波器變換函數(shù)lp2hp調(diào)用格式如下。bs,as=lp2hp(b,a,Wh)該函數(shù)將截止頻率為1rad/s（歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器變換成截止頻率為的高通濾波器。（4）低通模擬濾波器到帶阻模擬濾波器變換函數(shù)lp2bs調(diào)用格式如下。bs,as=lp2bs(b,a,Wh)該函數(shù)將截止頻率為1rad/s（歸一化截止頻率）的模擬低通原型濾波器變換成具有指定帶寬和中心頻率為的帶阻濾波器。三、設(shè)計(jì)步驟與流程框圖：求出模擬低通濾波器指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)濾波器得到結(jié)果開始四、設(shè)

12、計(jì)過程：1、設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)一巴特沃斯高通數(shù)字濾波器，3dB數(shù)字截止頻率為，阻帶下邊頻rad，阻帶衰減為。2、設(shè)計(jì)過程：（1） 求模擬低通濾波器指標(biāo)。（2） 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，取N=4，查表得（3） 將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器（4） 利用MATLAB設(shè)計(jì)巴特沃斯高通濾波器源程序：頻率變換函數(shù)編程：wp=0.2*pi;ws=0.05*pi;Ap=3;As=48;Wp=tan(wp/2);Ws=tan(ws/2);N,wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('濾波器階數(shù)N=%.0fn',N)b,a=butter(N,1,'s

13、');numa,dena=lp2hp(b,a,Wp);numd,dend=bilinear(numa,dena,0.5);disp('分子系數(shù)b');fprintf('%.4e ',numd);fprintf('n');disp('分母系數(shù)a');fprintf('%.4e ',dend);fprintf('n');w=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid

14、;xlabel('歸一化頻率');ylabel('幅度/dB');程序運(yùn)行結(jié)果如下：濾波器階數(shù)N=4分子系數(shù)b9.9999e-001 -4.0000e+000 6.0000e+000 -4.0000e+000 9.9999e-001分母系數(shù)a2.3103e+000 -5.4742e+000 5.3459e+000 -2.4366e+000 4.3290e-001其幅度響應(yīng)函數(shù)如圖所示:五、結(jié)果分析：由最終所得到的運(yùn)行結(jié)果以及該濾波器的幅度響應(yīng)函數(shù)圖像可以看出，我們所設(shè)計(jì)的濾波器完全符合最初的要求，是一個(gè)巴特沃斯高通濾波器，3dB數(shù)字截止頻率為，阻帶下邊頻 rad，阻帶衰減為。六、總結(jié)：通過這次課程設(shè)計(jì)，使我對(duì)數(shù)字信號(hào)處理又有了更深一層的了解。巴特沃斯濾波器看似簡(jiǎn)單，但是在