O0010,向量共線定理的幾個推論及其應用

1、向量共線定理的幾個推論及其應用人教版數(shù)學（必修）第一冊（下）P115面介紹了一個定理：向量 b與非零向量a共線有且僅有一個實數(shù)，使b a。謂之“向量共線定理”。以它為基礎，可以衍生出一系列的推論，而這些推論在解決一些幾何問題 （諸如“三點共線”“三線共點”等）時有著廣泛的應用。 以下通過例題來加以說明。一、定理的推論推論一：向量b與向量a共線二 存在不全為0的實數(shù)、，2，使a2b = 0，這實質是定理的另外一種表述形式。推論二：三個不同點A B、C共線=存在一組全不為0的實數(shù)，2，使AB-zAChO。注意推論（二）與推論（一）的區(qū)別：推論（二）中AB, AC均不為零向量，而推論（一）中，向量I

2、 Ta,b可能含0。推論三：設O A B三點不共線，且 OP = xOA + yOB , （x, y R）,則P、A B三點共線二x+y=1。這實質是直線方程的向量形式。推論四：設0為平面內任意一點，則三個不同點 A、B、C共線= 存在一組全不為0的實數(shù)、， 2, ' 3使-,0a -2030c =0 且 12'3=0證：當0點與A B C三點中任一點重合，則推論（四）即為推論（二）；當0點與A、BC三點均不重合，則三點A BC共線存在s , t R,且s t豐0,使得sAB t AC =0，此時，s工-t，否則AB = AC，從而B點與C點重合，這與已知條件矛盾，故有：s(O

3、B -OA) t(OC OA) =0，即：s OB tOC -(s t)OA =0。顯然 s+t+-(s+t)=0令 _(s t) =，1 = 0, S =，2 = 0,t =，3 = 0 ,故1 " ''2' “3 = 0 得證。推論五： 設0為平面內任意一點，則三個不同點A、B、C不共線=若存在實數(shù), -2, -3，使OA 20B 30C = 0且 r 23 =0則 I = 2 = 3=0。推論五實質是推論四的逆否命題。T T T推論六：點P在 ABO的內部（不含邊界） 二 存在正實數(shù)，使得0P= OA，'20B，且 r2: 1。0?0A 20B，

4、證：如圖，必要性：若點 P在 ABO勺內部（不含邊界），則延長0P交AB于P，過P作OA 0B的平行線，分別交OA 0B于 M N點，過Pl作OA 0B的平行線，分別交 OA 0B于 M，Ni點，顯然iPMkiPMti，|FN|：i農|，OP = OM ON= iOAOB。其中=J-°MI, 2|OA|顯然|0B|X 0, ' 20。由于亠；.2 =|OM| 兩| ipni 耳|OA| |OB|OA| |OB|卑1 I丄1嗎1 ：|OA| |OB|T T TisBj * lal*=1.而充分性由上述各步的可逆性易知。| AB| |AB| |AB|事實上，我們可以將推論三與推論

5、六整合在一起，導出推論七：推論七：分別記過點 A且與BC平行的直線為li ,已知平面內不共線向量 AB，AC 且 AP =打 AB + 九2 AC。直線BC, AB AC分別為12,13,14.則:p點在直線12上= i*2 =1 ； p點在直線12不含a點一側二1 ；p點在直線12與11之間二0： ：；© ：1；p點在直線i：= 2=0 ； p點在直線11不含直線12一側二 i-© ：0 ；P點在直線l3不含c點一例：= 2 <0R ； P點在直線l3含c點一側：='2 0, i R ；P點在直線l4不含B點一側u : 0, R，P點在直線l4含B點一側=0

6、, R。1112證：設直線AP與直線BC相交于點P，則設BP "BC，貝UT T T T T T T r T TAP: =AB BP: =AB tBC 二 AB t(AC - AB)二(1 -t)AB tAC,故：儷忌噸書益tTC,則故P若在直線BC上,則、 - =1,又v AP, AP 共線, 貝U AP = kAPkt _k_、=0(kt -k JAB =(kt - 2)AC , v abac不共線，貝U.kt 一 打=0(1)P在區(qū)域內，則0<k<1，即0< 2 ：1，且2均為正實數(shù)，即0 ： '： 1,0 ： 2 ： 1 ；(2)P在區(qū)域內，則0&l

7、t;k<1, t>1，則 20 , '0，且 0 ： '' 2 ： 1 ；(3)P在區(qū)域內，則k<0,、 ： 0, 20，且'< '2 : 0；(4)P在區(qū)域內，則k<0,1 ： 0, 2 ： 0 ,且 12 : 0;(5) 若P在區(qū)域內，則k<0 ,(6) 若P在區(qū)域內，則 0<k<1(7) 若P在區(qū)域內，則k>1 ,(8) 若P在區(qū)域內，則k>1 ,(9) 若P在區(qū)域內，則k>1 ,10, ' 2 : 0，且'' 2 : 0，則、,；”2 三(0,1)；則 11

8、, 2 ： 0, m -1;則 0, 20 ,2 -1則、：0, '21,-1.綜上：當P點位于h上方， 1.；，2 ： 0 ；當P點位于h下方12上方，(0,1)；當P點位于12下方21 ；當P點位于13左邊，'2 : 0， 13右邊，'20 ；當P點位于14左邊，'10， 14右邊1：0從而得證。注：推論(七)的相關結論還可以分得更細，它對解決“區(qū)域”問題很有重要的作用。、應用舉例例1如圖，在平行四邊形 ABCD中，點M是AB的中點，點 N在BD上。BNBD ,3求證：M N、C三點共線。T 4 H * T T4 T 4證：設 AB = e , AD = e

9、2 , ( ei 與 e2 不共線)，貝U BD = q - e .1 T 11 TLN 為 BD的三等分點， BN BD(e2 -e,),而 BM BAe1 ,33221D2 BN=3e2 一產 Se2 3 匸)eSe2212 BM BC BM333,/ m2,且 m+n=1,且 B、3M C三點不共線，則點 M N、C三點共線。例2 設M N分別是正六邊形 ABCDEF勺對角線AC CE的內分點,且 amAC=，若 b、M NCE三點共線，求'的值。分析：要求的值，只需建立f( - )=0即可，而f( )=0就隱含在直線方程的 向量形式中。解：延長EA CB交于點P,設正六邊形的邊

10、長為1,易知 ECP為Rt ,1AE=AP=AC= 3 , PB=2,A 是 EP之中點，CE = ：CN ,1 11 1- CA(CE CP) CN - 3CB 二一22九22、1 '', CACM ;1 一扎CN 3CB,2又. AM CNAC CE1 1CM1 f 'CN3( 1 _ 1 )CNCB ； B M N三點共線.由推論(三)知,2、 2例3 （06年江西高考題）已知等差數(shù)列an的前n項和為S,若OB =qOA - a200OC，且A B、C三點共線，（設直線不過點 O）,則8200=A. 100B. 101C. 200解：易知 a1+a200=1, S

11、200 = 20°（a a200）=100,故選 AoD. 2012例4 （ 06年湖南高考題）如圖 OMZ AB點P在由射線OM線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內 （不含邊界），且OP二xOA yOB，則實數(shù)對（x, y）可能的取值是1 32 2A.（打B. *3）解：由p點所處的區(qū)域，禾u用推論（七）的結論我們不難判定 OP二xOa yOB中的線性組合系數(shù)對（ x,c.（一弓）4 40<x+y<1，且 x<0, y>0。從而應選 CoD.y）應滿足例5 （梅涅勞斯定理）若直線 l不經(jīng)過 ABC的頂點，并且與 ABC的三邊BC CA AB或它們的延長線分

12、別交于P、Q R,則匹=1PC QA RB證：如圖，設P、Q R三點分有向線段 BC CA AB,所成的比分別為, 2, ' 3，則CQPC QA RBA又P、Q R三個分點中有一個或三個外分點，所以任取一點0,則由定比分點的向量公式得:'2： 0，因而只需證明1 ,2 * 3 = 一1。0P=0B"10C,0Q=0C"20A,0R=0A+，30B1 +人1 + 21 + 為 P、Q R三點共線，由推論4知存在全不為0的實數(shù)ki,k2,k3使OB + 人OCOC + 入2oaOA 十幾3oB?。ǎ?（ J ）"3丿 1 +人1 +爲K +k2 +k

13、3 =0）ka（1 '3）=0k2 ）OC 昭1 .，2即（叢2k3 ）OA （ 3k3k1 ）OB （我1 ' '2 1 ' '31 - -S 1 * >11 ' '1且己 走）（汽 代）（占:比）=。，而A、B、C三點不共線，由推論5得3二-1 ,原命題得證。'2k2.k3_，3k3.k112131311例6（塞瓦定理）若P、QR分別是 ABC的BC CAAB邊上的點，則，AP、BQCR三線共點的充要條件是去carb“。證:必要性：如圖，設 P、Q R分有向線段BC CA則BPPCCQ ar”八"QA RB在平

14、面ABC內任取一點 O令AP、BQ 三點共線，由推論 4知，存在實數(shù)k1使OMOA（仆序比懇（仆）CR三線交點為仕Oc,1：；'九2T TOB ； ,1OC11同理存在實數(shù)k2, k3使OM = U1 -k31 -k3OM3 OA 3 3OB ksOC ,1+打1 +打-得:(ki 匕2 2)OA (U1 -k2)OB (匕 1 1+為1+人1+人-T o-TM-+1 1-得：（& 一戶）oa （戶-戶 i）OB （戶七）臭髭.1 +打 1 +人 1 + a31 +扎，又 A B C三點不共線，且-匕邑 2） （f-k2）（匕出 -匕喧）=0,11乜1+人1中斷11乜2及(k1_丄_電).(1" k11311-_電'3)(-k1一 k3) = 0 , '由推論 5 得1'31'1,1 k2 1 &a