兩個(gè)平面垂直的判定

1、兩個(gè)平面垂直的判定素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1兩個(gè)平面垂直的定義、畫法2兩個(gè)平面垂直的判定定理(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)1應(yīng)用演繹的數(shù)學(xué)方法理解并掌握兩個(gè)平面垂直的定義2掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)格的邏輯推理，增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問題的能力3利用轉(zhuǎn)化的方法掌握和應(yīng)用兩個(gè)平面垂直的判定定理(三)德育滲透點(diǎn)1理解并掌握兩個(gè)平面垂直定義的過程是培養(yǎng)學(xué)生從一般到特殊的思維方法的過程2讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理是人類生產(chǎn)實(shí)踐的需要，并且應(yīng)用于實(shí)踐，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合的觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法1教學(xué)重點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的判定2教學(xué)難點(diǎn)：掌握兩個(gè)平面垂直的判定

2、及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)過程一、問題情境1、復(fù)習(xí)提問師：上節(jié)課我們講述了二面角及二面角的平面角的有關(guān)概念，明確了要刻畫二面角的大小，需借助于二面角的平面角的大小，請(qǐng)問二面角的平面角是如何定義的?生:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.師:很好.如果二面角的平面角是直角，我們稱之為直二面角.得出兩個(gè)平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。師：這一節(jié)課我們一起來研究一下如何判定兩個(gè)平面互相垂直。二、學(xué)生活動(dòng)思考：除了定義之外,如何判定兩個(gè)平面互相垂直呢?走下講臺(tái)，打開教室門，在教室門開啟轉(zhuǎn)動(dòng)過程中提

3、問師:同學(xué)們請(qǐng)看，現(xiàn)在門面、門軸、門框面構(gòu)成了一個(gè)二面角，這個(gè)二面角的平面角你找到了嗎?生:(走到門前面指出平面角的位置)師:好，在門轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，請(qǐng)你指出有哪些變量，哪些不變量?生:門面與門框面形成的二面角在不斷的變化.生:這些面的交線都是門軸，交線沒有變.師:很好，(啟發(fā)地)請(qǐng)問這些面與地面的關(guān)系又如何呢?生:垂直，不論門面轉(zhuǎn)到哪個(gè)位置，都與地面垂直，這個(gè)關(guān)系保持不變.師:好，再請(qǐng)問門面與地面始終垂直的原因是什么?生:因?yàn)殚T面始終通過門軸，而門軸始終垂直地面.師:非常好.意思是說:因?yàn)殚T軸垂直于地面，而門面通過門軸，于是有門面與地面垂直。這個(gè)事實(shí)的結(jié)論正是兩個(gè)平面互相垂直，是我們今天要研究

4、的主要內(nèi)容.好好想一想，能不能將這個(gè)事實(shí)抽象概括成數(shù)學(xué)命題.三、建構(gòu)數(shù)學(xué)平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.師:觀察得來的結(jié)論是否正確，還需給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明.這個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是什么?生:條件是一條直線垂直于一個(gè)平面，結(jié)論是經(jīng)過這條直線的平面都垂直于這個(gè)平面.師:正確.畫圖，寫出已知、求證.(請(qǐng)一名同學(xué)敘述)生:已知:如圖，AB，AB于B.求證:.師:要證，即證與所成的二面角是直二面角也就是要證明與所成二面角的平面角是90°，關(guān)于二面角的計(jì)算問題，我們上一節(jié)課已經(jīng)指出，一般分為兩個(gè)步驟，還記得是哪兩步嗎?生:先找出或作出二面

5、角的平面角，然后再計(jì)算或利用所要求的角.師:很好，下面請(qǐng)同學(xué)自己完成證明.師:請(qǐng)同學(xué)看這個(gè)定理的證明，與自己的證明對(duì)照一下，要學(xué)會(huì)用準(zhǔn)確的語言敘述證明剖析：1.內(nèi)容:線面垂直面面垂直.2.作用:判定兩個(gè)平面相互垂直.應(yīng)用舉例：建筑工人在砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和水平面垂直.可見，生活當(dāng)中處處有數(shù)學(xué)，作為一名高中生能夠有意識(shí)的觀察生活，應(yīng)用我們所學(xué)過的知識(shí)去體驗(yàn)生活，去改造世界，才是我們學(xué)習(xí)的真正目的.探究：如圖為正方體,請(qǐng)問哪些平面與面A1B垂直?A A1 B B1 面A1B面 AC 面A1B面 BC1 面A1B面 A1C1 面A1B面 AD1歸納：線線垂直 線面垂直

6、面面垂直四、數(shù)學(xué)運(yùn)用例1. 在正方體ABCDA1B1C1D1中, 求證：平面A1C平面B1DE、F分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，求證： 平面ACFE平面B1DG是BB1的中點(diǎn)求證：平面ACG平面B1D 師:本題的結(jié)論是面面垂直，由判定定理可知，只需在其中一個(gè)平面中找到另一個(gè)平面的一條垂線，現(xiàn)在觀察圖形，有沒有這樣的直線存在?生: 有，直線BD滿足條件.因?yàn)?#160; 正方體ABCD-ABCD中，所以  AA1面ABCD，又BD面ABCD所以  AA1BD.因?yàn)?#160; 正方形ABCD，所以  ACBD，所以  BD面ACC1A1.又BD面BDD1

7、B1，所以  面BDD1B1面ACC1A1.師:很好，找到直線BD垂直平面ACC1A1，利用定理證明過BD的平面BDD1B1與平面ACC1A1垂直，由此可以體會(huì)到用判定定理解決垂直問題的思路是:找線與面垂直.生:教師，這道題還可以由直線AC入手.因?yàn)?#160; 正方體ABCD-A1B1C1D1，所以  BB1面ABCD，所以  BB1AC.因?yàn)?#160; 底面ABCD是正方形，所以  ACBD，所以  AC面BDD1B.又AC面ACC1A1，所以  面ACC1A1面BDD1B1.師:正確.由直線AC入手也可以幫助我們解決本題，所以

8、，看問題時(shí)可以從多個(gè)角度觀察，甲尋找的是面ACC1A1的垂線BD，而乙尋找的是面BDD1B1的垂線AC，都很好的解決了這道題，下面看第二問和第三問.師:誰想出證明方法了?生:由第(1)問證明中，可知:AC面BDD1B1，又因?yàn)?#160; AC面ACFE中，所以  面ACFE面BDD1B1，又因?yàn)?#160; AC面ACQ中，所以  面ACG面BDD1B1.師:好!抓住了AC面BDD1B1這一點(diǎn)，可以證明，這三個(gè)過AC的平面都與面BDD1B1垂直.如果點(diǎn)G不是棱BB1的中點(diǎn)，面ACG是否還與面BDD1B1垂直?為什么?生:保持垂直，因?yàn)槊鍭CG內(nèi)的直線AC總與平面BDD1B

9、1垂直.師:很好，如果再回想一下門在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，門面總與地面垂直，其原因就是有門軸所在直線與地面垂直，因此，通過門軸的面總與地面垂直.由此可以看到應(yīng)用判定定理的關(guān)鍵是在其中一個(gè)面內(nèi)尋找與另一平面垂直的直線.例2.設(shè)AB是O的直徑, C是O 上一點(diǎn), P是平面O外一點(diǎn), PC O, 求證:平面PAC平面PBC師:這道題的結(jié)論還是兩個(gè)平面垂直.觀察兩個(gè)平面，PAC，PBC中的線，有沒有另一平面的垂線?也就是首先要解決線與面垂直的問題，回憶一下判定線面垂直的常用方法，哪種方法適合本題呢?生：可以證明BC面APC.證明:因?yàn)?#160; O中，AB為直徑，C為O上一點(diǎn)所以  ACB=90&#

10、176;即  ACBC.又  PC面O，BC 面O.因此  PCBC，所以  BC面PAC.又因?yàn)?#160; BC 面PBC.所以  面PBC面PAC.師:通過這道題的證明，我們看到立體幾何中，線線垂直，線面垂直，面面垂直是密切相關(guān)的，由線線垂直可以判定線面垂直，由線面垂直，可以判定面面垂直.通過線面位置關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化，來解決我們所遇到的有關(guān)垂直的問題，是立體幾何中，最常用的一條思路.這是我們應(yīng)該認(rèn)真體會(huì)的.師:這節(jié)課我們通過觀察，實(shí)踐，歸納，總結(jié)，證明，最終得到了兩個(gè)平面互相垂直的判定定理.通過例題看到，應(yīng)用定理的關(guān)鍵是尋找在一個(gè)平面內(nèi)的直

11、線與另一平面垂直。練習(xí)：思考題ABCDE如圖：四邊形是正方形，面。請(qǐng)指出圖中哪些平面互相垂直？ 五、回顧小結(jié)1 證明面面垂直的方法（1） 證明二面角為直角（2） 用面面垂直的判定定理 判定定理 判定定理2 線線垂直 線面垂直 面面垂直 定義 ？課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明本內(nèi)容是根據(jù)立體幾何教材的要求安排的，是關(guān)于兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)共用。這節(jié)課是一節(jié)定理課，如何能讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)定理，而不是接受定理，一直是我們努力的方向.數(shù)學(xué)教育家布魯納曾說過:探索是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.正是從這個(gè)角度出發(fā)；本課設(shè)計(jì)從觀察入手，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納，使定理的核心內(nèi)容得以顯現(xiàn)，易于把握，應(yīng)用顯得非常自然，在例題中，又前后呼應(yīng)，再一次強(qiáng)調(diào)定理中，線面垂直的重要性；使重點(diǎn)內(nèi)容更為突出.思考題是為了使學(xué)生更熟練的應(yīng)用定理而選擇的，本題有5個(gè)平面，線面關(guān)系比較多，只有真正理解了定理