3．2立體幾何中的向量方法（第二課時）

1、3.2 3.2 立體幾何中的向量方法（一）立體幾何中的向量方法（一）ala給定一個點給定一個點A和一個和一個向量向量a,過點過點A，以向，以向量量a為法向量的平為法向量的平面是完全確定的。面是完全確定的。方法指導：方法指導：怎樣求平面法向量？怎樣求平面法向量？一般根據(jù)平面法向量的定義推導出平面的法向量，進而就可以利用平面的法向量解決相關立體幾何問題。推導平面法向量的方法如下：設直線設直線l,m的方向向量分別為的方向向量分別為a,b，平面，平面， 的法向量分別為的法向量分別為u,v,則則線線平行：線線平行：lm a b a=kb;線面平行：線面平行：l au au=0;面面平行：面面平行： u

2、v u=kv.線線垂直：線線垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.線面垂直：線面垂直：l a u a=ku;例例1、在棱長為、在棱長為1的正方體的正方體 中，中，求平面求平面 的法向量。的法向量。1111ABCDABC D1ACD ABCDxyA1B1C1D1z圖1二、講授新課二、講授新課1 1、用空間向量解決立體幾何問題的、用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲三步曲”。 （1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題；

3、何問題轉化為向量問題； （2）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的）通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運算結果）把向量的運算結果“翻譯翻譯”成相應的幾何意義。成相應的幾何意義。（化為向量問題）（化為向量問題）（進行向量運算）（進行向量運算）（回到圖形問題）（回到圖形問題） 例例1：如圖如圖1：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，：一個結晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點以頂點A為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是角都是60，那么以這個頂點為端點的晶體的對角，那

4、么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關系？線的長與棱長有什么關系？ A1B1C1D1ABCD圖圖1解：解：如圖如圖1，設，設 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化為向量問題化為向量問題依據(jù)向量的加法法則，依據(jù)向量的加法法則，11AAADABAC 進行向量運算進行向量運算2121)(AAADABAC )( 2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到圖形問題回到圖形問題這個晶體的對角線這個晶體的對角線 的長是棱長的的長是棱長的 倍。倍。1AC6思考：思考：（1）本題中四棱柱的對角線）本題中四

5、棱柱的對角線BD1的長與棱長的長與棱長有什么關系？有什么關系？ A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:思考：思考： （2 2）如果一個四棱柱的各條棱）如果一個四棱柱的各條棱長都相等，并且以某一頂點為端長都相等，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于點的各棱間的夾角都等于 , , 那那么有這個四棱柱的對角線的長可么有這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長嗎以確定棱長嗎? ?a aA1B1C1D1ABCD分析分析:a a 1111 DAABAABADxAAADABaAC，設設11 AAADABAC 則由則由)( 211212221AAA

6、DAAABADABAAADABAC )cos3(23 222a axxa 即即axa acos631 這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。這個四棱柱的對角線的長可以確定棱長。（3 3）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距）本題的晶體中相對的兩個平面之間的距離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，離是多少？（提示：求兩個平行平面的距離，通常歸結為求兩點間的距離）通常歸結為求兩點間的距離）A1B1C1D1ABCDH 分析：分析：面面距離面面距離回歸圖形回歸圖形點面距離點面距離向量的模向量的模. 11HACHAA于點于點平面平面點作點作過過 解：解：. 1的的距距離離為為所所求求相相對對兩兩個個面面之

7、之間間則則HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC1111()cos60cos601.AA ACAAABBCAA ABAA BC 31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的距離是所求的距離是。 36A1B1C1D1ABCDH練習練習: : 如圖如圖2 2，空間四邊形，空間四邊形OABCOABC各邊以及各邊以及ACAC，BOBO的長都是的長都是1 1，點，點D D，E E分別是邊分別是邊OAOA，BCBC的中點，的中點，連結連結DEDE，計算，計算DE

8、DE的長。的長。 OABCDE圖圖2 例例2 2：如圖如圖3 3，甲站在水庫底面上的點，甲站在水庫底面上的點A A處，乙站在水處，乙站在水壩斜面上的點壩斜面上的點B B處。從處。從A A，B B到直線到直線 （庫底與水壩的交線）（庫底與水壩的交線）的距離的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長為的長為 , AB, AB的長為的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 labcd解：解：如圖，如圖，. dABcCDbBDaAC ，化為向量問題化為向量問題根據(jù)向量的加法法則根據(jù)向量的加法法則DBCDACAB 進行向量運算進行向量運算222)(D

9、BCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB ABCDa a 圖圖3DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA CADB 因此因此.cos22222dcbaab 設向量設向量 與與 的夾角為的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的就是庫底與水壩所成的二面角。二面角。所以所以.2cos2222abdcba 回到圖形問題回到圖形問題庫底與水壩所成二面角的余弦值為庫底與水壩所成二面角的余弦值為.22222abdcba 例例2 2：如圖如圖3 3，甲站在水庫底面上的點，甲站在水庫底面上的點A A處，乙站在水壩斜面上的點處，乙站在水壩斜面上

10、的點B B處。從處。從A A，B B到直線到直線 （庫底與水壩的交線）的距離（庫底與水壩的交線）的距離ACAC和和BDBD分別為分別為 和和 ,CD,CD的長為的長為 , AB, AB的長為的長為 。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 labcd思考：思考： （1）本題中如果夾角）本題中如果夾角 可以測出，而可以測出，而AB未知，未知，其他條件不變，可以計算出其他條件不變，可以計算出AB的長嗎？的長嗎？ ABCDa a 圖圖322)( DBCDACAB 由由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 分析：分析： cos2222abbca 可算出可算出 AB

11、 的長。的長。 （2）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條）如果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的對角線的長，并且以同一頂點為端點的各棱間的夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦夾角都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？值嗎？ 分析：分析：如圖，設以頂點如圖，設以頂點 為端點的對角線為端點的對角線長為長為 ，三條棱長分別為，三條棱長分別為 各棱間夾角為各棱間夾角為 。A1B1C1D1ABCDAd， cba 21212)( CCACABCAd 則則 cos)(2222acbcabbca )(2cos 2222acbcabcbad （3）如果已知一個四棱柱

12、的各棱長都等于）如果已知一個四棱柱的各棱長都等于 ，并且以某一頂，并且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等于點為端點的各棱間的夾角都等于 ，那么可以確定這個四棱柱相鄰，那么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？兩個夾角的余弦值嗎？a A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夾角向量的夾角回歸圖形回歸圖形 解：解：如圖，在平面如圖，在平面 AB1 內過內過 A1 作作 A1EAB 于點于點 E，EF在平面在平面 AC 內作內作 CFAB 于于 F。 cos sin 1aBFAEaCFEA ，則則 CFEAFCEA cos coscos 11，a a|11CFEACFE

13、A 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaa cos1cos 可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值。練習：練習： （1 1）如圖）如圖4 4，6060的二面角的二面角的棱上有的棱上有A A、B B兩點，直線兩點，直線ACAC、BDBD分別在這個二面角的兩個半平面分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直內，且都垂直ABAB，已知，已知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的長。的長。 B圖圖4ACDa （2）三棱柱）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長中，底面是邊長為為2的正三角形，的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 ABCA1B1C1圖圖5 如圖如圖6，在棱長為，在棱長為 的正方體的正方體 中，中， 分別是棱分別是棱 上的動點，且上的動點，且 。 （1）求證：）求證： ； （2）當三棱錐）當三棱錐 的體積取最