高三第一輪復習—離散型隨機變量

1、【本講教育信息】一. 教學內容：高三復習專題：（1）離散型隨機變量及其分布列（2）條件概率及事件的獨立性（3）離散型隨機變量的期望與方差 二. 考綱要求（l）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性 （2）理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用 （3）了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解 n 次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題 （4）理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題 三. 知識分析【知識梳理】1、隨機變量的概念如果隨機試驗

2、的結果可以用一個變量X表示，并且X是隨著試驗的結果的不同而變化的，那么這樣的變量X叫隨機變量，隨機變量常用希臘字母X、Y、 表示。如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量2、離散型隨機變量的分布列設離散型隨機變量X可能取得的值為，X取得每一個值的概率為，則稱表為離散型隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列離散型隨機變量X的分布列的性質：（1）      （2）一般的，離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和。3、二點分布如果隨機變量X的分布列為  &#

3、160;              ，其中，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)為的二點分布4、超幾何分布一般的，設有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有n件，從所有物品中任取M件（MN），這M件中所含這類物品的件數(shù)X是一個離散型隨機變量，它取值為m時的概率為（，為n和M中較小的一個）。我們稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布5、條件概率一般地，設A，B為兩個事件，且，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。一般把讀

4、作“A發(fā)生的條件下B的概率”    古典概型中，若用表示事件A中基本事件的個數(shù)，則。6、條件概率的性質條件概率具有概率的性質，任何事件的條件概率都在0和1之間，即。如果B和C是兩個互斥事件，則.7、事件的獨立性設A，B為兩個事件，如果，則稱事件A與事件B相互獨立，并把A，B這兩個事件叫做相互獨立事件。兩點說明：（1）“互斥”與“相互獨立”的區(qū)別與聯(lián)系相同點不同點都是描繪兩個事件間的關系“互斥”強調不可能同時發(fā)生，“相互獨立”強調一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響?！盎コ狻钡膬蓚€事件可以“獨立”，“獨立”的也可互斥。（2）在解題過程中，要明確事件中的“至

5、少一個發(fā)生”、“至多有一個發(fā)生”、“恰有一個發(fā)生”、“都發(fā)生”、“都不發(fā)生”、“不都發(fā)生”等詞語的意義，已知兩個事件A、B，它們的概率分別為P(A)，P(B)，那么：A、B中至少有一個發(fā)生的事件為A+B；A、B都發(fā)生的事件為ABA、B都不發(fā)生的事件為；A、B恰有一個發(fā)生的事件為；A、B中至多有一個發(fā)生的事件為+。它們之間的概率關系如下表所示 A、B互斥A、B相互獨立P（A+B）P（A）+P（B）1-P（）P（）P（AB）0P（A）P（B）P（）1-P（A）+P（B）P（）P（）P（）P（A）+P（B）P（A）P（）+P（）P（B）P（+）11-P（A）P（B）8、獨立重復試驗一般地，

6、在相同條件下，重復地做n次試驗稱為n次獨立重復試驗在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為，1，2，n，其中p是一次試驗中該事件發(fā)生的概率，實際上，正好是二項式的展開式中的第項。9、二項分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設為X ，事件A不發(fā)生的概率設為，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是（其中k = 0，1，2，n)，于是得到X的分布列：由于表中的第二行恰好是二項式展開式各對應項的值，則稱這樣的離散型隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為。10、期望設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是，這些值對應的概率是，則叫做這個離散型隨機變量X的均值或數(shù)學期望（簡稱期望）（1）離散型

7、隨機變量的數(shù)學期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平，是算術平均值概念的推廣，是概率意義下的平均。（2）是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而是不變的，它描述X取值平均狀態(tài)（3）數(shù)學期望的性質當隨機變量為常數(shù)時，；當離散型隨機變量時，；當離散型隨機變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時，則。11、方差設一個離散型隨機變量X所有可能取的值是，這些值對應的概率是，則 叫做這個離散型隨機變量X的方差。的算術平方根叫做離散型隨機變量X的標準差。（1）離散型隨機變量的方差（包括標準差）反映了離散型隨機變量取值相對于期望的平均波動大小（或說離散程度），它反映了X取值的穩(wěn)定性 越大表明平均

8、偏離程度越大，說明X的取值越分散，反之越小，X的取值越集中，在附近統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度（2）與一樣也是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定。（3）方差的性質：若X服從二點分布，則；若X服從二項分布則，。 【典型例題】例1. 一袋中裝有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機取出3個球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布列分析：隨機取出3個球的最大號碼X的所有可能取值為3，4，5，6，“X = 3”對應事件“取出的3個球的編號為1，2，3”；“X = 4”對應事件“取出的3個球中恰取到4號球和1，2，3號球中的2個”；“X = 5”對應事件“取出的3個球中恰取到

9、5號球和1，2，3，4號球中的2個”；“X = 6”對應事件“取出的3個球中恰取到6號球及1，2，3，4，5號球中的2個”而要求其概率則要利用等可能事件的概率公式和排列組合知識來求解，從而獲得X的分布列解析：隨機變量X的可能取值為3，4，5，6。從袋中隨機地取3個球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“X=3”包含的基本事件總數(shù)為，事件“X= 4”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=5”包含的基本事件總數(shù)為；事件“X=6”包含的基本事件總數(shù)為；從而有，隨機變量X的分布列為X3456P點評：確定離散型隨機變量X的分布列的關鍵是要搞清X取每一個值對應的隨機事件進一步利用排列組合知識求出X取每個值的概率

10、0;例2. 袋中有1只紅球和9只白球，每次從袋中任取一球，取后放回，直到取得紅球為止，求取球次數(shù)X的分布列分析：袋中雖然只有10個球，由于每次任取一球，取后又放回，因此應注意如下幾點：    （1）一次取球兩個結果：取紅球（A）或取白球（），且P (A)0.1；    （2）取球次數(shù)X可能取1，2，；    （3）由于“取后放回”，因此各次取球相互獨立解析：X的所有可能取值為：1，2，n，令表示第k次取得紅球，則由于每次取球相互獨立，且取到紅球的概率為p = 0.1，于是得：，因此分布列為X123k P點

11、評：此例進一步抽象可表述為：在每次試驗時，若事件A發(fā)生的概率為p，發(fā)生的概率為，則事件A首次發(fā)生的試驗次數(shù)X是一個隨機變量，它的取值為1，2，n，其分布列稱為幾何分布。 例3. 有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率分析：解決好概率問題的關鍵是分清屬于哪種類型的概率，該例中的幼苗成活率是在出芽后這一條件下的概率，屬于條件概率解析：設種子發(fā)芽為事件A，種子成長為幼苗為事件AB（發(fā)芽，又成活為幼苗），出芽后的幼苗成活率為：根據(jù)條件概率公式，即這粒種子能成長為幼苗的概率為0.2.點評：在解決條件概率問題時，要靈活掌握

12、之間的關系，即。     例4. 甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是08，計算：（1）兩人都擊中目標的概率； （2）其中恰有一人擊中目標的概率；（3）至少有一人擊中目標的概率分析：因甲、乙兩人分別擊中目標是相互獨立的，故應利用獨立事件求概率的方法解決解析：記“甲射擊一次，擊中目標”為事件A，“乙射擊一次，擊中目標”為事件B。 “兩人都擊中目標”是事件；“恰有1人擊中目標”是或；“至少有1人擊中目標”是或或.（1）顯然，“兩人各射擊一次，都擊中目標”就是事件，又由于事件A與B相互獨立，所以 .（2）“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標”包

13、括兩種情況：一種是甲擊中乙未擊中（即），另一種是甲未擊中乙擊中（即)，根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時不可能同時發(fā)生，即事件與是互斥的，所以所求概率為：。（3）方法一：“兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標”的概率為方法二：“兩人都未擊中目標”的概率是至少有一人擊中目標的概率為點評：（1）審題應注意關鍵的詞，例如“至少有一個發(fā)生”、“至多有一個發(fā)生”、“恰好有一個發(fā)生”等   （2）復雜問題可考慮拆分為等價的幾個事件的概率問題，同時結合對立事件的概率求法進行求解   （3）求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：   &#

14、160; 利用相互獨立事件的概率乘法公式；     正面計算較繁或難以入手時，可以從對立事件入手計算  例5. 某單位6個員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個員工上網(wǎng)的概率都是0.5（相互獨立）（1）求至少3人同時上網(wǎng)的概率；（2）至少幾人同時上網(wǎng)的概率小于0. 3 ？分析：因為6個員工上網(wǎng)都是相互獨立的，所以該題可歸結為n次獨立重復試驗與二項分布問題解析：（1）方法一：記“有r人同時上網(wǎng)”為事件A r，則“至少3人同時上網(wǎng)”為事件A 3+A 4+A 5+A 6，因為A 3，A 4，A 5，A 6為彼此互斥事件，所以可應用概率加法公式，得“至少3人同時

15、上網(wǎng)”的概率為。方法二：“至少3人同時上網(wǎng)”的對立事件是“至多2人同時上網(wǎng)”，即事件A 0 +A 1+A2因為A 0，A1，A 2是彼此互斥的事件，所以“至少3人同時上網(wǎng)”的概率為。方法三：至少3人同時上網(wǎng)，這件事包括3人，4人，5人或6人同時上網(wǎng)，則記至少3人同時上網(wǎng)的事件為A，X為上網(wǎng)人數(shù)：則。（2）方法一：記“至少r個人同時上網(wǎng)”為事件B r，則 B r的概率P(B r) 隨r的增加而減少依題意是求滿足P(B r) < 0.3的整數(shù)r的最小值因為，所以至少4人同時上網(wǎng)的概率大于0.3，所以至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3。方法二：由（1）知至少3人同時上網(wǎng)的概率大于0.3，至少4人

16、同時上網(wǎng)的概率為，至少5人同時上網(wǎng)的概率為，所以至少5人同時上網(wǎng)的概率小于0.3.點評：（1）獨立重復試驗，是在同樣的條件下重復地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的（2）在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為，此時稱隨機變量X服從二項分布，在利用該公式時，一定要審清是多少次試驗中發(fā)生k次的事件，如本題中“有3人上網(wǎng)”可理解為6次獨立重復試驗恰有3次發(fā)生，即n = 6，k = 3。 例6.

17、 一名學生每天騎車上學，從他家到學校的途中有6個交通崗，假設他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是。（1）設X為這名學生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；（2）設Y為這名學生在首次停車前經過的路口數(shù)，求Y的分布列；（3）求這名學生在途中至少遇到一次紅燈的概率解析：（1）將通過每個交通崗看做一次試驗，則遇到紅燈的概率為，且每次試驗結果是相互獨立的，故，以此為基礎求X的分布列由，所以X的分布列為k=0，1，2，3，4，5，6。（2）由于Y表示這名學生在首次停車時經過的路口數(shù)，顯然Y是隨機變量，其取值為0，1，2，3，4，5。其中：表示前k個路口沒有遇上紅燈，但在第k+1個路口遇上

18、紅燈，故各概率應按獨立事件同時發(fā)生計算，而表示一路沒有遇上紅燈，故其概率為，因此Y的分布列為：Y0123456P（3）這名學生在途中至少遇到一次紅燈的事件為，所以其概率為。點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依靠概率的有關概念和運算，其關鍵是要識別題中的離散型隨機變量服從什么分布，像本例中隨機變量X表示遇到紅燈次數(shù)，而每次遇到紅燈是相互獨立的，因此這是一個獨立重復事件，符合二項分布，即。分布列能完整地刻畫隨機變量X等相應概率的變化情況，在分布列中第一行表示X的所有可取值，第二行對應的各個值（概率值）必須都是非負實數(shù)且滿足其和為1。 例7. 袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機

19、取出4只球，取到一只紅球得2分，取得一只黑球得1分，試求得分X的數(shù)學期望分析：要求數(shù)學期望，首先要求出各個得分的概率，而本題直接考察得分比較復雜，本題可從取出的4只球顏色的分布入手。解析：取出4只球顏色分布情況是：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，。點評：求出期望后，可粗略估計一下，計算的結果是否符合實際情況。如果此題的結果超過8分或低于5分，那么結果肯定有問題，估算結果能力強的，范圍還可進一步縮小解題時應注意合情估計，以避免不必要的錯誤 例8. 英語考試有100道選擇題，每題4個選項，選對得1分，否則得0分，學生甲會其中的20道，學生乙會其中的80道

20、，不會的均隨機選擇，求甲、乙在這次測驗中得分的期望分析：甲、乙分別會20道和80道，故甲、乙分別從剩下的80道和20道中隨機選擇，因為有4個選項，只有一個答案正確并且每一個選項被選出的概率相等，故甲、乙剩下不會題的猜對個數(shù)（猜對分數(shù)）是隨機變量，分別設為X，Y，可知，解析：設甲、乙不會題得分分別為隨機變量X和Y.    由題意知，    故這樣甲、乙期望成績分別為40分和85分 例9. 甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，這兩個保護區(qū)內每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為試

21、評定這兩個保護區(qū)的管理水平分析：要比較兩個保護區(qū)的管理水平，可先比較甲、乙兩個保護區(qū)的平均管理水平，然后再看它們管理水平的穩(wěn)定性解析：甲保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)X l的數(shù)學期望和方差為：，。乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的數(shù)學期望和方差為：，。因為，所以兩個保護區(qū)內每季度發(fā)生的違規(guī)平均次數(shù)是相同的，但乙保護區(qū)內的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定，而甲保護區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，所以乙保護區(qū)的管理水平相對要好點評：數(shù)學期望體現(xiàn)了隨機變量取值的平均大小，但有時僅知道均值大小還是不夠的，還需要知道隨機變量的取值如何在均值周圍變化，即計算其方差（或標準差），方差大說明隨機變量取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者說取值

22、比較集中、穩(wěn)定 【模擬試題】  1. 已知隨機變量只能取3個值：，其概率依次成等差數(shù)列，則這個數(shù)列的公差的取值范圍是       A.               B.                 C.   

23、0;            D.   2. 一臺X型號的自動機床在一小時內不需要工人照看的概率為0.8000，有四臺這種型號的自動機床各自獨立工作，則一小時內至多有兩臺機床需要工人照看的概率是       A. 0.1536                &#

24、160;   B. 0.1808                      C. 0.5632                     D. 0.9728  3

25、. 從裝有4粒大小、形狀相同，顏色不同的玻璃球的瓶中，隨意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），則倒出奇數(shù)粒玻璃球的概率比倒出偶數(shù)粒玻璃球的概率       A. 小                          B. 大     

26、0;                      C. 相等                       D. 大小不能確定  4. 某人射擊5槍，命中3槍，3槍

27、中恰有2槍連中的概率為       A.                           B.                 

28、;          C.                          D.   5. 設兩個獨立事件A、B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等，那么P（A）為     

29、60; A.                           B.                        &

30、#160;    C.                          D.   6. 某油漆公司發(fā)出10桶油漆，其中白漆5桶、黑漆3桶、紅漆2桶，在搬運中所有標簽脫落，交貨人隨意將這些標簽重新貼上，則一個訂貨3桶白漆、2桶黑漆和1桶紅漆的顧客，能夠按所訂的顏色如數(shù)得到訂貨的概率是   

31、    A.                           B.                     

32、0;     C.                           D.   7. 某班有52名學生，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個班中選出4名學生參加某項活動，這4名學生恰好來自不同組別的概率是       A.  

33、                 B.                     C.              

34、0;     D.   8. 一個盒子中有9個正品和3個廢品，每次取1個產品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數(shù)的期望=       A. 0.1                          B. 0.2  

35、;                          C. 0.3                       

36、0;  D. 0.4  9. 甲、乙兩個圍棋隊各5名隊員按事先排好的順序進行擂臺賽，雙方1號隊員先賽，負者被淘汰，然后負方的2號隊員再賽，負者又被淘汰，一直這樣進行下去，直到有一方隊員全被淘汰，另一方獲勝，假設每個隊員的實力相當，則甲方有4名隊員被淘汰且最后戰(zhàn)勝乙方的概率是_。  10. 甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，且、，若，則稱甲乙“心有靈犀”?，F(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為_。  11. 某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩

37、級，若規(guī)定從二樓到三樓用7步走完，則上樓梯的方法有35種；其中連著兩步走兩級的概率是_。  12. （12分）假定有名工人獨立地工作，假定每人工作在一小時內平均有12分鐘需要電力。（1）求在同一時刻有3名工人需要電力的概率；（2）如果最多只能供應3名工人需要的電力，求超過負荷的概率。  13. （12分）一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的，評分標準規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”。某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜，請求該考生：（1）得60分的概率；（2）得多少分的可能性最大；（3）所得分數(shù)