工程力學(xué)靜力學(xué)第三章力矩與平面力偶理論

1、第三章第三章 力矩與平面力偶理論力矩與平面力偶理論 力矩的概念與計(jì)算力矩的概念與計(jì)算 力偶及其性質(zhì)力偶及其性質(zhì) 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡（一）平面中力矩的概念（一）平面中力矩的概念oABdF一、力對(duì)點(diǎn)的矩的定義一、力對(duì)點(diǎn)的矩的定義力使剛體繞力使剛體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱程度的物理量稱(chēng)為力對(duì)程度的物理量稱(chēng)為力對(duì)O點(diǎn)點(diǎn)的矩。用的矩。用)(Fmo表示，其定表示，其定義式為：義式為：FdFmo)(其中：點(diǎn)其中：點(diǎn)O稱(chēng)為矩心，稱(chēng)為矩心，d稱(chēng)為力臂。稱(chēng)為力臂。（1）力矩的正負(fù)號(hào)表示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩）力矩的正負(fù)號(hào)表示力矩的轉(zhuǎn)向，規(guī)定力使物體繞矩心心逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)取正逆時(shí)針轉(zhuǎn)

2、動(dòng)取正，反之取負(fù)。，反之取負(fù)。（2）力矩的單位為：牛頓）力矩的單位為：牛頓（3）力矩是代數(shù)量。）力矩是代數(shù)量。米（米（N m）。）。（4）由圖可知：）由圖可知：OABFmo2)( 的面積的面積（5 5）當(dāng)力過(guò)矩心時(shí)，力矩為零；當(dāng)力為零時(shí)，力矩為零）當(dāng)力過(guò)矩心時(shí)，力矩為零；當(dāng)力為零時(shí)，力矩為零（一）平面中力矩的概念（一）平面中力矩的概念二、平面匯交力系的合力矩定理二、平面匯交力系的合力矩定理定理：定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)的矩等于各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代一點(diǎn)的矩等于各個(gè)分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。即數(shù)和。即oxxyyFA 利用合力矩定理，可以利用合力矩定

3、理，可以寫(xiě)出力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矩的解寫(xiě)出力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式，即析表達(dá)式，即yFxFFmFmFmxyxoyoo)()()(yFxF)()(ioRoFmFm合力矩定理的證明證明：l1FOAB1B2BB3b1b2b32FRF3Fb)()(ioRoFmFmObOAOABFmObOAOABFmObOAOABFmObOAOABFmRoooo2)(2)(2)(2)(333222111)()()(321RoioFmobOAobobobOAFm3.1力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算例例1 支架如圖所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 對(duì)A、B、C三點(diǎn)之矩。FFABCDAdC

4、d解：由定義mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(3.1力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算例2OxyFA1r2rBd如圖所示，求F對(duì)A點(diǎn)的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA3.1力 矩 的 概 念 與 計(jì) 算例3T1=2KNT2=1KNR=250mmO求：兩力對(duì)求：兩力對(duì)O點(diǎn)的力矩分別是多大？合力矩點(diǎn)的力矩分別是多大？合力矩多大？多大？如果把兩皮帶

5、的夾角變大，力矩是否發(fā)生變?nèi)绻褍善У膴A角變大，力矩是否發(fā)生變化？化？力 偶 及 其 性 質(zhì)（二）力偶的概念（二）力偶的概念dFF（1） 在力學(xué)中，把等值、在力學(xué)中，把等值、反向、平行而不共線(xiàn)的兩反向、平行而不共線(xiàn)的兩個(gè)具有特殊關(guān)系的力作為個(gè)具有特殊關(guān)系的力作為一個(gè)整體，稱(chēng)為一個(gè)整體，稱(chēng)為力偶力偶。 表示為表示為),(FF（2）兩力作用線(xiàn)所決定的平面稱(chēng)為）兩力作用線(xiàn)所決定的平面稱(chēng)為力偶的作力偶的作用面用面，兩力作用線(xiàn)間的距離稱(chēng)為，兩力作用線(xiàn)間的距離稱(chēng)為力偶臂力偶臂。（3）力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，）力偶是具有特殊關(guān)系的力組成的力系，雖然力偶中每個(gè)力仍具有一般的力的性質(zhì)，雖然力偶中每個(gè)

6、力仍具有一般的力的性質(zhì)，但作為一個(gè)整體又有它本身的特性：但作為一個(gè)整體又有它本身的特性：力偶既力偶既沒(méi)有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本的力學(xué)量。沒(méi)有合力，本身又不平衡，是一個(gè)基本的力學(xué)量。3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)（三）力偶矩的概念（三）力偶矩的概念 力偶對(duì)剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的力偶對(duì)剛體的作用效果不僅與力偶中兩力的大小有關(guān)，而且與力偶臂有關(guān)，將力偶中力的大大小有關(guān)，而且與力偶臂有關(guān)，將力偶中力的大小和力偶臂的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱(chēng)為小和力偶臂的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)稱(chēng)為力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm（1）正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定）正負(fù)號(hào)表示力偶的轉(zhuǎn)向。規(guī)定逆時(shí)針取正逆

7、時(shí)針取正；順時(shí)針取負(fù)順時(shí)針取負(fù)。（2）單位同力矩的單位。也是代數(shù)量）單位同力矩的單位。也是代數(shù)量（3）力偶三要素：大小、轉(zhuǎn)向、力偶作用平面）力偶三要素：大小、轉(zhuǎn)向、力偶作用平面力偶矩力偶矩：是力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效果的唯一：是力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效果的唯一度量。度量。3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理PF2F FPF1F1F2定理：在同一平面上的兩定理：在同一平面上的兩個(gè)力偶，如果他們的力偶個(gè)力偶，如果他們的力偶矩大小、轉(zhuǎn)向都相同，則矩大小、轉(zhuǎn)向都相同，則兩個(gè)力偶等效。兩個(gè)力偶等效。) ,() ,(PPmFFm已知證明：兩力偶等效) ,() ,() ,(11PPmFFmF

8、Fm（通過(guò)力的等效變化得到的）3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理 推論推論1、力偶可以在其作用平面內(nèi)任意移、力偶可以在其作用平面內(nèi)任意移動(dòng)而不影響其對(duì)剛體的作用效果。（也就是動(dòng)而不影響其對(duì)剛體的作用效果。（也就是說(shuō)，力偶對(duì)剛體的作用效果與力偶在平面內(nèi)說(shuō)，力偶對(duì)剛體的作用效果與力偶在平面內(nèi)的位置無(wú)關(guān)，恒等于力偶矩的大小）的位置無(wú)關(guān)，恒等于力偶矩的大?。┝ε伎杀硎緸椋毫ε伎杀硎緸椋簃m推論推論2、只要保持力偶矩不變，力偶可以、只要保持力偶矩不變，力偶可以適當(dāng)改變力的大小和相應(yīng)的力偶臂的大小，適當(dāng)改變力的大小和相應(yīng)的力偶臂的大小，而不改變其對(duì)剛體的作用。而不改變其對(duì)

9、剛體的作用。Fdm3.2力 偶 及 其 性 質(zhì)（四）力偶的等效定理（四）力偶的等效定理 此上性質(zhì)是力偶系合成的基礎(chǔ)。此上性質(zhì)是力偶系合成的基礎(chǔ)。 在平面問(wèn)題中，決定力偶作用效果的因在平面問(wèn)題中，決定力偶作用效果的因素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。素為：矩的大小和轉(zhuǎn)向。 力偶可表示為：力偶可表示為：mmm討論：討論： 力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投影均為零力偶在作用面內(nèi)任一軸上的投影均為零。3.3平面力偶系的合成與平衡（五）平面力偶系的合成（五）平面力偶系的合成作用面共面的力偶系稱(chēng)為作用面共面的力偶系稱(chēng)為平面力偶系平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FdRAdFm11dFm33dFm22321F

10、FFR321321)(mmmdFFFRdM推廣得：推廣得：mmmmMn 21結(jié)論：結(jié)論：平面力偶系合成的結(jié)果還是一個(gè)力偶（稱(chēng)平面力偶系合成的結(jié)果還是一個(gè)力偶（稱(chēng)為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩為合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。BdRRABd3.3平面力偶系的合成與平衡（六）平面力偶系的平衡（六）平面力偶系的平衡 平面力偶系總可以簡(jiǎn)化為圖平面力偶系總可以簡(jiǎn)化為圖示情形。若示情形。若R=0，則力偶系平衡，則力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，則或是合力偶矩等于零，則或是R=0或或是是d=0，無(wú)論哪種情況，該力偶系

11、，無(wú)論哪種情況，該力偶系均平衡。因此可得結(jié)論：均平衡。因此可得結(jié)論： 平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系平面力偶系平衡的必要與充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零。中各力偶矩的代數(shù)和等于零。即：即：0m上式稱(chēng)為上式稱(chēng)為平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。RRAB3.3平面力偶系的合成與平衡例例4 圖示矩形板，邊長(zhǎng)分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫(huà)出整體和兩板的受力圖。MABMCMCARCRMMABCARBRBRMCR3.3平面力偶系的合成與平衡例例5AB1m2m3mARBR 求圖示簡(jiǎn)支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁為研究對(duì)象，受力如圖。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR3213.3平面力偶系的合成與平衡例例6BAC1m2mDE45EB1mAARERC2mDECRER 如圖桿AB上有一導(dǎo)槽，套在桿CD上的銷(xiāo)子E上