收斂與混沌迭代

1、第三章 收斂與混沌-迭代迭代產(chǎn)生的數(shù)列可能是：(1)收斂；(2)周期性變化；(3)分岔；(4)混沌。如：用迭代產(chǎn)生的數(shù)列是否收斂？ 答：0.4000 0.7200 0.6048 0.7171 0.6087 0.7146 0.6119 0.7125 0.6146 0.7106 0.6169 0.7090 0.6190 0.7075 0.6208 0.7062 0.6224 0.7050 0.6239 0.7040 0.6252 不收斂。§31 不動點與迭代1什么是迭代定義：任意給定一個輸入，由一個函數(shù)表達式得到一個輸出；再將作為新的輸入，由同一個得到下一個輸出；重復。這中對某個函數(shù)規(guī)則

2、反復將輸出作為新輸入的重復執(zhí)行過程就稱為迭代。一個迭代過程的數(shù)學表示為其中，稱為迭代函數(shù)，產(chǎn)生的數(shù)列稱為迭代數(shù)列，稱為迭代初值。迭代函數(shù)是關(guān)鍵，迭代數(shù)列的變化趨勢主要由它決定。例1：，則迭代式為，分別取=0, 0.1, 0.8, 1, 2, 99計算，得下面數(shù)列：0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0.1, 0.31, 0.56, 0.74, 0.86, 0.93, 0.96, 0.98 0.99 0.99 .0.8 0.89 0.94 0.97 0.98 0.99 0.99 1 1 1 1 1 1 1 .2, 1.41, 1.18, 1.09, 1.04, 1.02,

3、 1.01, 1.00, 1.00, .99, 9.94, 3.15 1.77 1.33 1.15 1.07 1.03 1.01 1.00 1.00 結(jié)論：迭代函數(shù)對于初值保持不動（稱為不動點）；對于其余初值（非1的任何正數(shù)）都收斂于1 . 問：時，迭代規(guī)律？2不動點定義：若存在點，滿足，則稱點為迭代函數(shù)的一個不動點。對于同一個，其不動點不一定存在、不一定唯一。在某個不動點附近取初值，迭代可能收斂于這個不動點，稱它為吸引的（如例1中的不動點1）；也可能遠離此不動點，稱它為排斥的（如例1中的不動點0）。§32 用圖示法體現(xiàn)迭代數(shù)列的規(guī)律線性迭代：二次函數(shù)迭代：一種特殊的二次函數(shù)迭代：著

4、名的Logistic函數(shù)，其中，參數(shù)在0到4之間取值對應(yīng)的Logistic迭代為 本節(jié)就以Logistic迭代為例，討論揭示迭代數(shù)列規(guī)律的圖形方法。你將會看到某寫全新的現(xiàn)象和問題，如分岔、混沌等古怪現(xiàn)象。先求不動點：令，解得兩個不動點 與 再分析迭代規(guī)律：（1） 若，則因為“總有”，從而，所以，對于任意初值，都收斂于不動點0；（2）若，則對于任意初值，都收斂于不動點； （3）若，則迭代規(guī)律很亂，對于不同的分別呈現(xiàn)諸如收斂、周期性震蕩、分岔、混沌之類的從有規(guī)律到無規(guī)律、又從無規(guī)律到有規(guī)律等等的非常復雜的、有趣的、怪異的現(xiàn)象。 定義：若迭代數(shù)列中，當下標n充分大時，每隔k個數(shù)就出現(xiàn)周期性重復，則稱

5、此迭代為k周期。 下面介紹刻畫迭代數(shù)列規(guī)律的三種圖形方法1線性聯(lián)結(jié)圖橫坐標： 縱坐標： 把向鄰的點用折線聯(lián)結(jié)。 看書 P26 圖畫 圖3.1 的程序為：a=3.8;x(1)=0.2;for i=1:20 x(i+1)=a*x(i)*(1-x(i);endplot(0:20,x)畫 圖3.2 的程序為：a=3.2,3.5,3.5644,3.8284;y =0.2*1,1,1,1;for i=1:10000 y=a.*y.*(1-y);endx(1,:)=y;for i=1:20 x(i+1,:)=a.*x(i,:).*(1-x(i,:);endsubplot(2,2,1),plot(0:20,(

6、x(:,1)')subplot(2,2,2),plot(0:20,(x(:,2)')subplot(2,2,3),plot(0:20,(x(:,3)')subplot(2,2,4),plot(0:20,(x(:,4)')從線性聯(lián)結(jié)圖上，看不出當a=3.5644, a=3.8284時，Logistic迭代到底是幾-周期的？ 用下面蛛網(wǎng)圖就可以看清楚。2蛛網(wǎng)圖先計算出，再做下列工作： （1）畫曲線和直線；（2） 出發(fā)點，過A做豎直線交曲線于點，過B做水平線交直線于新的點；再過新A做豎直線交曲線于新的點，過新B做水平線交直線于新的點；重復多次。畫 圖3.4中第3個圖

7、的程序為：hold onx=0:0.05:1;y=3.5644*x.*(1-x);plot(x,y),plot(0,1,0,1)a=3.5644;x=0.2;for i=1:10000 x=a*x*(1-x);endfor i=1:20 y=3.5644*x.*(1-x); plot(x,x,x,y),plot(x,y,y,y) x=y;endhold off從蛛網(wǎng)圖3.4容易看出，周期分別是2、4、8、3.3費根鮑姆圖為了研究Logistic函數(shù)中參數(shù)對迭代的影響，現(xiàn)以參數(shù)為橫坐標、以為縱坐標作圖。（為體現(xiàn)規(guī)律，從迭代了10000次以后的點開始）。畫 圖3.6 的程序為：a=2.9,3.2,

8、3.5,3.5644,3.7,3.8284;x =0.2*1,1,1,1,1,1;for i=1:10000 x=a.*x.*(1-x);endhold onfor i=1:1000 x=a.*x.*(1-x); for j=1:6 plot(a(j),x(j) endendhold off§33 分岔與混沌 上一節(jié)內(nèi)容表明迭代結(jié)果很敏感地受到參數(shù)的影響，利用費根鮑姆圖可以很直觀地刻畫這種影響?，F(xiàn)令從2到4以步長h=0.02逐步取值，對的每個值都畫出迭代了10000項后的1000項的費根鮑姆圖。見書P30圖3.7，借此可分析得到一些結(jié)果。 畫 圖3.7 的程序為：a=2:0.02:4

9、;x =0.2*ones(1,101);for i=1:10000 x=a.*x.*(1-x);endhold onfor i=1:1000 x=a.*x.*(1-x); for j=1:101 plot(a(j),x(j) endendhold off 1倍周期當3時， 為1周期（即收斂）當3.44時， 為2周期當3.54時，為4周期當3.56時，為8周期稱這種現(xiàn)象為倍2周期現(xiàn)象。 2分岔隨著a的增大，每過一段，圖形就會分岔，分岔的本質(zhì)就是周期擴大2倍。從1周期分裂成2周期的分岔點為a=3；從2周期裂成4周期分岔點記為；從4周期裂成8周期分岔點記為；從8周期裂成16周期分岔點記為； 2周期的區(qū)段長為； 4周期的區(qū)段長為； 8周期的區(qū)段長為；通常，記 周期的區(qū)段長為 費根鮑姆發(fā)現(xiàn)了下面結(jié)果：（此數(shù)稱為費根鮑姆數(shù)） 3混沌當時，迭代無規(guī)律，進入混沌。在很狹窄的區(qū)段上，迭代呈現(xiàn)出3周期、倍3周期（即6周期、12周期 等）。 在另一個很狹窄的區(qū)段上，迭代呈現(xiàn)出5周期、倍5周期（即10周期、20周期 等）。 §34 二元函數(shù)迭代 由兩個二元函數(shù)構(gòu)造的迭代為此迭代將產(chǎn)生兩個數(shù)列，可用前面的圖形法研究此迭代。 若，則稱為二元迭代函數(shù)的不動點。 1高斯算術(shù)幾何平均數(shù)列由兩個二元函數(shù)構(gòu)造迭代 產(chǎn)生的數(shù)列就是著名的高