慎用導(dǎo)數(shù)解數(shù)列問題

1、 導(dǎo)數(shù)，作為高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容之一，為解題教學(xué)和教研注入了新的活力，更是解決函數(shù)單調(diào)性問題的有力工具.由于數(shù)列可看作是特殊的函數(shù)，所以許多學(xué)生自然而然就想到用導(dǎo)數(shù)來解決有關(guān)數(shù)列單調(diào)性問題.但由于未能深入理解導(dǎo)當(dāng)選知識的背景、吃透其含義，未能準(zhǔn)確把握數(shù)列單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系和區(qū)別，沒有對其進(jìn)行有機(jī)地“整合”，從而導(dǎo)致諸多錯誤.下面摘取學(xué)生的幾例典型錯誤，加以分析，旨在引起同行的注意. 例1 已知數(shù)列的通項(xiàng)，求數(shù)列的最大項(xiàng). 錯解 設(shè)，則.令得；得或. 得在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù). 又，故當(dāng)時，. 所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為. 分析；結(jié)果是正確的，但其解題過程是錯誤的，原因是導(dǎo)數(shù)是定義在連續(xù)

2、函數(shù)上的，而對于，是離散函數(shù)，不存在導(dǎo)數(shù)，因而不能對其求導(dǎo). 正解 作輔助函數(shù)（），則. 令得；得或. 得在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù). 因此，當(dāng)時函數(shù)取得最大值. 對，.，于是 所以，數(shù)列的最大項(xiàng)為. 當(dāng)然，本題仍可利用數(shù)列本身的性質(zhì)給以解決.若是數(shù)列中最大項(xiàng)，則，即，解得.由知時，即數(shù)列的最大項(xiàng)為. 例2 已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對任意的正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 錯解 因是遞增數(shù)列，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故輔助函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，有在上恒成立，On123即在上恒成立，故. 分析：以上解答由是遞增數(shù)列，斷定函數(shù)在上單調(diào)遞增是錯誤的.由于數(shù)列通項(xiàng)公式中的是正整數(shù)，而不是取內(nèi)的

3、任意實(shí)數(shù)，如圖，該圖象表示的數(shù)列顯然是遞增數(shù)列，但此時對稱軸，即，并不滿足. 正解 由于是遞增數(shù)列，由數(shù)列的單調(diào)性知，即對任意恒成立，將代入化簡可得，又因?yàn)?，于是得，即?shí)數(shù)的取值范圍是. 例3 已知數(shù)列的通項(xiàng)為且對所有正整數(shù)均成立，求的取值范圍. 錯解 依題意是遞減數(shù)列，確定的取值范圍. 作輔助函數(shù)（，）， 則（）恒成立（）恒成立函數(shù)在區(qū)間上為減函在恒成立. 因?yàn)?，由在恒成立，即（）恒成立?得（）恒成立，于是，即. 正解 對于，. 因?yàn)?，所以的取值范圍? 評注：由于，可見以上兩種結(jié)果截然不同，上述錯解在（）恒成立，并推不出在區(qū)間上為減函，（）恒成立是函數(shù)在區(qū)間上為減函的必要而不充分條件，二者之間并非等價！ 事實(shí)上，令得， 當(dāng)時，為增函數(shù)； 當(dāng)時，為減函數(shù)； 所以是函數(shù)的極大點(diǎn)，而當(dāng)時，即函數(shù)在區(qū)間（）上為增函數(shù)，在為減函數(shù)（在區(qū)間上并非為減函），但，仍有（）成立. 通過以上幾例我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的單調(diào)幾與函數(shù)的單調(diào)性出現(xiàn)了不和諧的“音符”，二者并不總是統(tǒng)一一致的，將數(shù)列問題簡單的函