微分中值定理教案

1、第二章 一元函數(shù)微分學(xué)§2.6 微分中值定理【課程名稱】 高等數(shù)學(xué)【授課題目】微分中值定理【授課時(shí)間】2011年11月18日【授課對(duì)象】2011級(jí)電子信息專業(yè)【教學(xué)內(nèi)容】 本節(jié)課所將要學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是微分中值定理中的核心定理拉格朗日（Lagrange）中值定理，羅爾（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理則是拉格朗日中值定理推廣。微分中值定理揭示的是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，因而稱為中值定理。它是幾個(gè)定理的統(tǒng)稱。微分中值定理也是微分學(xué)的理論基礎(chǔ)，微分學(xué)的很多重要的應(yīng)用都是建立在這個(gè)基礎(chǔ)之上，后面將要討論的

2、洛必達(dá)（Lhospital）法則、泰勒（Taylor）公式、函數(shù)的增減性與極值等都要用到微分中值定理?！窘虒W(xué)目標(biāo)】 1、使學(xué)生掌握拉格朗日中值定理，熟練運(yùn)用拉格朗日中值定理證明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；2、使學(xué)生在掌握拉格朗日中值定理的同時(shí)，能聯(lián)系前后學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行層次歸納與總結(jié)，形成系統(tǒng)的知識(shí)層次與結(jié)構(gòu)；3、使學(xué)生經(jīng)歷拉格朗日中值定理的完整的研究過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)應(yīng)用的樂(lè)趣，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)和解決問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】微分中值定理中拉格朗日中值定理的證明。【教學(xué)方法及手段】以啟發(fā)式講授為主，采用多媒體輔助演示。§2

3、.6.2 拉格朗日中值定理一、內(nèi)容回顧定理1（Rolle）若函數(shù)滿足條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)； （3）。則至少存在一點(diǎn)，使得。幾何意義：在定理的條件下，區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處具有水平切線。二、拉格朗日中值定理定理2（Lagrange）設(shè)函數(shù)滿足條件：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 。 或?qū)懗?。 上述公式稱為拉格朗日中值公式，且對(duì)于也成立。幾何意義：如果連續(xù)曲線上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于弦。（幻燈片1）板書標(biāo)題（幻燈片2）首先回顧前面所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，然后通過(guò)提問(wèn)引入

4、新課的內(nèi)容:微分中值定理的核心內(nèi)容-拉格朗日（Lagrange）中值定理。（幻燈片3）【本節(jié)重點(diǎn)】板書定理內(nèi)容解釋定理的條件及結(jié)論，指出定理?xiàng)l件的一般性。（幻燈片4為 Lagrange生平簡(jiǎn)介。）（幻燈片5）借助于多媒體，圖文并茂地解釋定理幾何意義。由拉格朗日定理的幾何意義可以看出，當(dāng)函數(shù)滿足時(shí)，此時(shí)弦的斜率等于零。即 。這便是羅爾定理的結(jié)論。所以羅爾定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。即Lagrange中值定理Rolle定理證明分析：若記 ，要證（1）式，即證也就是是否存在，使函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為零？即。證明： 作輔助函數(shù)，。容易驗(yàn)證在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且 。從而滿足羅爾定理的

5、條件，即至少存在一點(diǎn)，使。 即 證畢。（幻燈片6）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀 察圖形的區(qū)別引導(dǎo)學(xué)生思考拉格 朗日中值定理與羅爾定理的關(guān)系【本節(jié)難點(diǎn)】板書分析證明的思路引導(dǎo)學(xué)生采用逆向思維的方式，從結(jié)論入手分析得出需證明的結(jié)論的條件。（幻燈片7）此定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)滿足羅爾定理?xiàng)l件，然后利用羅爾定理的結(jié)論證明。此處提出問(wèn)題讓學(xué)生思考是否還有別的方法構(gòu)造輔助函數(shù)滿足條件，然后給出提示。由拉格朗日中值定理還可以得出下面的推論：推論 設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且，則在內(nèi)為常數(shù)。即，其中為常數(shù)。證：任取，不妨設(shè)，在上應(yīng)用定理2，得，其中。因?yàn)椋?，從而。由的任意性可知，為常?shù)。三、定理的應(yīng)用例1 證明 。證

6、： 設(shè)，則在上，由推論1可知（常數(shù)）。令，得。又，故所證等式在定義域上成立。練習(xí)1：證明證：設(shè)，則在上， （幻燈片8-9）此處引導(dǎo)學(xué)生思考證明的思路與方法，然后由學(xué)生回答，最后教師總結(jié)完整證明過(guò)程。（幻燈片10）板書例題的詳細(xì)證明過(guò)程。此處應(yīng)提醒學(xué)生注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性。（幻燈片11）此處可以請(qǐng)一名學(xué)生回答，然后教師做點(diǎn)撥。，由推論可知，令得。故所證等式在定義域上成立。例2 證明不等式。證：設(shè)，則在上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此有即，又因?yàn)椋?。練?xí)2：證明不等式。證：設(shè)，則在上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此有即，因?yàn)?，所?（幻燈片12）板書證明的分析過(guò)程。指出本題的關(guān)鍵是找出

7、研究的對(duì)象函數(shù)，注意觀察不等式的特點(diǎn)，找出合適的函數(shù)，合理運(yùn)用定理證明不等式。（幻燈片13）此處請(qǐng)一名學(xué)生上講臺(tái)做練習(xí)，然后巡視其他學(xué)生的答題情況，最后教師做總結(jié)。例3 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，且，又對(duì)于內(nèi)的所有點(diǎn)有，證明方程在內(nèi)有唯一實(shí)根。證： 存在性設(shè) 則在內(nèi)可導(dǎo),連續(xù)。又，所以，。由零點(diǎn)定理知在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。唯一性（反證法）假設(shè)方程在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，不妨設(shè)，則有，。對(duì)函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在，使得，與題設(shè)矛盾，唯一性得證。課堂小結(jié)：一、拉格朗日中值定理（注意與羅爾定理的關(guān)系）；二、拉格朗日中值定理的推論；三、拉格朗日中值定理的應(yīng)用。（證明恒等式、不等式以及方程根的存在情況等）課后作業(yè)：P96