高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 離散型隨機(jī)變量及其分布列——知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1、離散型隨機(jī)變量及其分布列知識(shí)導(dǎo)學(xué) 一、課標(biāo)要求 通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念。理解二點(diǎn)分布、超幾何分布，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用。 二、要點(diǎn)清點(diǎn) 1隨機(jī)變量 在隨機(jī)試驗(yàn)中，確定了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示，在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。這種隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母，表示或，等表示。 說明：（1）隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果都可以用一個(gè)數(shù)表示，如擲一枚硬幣，“正面向上”用數(shù)字“1”表示，即=1； （2）這個(gè)數(shù)在隨機(jī)試驗(yàn)前是無法預(yù)先確定的，在不同的隨機(jī)試驗(yàn)中，結(jié)果可能有變化，說明隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以

2、用一個(gè)變量來表示。如某人射擊一次，可能出現(xiàn)命中0環(huán)，命中1環(huán)，命中10環(huán)等結(jié)果，即可能結(jié)果用0，1，2，10這11個(gè)數(shù)表示； （3）所謂隨機(jī)變量不過是建立起基本事件空間與實(shí)數(shù)的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。如設(shè)隨機(jī)變量為骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，于是=1，2，3，4，5，6，或者說的值域?yàn)椋?（4）隨機(jī)變量是把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果映射為實(shí)數(shù)，函數(shù)是把實(shí)數(shù)映射為實(shí)數(shù)，與函數(shù)概念本質(zhì)上是相同的。在函數(shù)的概念中，函數(shù)的自變量是實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量的概念中，隨機(jī)變量的自變量是隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。 2離散型隨機(jī)變量 對(duì)于隨機(jī)變量所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。 說明：隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機(jī)變量叫做連續(xù)型

3、隨機(jī)變量，我們只研究離散型隨機(jī)變量。 3離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值（，2，）的概率，以表格的形式表示如下： 則稱上表為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列。有時(shí)為了表達(dá)簡單，也用等式，2，表示的分布列。 說明：（1）離散型隨機(jī)變量的分布列不僅能清楚地反映了其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一個(gè)值的概率的大小，從而反映了隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中取值的分布狀況，是進(jìn)一步研究隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)量特征的基礎(chǔ)； （2）一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和。 4離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì) （1），2，3，； （2）。

4、 說明：利用分布列和概率的性質(zhì)，可以計(jì)算能由隨機(jī)變量表示的事件的概率。 5求離散型隨機(jī)變量的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟：（1）確定的可能取值（1，2，）； （2）求出相應(yīng)的概率； （3）列成表格的形式。 說明：在求概率時(shí)，要用到互斥事件的概率、排列、組合、分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理等知識(shí)和方法，因此對(duì)學(xué)過的內(nèi)容要多加復(fù)習(xí)；在求概率時(shí)，要充分運(yùn)用分布列的性質(zhì)，一是可減少運(yùn)算量，二是可驗(yàn)證所求的分布列是否正確。 6兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量的分布列為 01稱為兩點(diǎn)分布。如果隨機(jī)變量的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱服從兩點(diǎn)分布，而稱為成功概率。 說明：兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能性，且其概

5、率之和為1。 7超幾何分布 一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為，0，1，2，其中 ，且，稱分布列01為超幾何分布。如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布。 說明：（1）超幾何分布列給出了求解這類問題的方法，可以通過公式直接運(yùn)用求解，但不能機(jī)械地去記憶公式，要在理解的前提下記憶；（2）在超幾何分布中，只要知道，和，就可以根據(jù)公式，求出取不同值時(shí)的概率，從而列出的分布列。 三、范例剖析 例1 某座收費(fèi)站一天經(jīng)過的中華牌轎車的輛數(shù)為；某網(wǎng)站中歌曲難忘今宵一天內(nèi)被點(diǎn)擊的次數(shù)；一天內(nèi)的溫度；射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得

6、0分，用表示該射手在一次射擊中的得分。上述問題中的是離散型隨機(jī)變量的是（ ） 分析：中一天內(nèi)的溫度不能把其取值一一列出，是連續(xù)型隨機(jī)變量，而非離散型隨機(jī)變量。 解析： 評(píng)注：該例主要考查了離散型隨機(jī)變量的定義，分辨時(shí)要緊扣定義，是否能一一列出。 例2 一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以表示取出球的最大號(hào)碼，求的分布列。 分析：隨機(jī)取出3個(gè)球的最大號(hào)碼所有可能取值為3，4，5，6?！?3”對(duì)應(yīng)事件“取出的3個(gè)球，編號(hào)為1，2，3”； “=4”對(duì)應(yīng)事件“取出的3個(gè)球中恰取到4號(hào)球和1，2，3號(hào)球中的2個(gè)”； “=5”對(duì)應(yīng)事件“取出的3個(gè)球中恰取

7、到5號(hào)球和1，2，3，4號(hào)球中的2個(gè)”； “=6”對(duì)應(yīng)事件“取出的3個(gè)球中恰取到6號(hào)球和1，2，3，4，5號(hào)球中的2個(gè)”。 解析：隨機(jī)變量的取值為3，4，5，6。從袋中隨機(jī)地取出3個(gè)球，包含的基本事件總數(shù)為，事件“=3” 包含的基本事件總數(shù)為，事件“=4” 包含的基本事件總數(shù)為，事件“=5” 包含的基本事件總數(shù)為，事件“=6” 包含的基本事件總數(shù)為，從而有： ；。 隨機(jī)變量的分布列為3456 評(píng)注：確定隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是搞清取每一個(gè)值對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件，進(jìn)一步利用等可能事件的概率公式和排列組合的知識(shí)求出取每一個(gè)值的概率，從而獲得的分布列。 例3 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，（1，2，3，），求實(shí)數(shù)的值。 分析：利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求值。 解析：依題意，有， 由知， ，解得。 評(píng)注：該例在求的值時(shí)，運(yùn)用了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式。 例4 從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回任取3件，求取得次品數(shù)為的分布列。 分析：該例是超幾何分布，可利用超幾何分布的概率公式求解。 解析：設(shè)隨機(jī)