總結(jié)梯形常用輔助線(xiàn)及對(duì)應(yīng)例題

1、幫你總結(jié)梯形中的輔助線(xiàn)1.平移梯形一腰或兩腰,把梯形的腰、兩底角等轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形中,同時(shí)還得到平行四邊形【例1】 分析:平移一腰BC到DE,將題中已知條件轉(zhuǎn)化在同一等腰三角形中解決,即AB=2CD.證明：過(guò)D作 ,交AB于E. AB平行于CD,且 ,四邊形 是菱形. 又 為等邊三角形. 又 ,.【例2】解：過(guò)E 作EMAB ,EN DC ,分別交BC 于M 、N , , 是直角三角形, , , . 、 分別是 、 的中點(diǎn), 為 的中點(diǎn), . 2.延長(zhǎng)梯形的兩腰,使它們交于一點(diǎn),可得到兩個(gè)相似三角形或等腰三角形、直角三角形等進(jìn)一步解決問(wèn)題【例3】分析：條件是兩個(gè)梯形的面積相等,而結(jié)論是三線(xiàn)段長(zhǎng)

2、的平方關(guān)系,如果延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn),就可得到三個(gè)相似的三角形,再利用相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系變形就可得出結(jié)論證明：延長(zhǎng) 、 使它們相交于 點(diǎn) , . 同理, 故得 3.從梯形上底的兩端向下底引垂線(xiàn)作高,可以得到一個(gè)矩形和兩個(gè)直角三角形然后利用構(gòu)造的直角三角形和矩形解決問(wèn)題【例4】.分析:過(guò)上底向下底作兩高,構(gòu)造Rt,然后利用兩三角形全等解決問(wèn)題.證明：分別過(guò)D、C、作AB的垂線(xiàn),垂足分別為E、F. , .又 , .4.平移一條對(duì)角線(xiàn)一般是過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一條對(duì)角線(xiàn)的平行線(xiàn),與另一底的延長(zhǎng)線(xiàn)相交,得到一個(gè)平行四邊形和三角形,把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形問(wèn)題解決【例5】分析：由梯形中

3、位線(xiàn)性質(zhì)得 ,欲證 ,只要證 過(guò) 點(diǎn)作 ,交 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 ,就可以把 、 和 移到三角形 中,再證明等式成立就簡(jiǎn)單多了證明：過(guò) 點(diǎn)作 交 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) ,則四邊形 是平行四邊形 , 四邊形 是等腰梯形, , 又 , , ,   . , 又 , . 【例6】.證明：過(guò)D作 ,交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于E.則四邊形 是平行四邊形. 又 , 于是,可得 梯形ABCD是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中點(diǎn)的問(wèn)題可以作出梯形的中位線(xiàn),中位線(xiàn)與上、下底都平行,且三線(xiàn)段有數(shù)量關(guān)系. 或利用“等積變形”,連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn),并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn),構(gòu)成三角形解決問(wèn)題 【例7】證明：取 的中點(diǎn)F,連結(jié)F

4、E.則 ,. 6.當(dāng)遇到以上的梯形輔助線(xiàn)添加后不能解決問(wèn)題時(shí),可以特題特解,結(jié)合具體問(wèn)題中的具體條件,尋求特殊的方法解決問(wèn)題.比如可將對(duì)角線(xiàn)繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 、利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、將梯形補(bǔ)成平行四邊形或三角形問(wèn)題.【例9】證明：連結(jié)并延長(zhǎng) ,交 于E.則 . 又N是AC的中點(diǎn), ,故 取一腰的中點(diǎn),連結(jié)頂點(diǎn)和這個(gè)中點(diǎn)并延長(zhǎng)與對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)相交,可得兩個(gè)全等三角形【例10】分析：要證明 ,可以利用 為 中點(diǎn),延長(zhǎng) 與 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于 , ,得到 ,再證明 即可證明：延長(zhǎng) 、 交于點(diǎn) F,顯然 , . 又 , , , , 是線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn) , . 評(píng)注：添加輔助線(xiàn)后,溝通了 、 與 的聯(lián)系,由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)得出 ,從而問(wèn)題獲得解決利用一腰中點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 【例11】證明：延長(zhǎng)AE、BC相交于點(diǎn)F.易證 , , 即 .BE是等腰 底邊上的高. .說(shuō)明：在圖5中, 相當(dāng)于由 繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn) 得到；在圖6中, 是由 繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn) 得到.【例12】.分析： 與梯形ABCD的面積關(guān)系不明顯,如果利用梯形助特點(diǎn)把它補(bǔ)成如圖7的平行四邊形,它們之間的關(guān)系就清晰了梯形補(bǔ)成平行四邊形,各種關(guān)系明顯、直觀(guān),解題思路清晰證明：延長(zhǎng) ,使 ,延長(zhǎng) ,使 ；