《信號(hào)與系統(tǒng)》課程講義5-2

1、5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性一、理想低通濾波器一、理想低通濾波器 理想低通濾波器：將低通濾波網(wǎng)絡(luò)的某些特性理想化理想低通濾波器：將低通濾波網(wǎng)絡(luò)的某些特性理想化 而定義的濾波網(wǎng)絡(luò)而定義的濾波網(wǎng)絡(luò) 理想模型理想模型1理想低通濾波器的頻率特性理想低通濾波器的頻率特性信號(hào)：沖激函數(shù)、階躍函數(shù)信號(hào)：沖激函數(shù)、階躍函數(shù)(信號(hào)特性信號(hào)特性)系統(tǒng)：理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器系統(tǒng)：理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器(系統(tǒng)特性系統(tǒng)特性)特性：矩形幅度、線性相移特性：矩形幅度、線性相移0() ()()0 j tcjceH jH je 5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理

2、可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性0( )t 1()0cccH j()H jcc01( ) 0t0cc與無失真?zhèn)鬏敆l件相比：通帶內(nèi)滿足無失真?zhèn)鬏敆l件與無失真?zhèn)鬏敆l件相比：通帶內(nèi)滿足無失真?zhèn)鬏敆l件cc功能：使頻率低于功能：使頻率低于 的分量無失真的通過；的分量無失真的通過； 高于高于 的分量完全衰減為的分量完全衰減為0， 為截止頻率為截止頻率c5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性0111( )()()22ccj tj tj th tH jH jedeedF0()0000sin()1( )Sa()2()()jt tccccccctteh tttj tt

3、tt2.理想低通濾波器的沖激響應(yīng)理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 時(shí)刻加入時(shí)刻加入0t ( ) t()H j( )h t( )h t0t 由于由于 在在 時(shí)有值，未卜先知，所以物理上不可能實(shí)現(xiàn)時(shí)有值，未卜先知，所以物理上不可能實(shí)現(xiàn) 實(shí)際濾波器分析與設(shè)計(jì)往往需要理想濾波器理論作指導(dǎo)實(shí)際濾波器分析與設(shè)計(jì)往往需要理想濾波器理論作指導(dǎo)5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性3.理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)( )u t()Hj( )?g t 0 1(), ()( )0 j tccceH jE jj 01()() ()( )j tG jH jE jej 011

4、1( ) ()( )2ccj tj tg tG jeedj F00cos()sin()111222ccccttttddj0()000sin()1111sin22cct tttxddxx 奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)( )g t5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性0sinSi( )yxydxx011( )Si()2cg ttt令令 (正弦積分正弦積分)，則，則y的奇函數(shù)的奇函數(shù)0sa( )2t dt5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性 定義上升時(shí)間：輸出由最小值到最大值所需要的時(shí)間定義上升時(shí)間：輸出由最小值到最大值所需要的時(shí)

5、間00max()1111.8514( )Si()1.089522cct tg ttt 212, rfccftBB為折合成頻率的濾波器帶寬為折合成頻率的濾波器帶寬(截止頻率截止頻率)結(jié)論：階躍響應(yīng)的上升時(shí)間與系統(tǒng)的截止結(jié)論：階躍響應(yīng)的上升時(shí)間與系統(tǒng)的截止頻率頻率(帶寬帶寬)成成反比反比c 越高，上升越快，逼近階躍的上升沿：較多的高頻越高，上升越快，逼近階躍的上升沿：較多的高頻分量通過濾波器，高頻分量主要影響信號(hào)的邊沿分量通過濾波器，高頻分量主要影響信號(hào)的邊沿 變化時(shí)，由于具有不連續(xù)點(diǎn)變化時(shí)，由于具有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn)跳變點(diǎn))，響應(yīng)頂部的震，響應(yīng)頂部的震蕩不會(huì)消失，第一個(gè)峰起為常數(shù)蕩不會(huì)消失，第一個(gè)

6、峰起為常數(shù)c5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性4.理想低通濾波器對(duì)矩形脈沖的響應(yīng)理想低通濾波器對(duì)矩形脈沖的響應(yīng)100( )( )()1Si() Si()ccr tg tg ttttt2c條件：條件： ，上升時(shí)間遠(yuǎn)小于矩形脈寬，保證得到大，上升時(shí)間遠(yuǎn)小于矩形脈寬，保證得到大體上為矩形的響應(yīng)脈沖；否則響應(yīng)波形上升沿與下降沿體上為矩形的響應(yīng)脈沖；否則響應(yīng)波形上升沿與下降沿連在一起，完全丟失激勵(lì)信號(hào)的脈沖形象連在一起，完全丟失激勵(lì)信號(hào)的脈沖形象1( )( )()e tu tu t5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性maxma

7、xmaxmax( )( )11.8514( )1.08959%2( )r te tr te t5.吉布斯振蕩吉布斯振蕩 吉布斯現(xiàn)象：吉布斯現(xiàn)象：理想低通對(duì)矩形脈沖的響應(yīng)出現(xiàn)該現(xiàn)象理想低通對(duì)矩形脈沖的響應(yīng)出現(xiàn)該現(xiàn)象具有不連續(xù)點(diǎn)具有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn)跳變點(diǎn))的波形，取級(jí)數(shù)項(xiàng)越多，近似波的波形，取級(jí)數(shù)項(xiàng)越多，近似波形的方均誤差可減小，但在跳變點(diǎn)的峰起（上沖）不能形的方均誤差可減小，但在跳變點(diǎn)的峰起（上沖）不能減小，該峰起隨級(jí)數(shù)項(xiàng)增多向跳變點(diǎn)靠近，而峰起值趨減小，該峰起隨級(jí)數(shù)項(xiàng)增多向跳變點(diǎn)靠近，而峰起值趨于跳變值的于跳變值的 9%5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性

8、窗函數(shù)窗函數(shù)(理想濾波器階躍響應(yīng)有關(guān)結(jié)論理想濾波器階躍響應(yīng)有關(guān)結(jié)論)利用利用矩形矩形頻率特性為信號(hào)頻譜開窗，只能看到頻率特性為信號(hào)頻譜開窗，只能看到信號(hào)頻譜的一部分，在時(shí)域的不連續(xù)點(diǎn)要上沖信號(hào)頻譜的一部分，在時(shí)域的不連續(xù)點(diǎn)要上沖選用其它窗函數(shù)，例如選用其它窗函數(shù)，例如升余弦升余弦窗函數(shù)，有可能窗函數(shù)，有可能消除上沖消除上沖5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性sin()( )ctdh tdtt()H j例例2已知已知 ，求，求解：解：21()20H j()Sa()2E j( )r t，

9、例例1已知已知 ，求，求解：解：5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性1理想低通濾波器物理不可實(shí)現(xiàn)，但可設(shè)計(jì)出理想低通濾波器物理不可實(shí)現(xiàn)，但可設(shè)計(jì)出 接近接近理想低通的電路理想低通的電路二、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性、佩利二、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性、佩利維納準(zhǔn)則維納準(zhǔn)則LRC()H j例例3. 已知已知 ，求，求L+1( )v tCR2( )v t221()11()()11RVjj RCH jRLVjj LLCjj RCR()21()()1()jccH jH jej 22 221(), ( )1 ()1 () ()ccccH jarctg 解：解：1cLC令令 ，并注意

10、到，并注意到 ，則，則LRCL+1( )v tCR2( )v tHj0cc1( ) 0cc/2/222322()33()()22ccccH jj223( )sin()23( )ctcch tet u t( )h tt0與理想低通濾波器區(qū)別：與理想低通濾波器區(qū)別：沖激響應(yīng)從沖激響應(yīng)從 t = 0 開始；衰減特性不太迅速；開始；衰減特性不太迅速；()0H j5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性2 系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)之系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)之時(shí)域特性：時(shí)域特性： ( (充要條件充要條件) )( )( ) ( )h th t u t 的出現(xiàn)是有起因的，不能在沖激作用之前就產(chǎn)生

11、的出現(xiàn)是有起因的，不能在沖激作用之前就產(chǎn)生( )h t3系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)之系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)之頻域特性頻域特性( (幅度幅度) )：佩利：佩利維納準(zhǔn)則維納準(zhǔn)則 （必要條件）（必要條件） 22()ln()1H jdH jd 如果滿足如果滿足必要條件必要條件 在某段頻帶內(nèi)在某段頻帶內(nèi) ，則系統(tǒng)一定非因果，則系統(tǒng)一定非因果，即只允許即只允許 在不連續(xù)的有限點(diǎn)上為零在不連續(xù)的有限點(diǎn)上為零()0H j()H j 有理多項(xiàng)式函數(shù)總能滿足上述條件有理多項(xiàng)式函數(shù)總能滿足上述條件 高斯函數(shù)幅度特性無法實(shí)現(xiàn)，即高斯函數(shù)幅度特性無法實(shí)現(xiàn)，即 的衰減特性不能的衰減特性不能 太迅速太迅速()H j22()ln()1H jdH

12、 jd 如果滿足如果滿足必要條件必要條件解釋：解釋： 因果，因果， 滿足關(guān)系，滿足關(guān)系， 在在 t 0 出現(xiàn)。出現(xiàn)。 將將 向左平移，進(jìn)入向左平移，進(jìn)入 t 0 時(shí)間范圍，則為非因果系統(tǒng)。時(shí)間范圍，則為非因果系統(tǒng)。 幅度特性相同，相位特性不同，幅度特性相同，相位特性不同，必要條件，非充分條件必要條件，非充分條件()H j()H j( )h t( )h t()H j 應(yīng)用：如果應(yīng)用：如果 滿足準(zhǔn)則，尋找合適的相位函數(shù)滿足準(zhǔn)則，尋找合適的相位函數(shù) ，共同構(gòu)成物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，共同構(gòu)成物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)( ) 幅度特性幅度特性+相位特性相位特性 因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想

13、低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性2()H je例例4證明證明 物理不可實(shí)現(xiàn)物理不可實(shí)現(xiàn)t ( )h t證明：證明：(1) 鐘形信號(hào)的傅氏變換為鐘形信號(hào)，而且鐘形信號(hào)從鐘形信號(hào)的傅氏變換為鐘形信號(hào)，而且鐘形信號(hào)從開始，故開始，故不是因果信號(hào)，系統(tǒng)非因果不是因果信號(hào)，系統(tǒng)非因果2()H jd (2) 能夠滿足能夠滿足 222222lnln()1111(1)1eH jddddlim 2()2(lim)2BBBarctgBB lim()BBarctgB5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性( )

14、( ) ( )1 ( ) ( ) ( )()()()2h th t u th th tu tH jR jjX jFFF11()() ()() ( )2R jjX jR jjX jj 三、利用希爾伯特變換研究系統(tǒng)函數(shù)的約束特性三、利用希爾伯特變換研究系統(tǒng)函數(shù)的約束特性()H j()R j()X j2因果系統(tǒng)因果系統(tǒng) 的實(shí)部的實(shí)部 和虛部和虛部 的關(guān)系的關(guān)系 111 ()( )()()( )()22jR jX jX jR j ()1( )()1( )2222R jXX jRdjd( )( ) ( )h th t u t1系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性的實(shí)質(zhì)是因果性：系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)性的實(shí)質(zhì)是因果性：5.2理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性理想低通濾波器、系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性()1( )1( )()()22()1( )1( )()()22R jXXR jdR jdX jRRX jdX jd希爾伯特變換對(duì)希爾伯特變換對(duì)由于因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部和虛部間具有某由于因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)的實(shí)部和虛部間具有某種相互制約的關(guān)系，以種相互制約的關(guān)系，以希爾伯特變換形式表示出來希爾伯特變換形式表示出來ln()H j( ) 3 與與 也滿足一定的變換關(guān)系也滿足一定的變換關(guān)系5.2理想低通濾