人教版高中數(shù)學(xué)【必修四】[知識點整理及重點題型梳理]-正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)-基礎(chǔ)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識點梳理重點題型（常考知識點）鞏固練習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義；2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)(如單調(diào)性、周期性、最大值和最小值以及與軸的交點等)【要點梳理】要點一：周期函數(shù)的定義函數(shù)，定義域為I，當(dāng)時，都有，其中T是一個非零的常數(shù)，則是周期函數(shù)，T是它的一個周期.要點詮釋：1.定義是對I中的每一個值來說的，只有個別的值滿足或只差個別的值不滿足都不能說T是的一個周期.2.對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期，三角函數(shù)中的周期一般都指最小正周期.要點二

2、：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)正弦函數(shù)ysinx余弦函數(shù)y=cosx定義域RR值域-1，1-1，1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性最小正周期最小正周期單調(diào)區(qū)間kZ增區(qū)間減區(qū)間增區(qū)間減區(qū)間最值點kZ最大值點最小值點最大值點最小值點對稱中心kZ對稱軸kZ要點詮釋：（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域為，是指整個正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或一個周期內(nèi)的正弦曲線、余弦曲線，如果定義域不是全體實數(shù)，那么正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域就可能不是，因而求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域時，要特別注意其定義域（2）求正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，易錯點有二：一是單調(diào)區(qū)間容易求反，要注意增減區(qū)間的求法，如求的單調(diào)遞增區(qū)間時，應(yīng)先將變換為再求解，相當(dāng)

3、于求的單調(diào)遞減區(qū)間；二是根據(jù)單調(diào)性的定義，所求的單調(diào)區(qū)間必須在函數(shù)的定義域內(nèi)，因此求單調(diào)區(qū)間時，必須先求定義域要點三：正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)與函數(shù)可看作是由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，因此它們的性質(zhì)可由正弦函數(shù)，余弦函數(shù)類似地得到：（1）定義域：（2）值域：（3）單調(diào)區(qū)間：求形如與函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過解不等式的方法去解答，即把視為一個“整體”，分別與正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間對應(yīng)解出，即為所求的單調(diào)遞增（減）區(qū)間比如：由解出的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由解出的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間（4）奇偶性：正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)不一定具備奇偶性對于函數(shù)，當(dāng)時為奇函

4、數(shù)，當(dāng)時為偶函數(shù)；對于函數(shù)，當(dāng)時為偶函數(shù)，當(dāng)時為奇函數(shù)要點詮釋：判斷函數(shù)，的奇偶性除利用定義和有關(guān)結(jié)論外，也可以通過圖象直觀判斷，但不能忽視“定義域關(guān)于原點對稱”這一前提條件（5）周期：函數(shù)及函數(shù)的周期與解析式中自變量的系數(shù)有關(guān)，其周期為（6）對稱軸和對稱中心與正弦函數(shù)比較可知，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（或最小值），因此函數(shù)的對稱軸由解出，其對稱中心的橫坐標(biāo)，即對稱中心為同理，的對稱軸由解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由解出要點詮釋：若，則函數(shù)和函數(shù)不一定有對稱軸和對稱中心【典型例題】類型一：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域與值域例1求函數(shù)的定義域；【答案】【解析】 為使函數(shù)有意義，需滿足2sin2x+cos x

5、10，即2cos2xcos x10，解得畫出余弦函數(shù)的圖象或單位圓，如下圖所示 定義域為【總結(jié)升華】求三角函數(shù)的定義域要注意三角函數(shù)本身的符號及單調(diào)性，在進(jìn)行三角函數(shù)的變形時，要注意三角函數(shù)的每一步都保持恒等，即不能改變原函數(shù)的自變量的取值范圍舉一反三：【變式1】求函數(shù)的定義域【解析】依題意得2sin x10，即，（kZ），函數(shù)的定義域為例2求下列函數(shù)的值域：（1）y=32sin x（2），；（3）【答案】（1）1，5（2）0，2（3）【解析】 （1）1sin x1，22sin x2，22sin x2，132sin x5，函數(shù)的值域為1，5（2），0y2函數(shù)的值域為0，2（3），當(dāng)cos x=

6、1時，函數(shù)的值域為【總結(jié)升華】 一般函數(shù)的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)舉一反三：【變式1】 求y=cos2x+4sin x2的值域【解析】y=cos2x+4sin x2=sin2x+4sin x1=(sin x2)2+31sin x1，當(dāng)sin x=1時，ymin=6；當(dāng)sin x=1時，ymax=2函數(shù)的值域為6，2類型二：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性例3（2016 浙江溫州期末）設(shè)函數(shù)（1）若a0，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，f（x）的值域為1，3，求a，b的值【思路點撥】（1）由

7、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解不等式可得答案；（2）由，可得，結(jié)合題意可得或，解方程組可得【答案】（1）；（2）或【解析】（1）a0，由可得，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時，f（x）的值域為1，3，或，分別可解得或舉一反三：【變式1】（2015春 河南期中）已知函數(shù) （1）求該函數(shù)的周期，并求函數(shù)在區(qū)間0，上的值域；（2）求該函數(shù)在2，2上的單調(diào)增區(qū)間【答案】（1）T=4，；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為：和【解析】（1）由題意函數(shù)的周期，x0，即函數(shù)在區(qū)間0，上的值域為；（2）原函數(shù)可化為，原函數(shù)的增區(qū)間即為的減區(qū)間，令，解得，kZ，令k=0，可得，令k=1，可得，x2，2，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：和類型三

8、：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性例4判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）； 【思路點撥】（1）先利用誘導(dǎo)公式化簡為，再按步驟去判斷（2）先求函數(shù)的定義域，然后判斷【解析】（1）函數(shù)定義域為R，且，顯然有恒成立函數(shù)為偶函數(shù)（2）由2sin x10，即，得函數(shù)定義域為（kZ），此定義域在x軸上表示的區(qū)間不關(guān)于原點對稱該函數(shù)不具有奇偶性，為非奇非偶函數(shù)【總結(jié)升華】 判斷函數(shù)奇偶數(shù)時，必須先檢查定義域是否是關(guān)于原點的對稱區(qū)間如果是，再驗證是否等于或，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)舉一反三：【變式】關(guān)于x的函數(shù)=sin(x+)有以下命題：對任意的，都是非奇非偶函數(shù)；不存在，使既是奇

9、函數(shù)，又是偶函數(shù)；存在，使是奇函數(shù)；對任意的，都不是偶函數(shù).其中一個假命題的序號是_.因為當(dāng)=_時，該命題的結(jié)論不成立.【思路點撥】當(dāng)=2k，kZ時，=sinx是奇函數(shù).當(dāng)=2(k+1)，kZ時仍是奇函數(shù).當(dāng)=2k+，kZ時，=cosx，當(dāng)=2k-，kZ時，=-cosx，都是偶函數(shù).所以和都是正確的.無論為何值都不能使恒等于零.所以不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).和都是假命題.【解析】，k(kZ)；或者，+k(kZ)；或者，+k(kZ)類型四：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的對稱性例5（2015春 湖南益陽月考）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最值及相應(yīng)的x值集合；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)f（x）的圖象的對稱

10、軸與對稱中心【思路點撥】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的最值性質(zhì)即可求函數(shù)的最值及相應(yīng)的x值集合；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性即可求函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸與對稱中心【解析】（1）當(dāng)，即，kZ，即，kZ，此時函數(shù)取得最大值為2；故f（x）的最大值為2，使函數(shù)取得最大值的x的集合為；（2）由，得，kZ函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ由，得，kZ函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，kZ（3）由，得，kZ即函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為，kZ由，得，kZ，即對稱中心為，kZ【總結(jié)升華】（1）正弦曲線、余弦曲線的對稱軸一定分別過正弦曲線、余弦曲線的最高點或最低點，即此時的

11、正弦值、余弦值取最大值或最小值（2）正弦曲線、余弦曲線的對稱中心一定分別過正弦曲線、余弦曲線與x軸的交點，即此時的正弦值、余弦值都為0舉一反三：【正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 例1】【變式1】指出下列函數(shù)的對稱軸與對稱中心（1）；（2）.【解析】（1）令，則的對稱軸方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函數(shù)的對稱軸方程是（kZ） 同理，對稱中心的橫坐標(biāo)為，即對稱中心為（2）令，則的對稱軸方程是（kZ），即（kZ），解得（kZ）函數(shù)的對稱軸方程是（kZ） 同理，對稱中心的橫坐標(biāo)為，即對稱中心為（kZ）類型五：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期例6求下列函數(shù)的周期：（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）

12、令，而，即T=2令z=2x，則，即，T=令，則，T=4原式，舉一反三：【正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì) 例2】【變式1】判斷下列函數(shù)是否是周期函數(shù).若是周期函數(shù)，求其最小正周期.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）是 （2）不是 （3）類型六：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例7已知函數(shù)（1）求其定義域和值域；（2）判斷奇偶性；（3）判斷周期性，若是周期函數(shù)，求周期；（4）寫出單調(diào)區(qū)間【思路點撥】在（3）中，可畫出圖象求周期，除了用周期函數(shù)的定義求周期外，作圖也是一種基本的方法在（4）中，可以將看成是由，u=|t|，t=sin x復(fù)合而成【解析】（1）由，得，xk，kZ函數(shù)的定義域為x|xk，kZ，函數(shù)的值域為y|y0（2），函數(shù)是偶函數(shù)（3），函數(shù)是周期函數(shù)，且周期是（可結(jié)合圖象驗證）（4）設(shè)t=|sin x|，當(dāng)時，sin x0，t=|sin x|為增函數(shù)；當(dāng)時，sin x0，t=|sin x|為減函數(shù)又函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)增