極限的計算與證明方法

1、本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）冊 學院 匯華學院 專業(yè) 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 班級 2008 級 X 班 學生 XXX 指導(dǎo)教師 XXX 論文編號 河北師范大學本科畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書編 號： 論文（設(shè)計）題目： 極限的計算與證明方法 學 院： 匯華學院 專業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 班級： 2008 級 3 班 學生姓名： xxx 學號： 指導(dǎo)教師： xxx 職稱： 1、論文（設(shè)計）研究目標及主要任務(wù) 目標：總結(jié)一些常用的極限的計算和證明方法。 主要任務(wù)：通過歸納總結(jié)對極限思想及其計算、證明方法加以鞏固，為后繼的數(shù)學學習奠定基礎(chǔ)。同時也培養(yǎng)自身的探究精神，提高自身的科學素養(yǎng)。2、論文（設(shè)計）的主要內(nèi)容 主要內(nèi)

2、容：極限的常見的計算和證明方法，即利用函數(shù)的定義求極限、利用兩個準則求極限、利用柯西收斂準則求極限、利用極限的四則運算性質(zhì)求極限、利用兩個重要極限公式求極限、利用單側(cè)極限求極限、利用無窮小量的性質(zhì)求極限、利用等價無窮小量代換求極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、利用中值定理求極限、利用定積分求和式的極限、利用洛必達法則求極限、利用泰勒展開式求極限、利用級數(shù)收斂的必要條件求極限等。3、論文（設(shè)計）的基礎(chǔ)條件及研究路線 基礎(chǔ)條件：圖書館借閱及網(wǎng)上相關(guān)資料查閱。 研究路線：首先引入極限的分類及定義；然后對極限的計算與證明方法進行搜集歸納，并一一列舉，并給出相應(yīng)的例題以促進知識的理解、

3、掌握及應(yīng)用；最后作出總結(jié)。4、主要參考文獻1華東師范大學數(shù)學系編,數(shù)學分析（第三版）M，高等教育出版社，2001 年。2大學數(shù)學名師導(dǎo)學叢書編寫組編，數(shù)學分析名師導(dǎo)學M，中國水利水電出版社,2004 年。3錢吉林等主編，眾邦考試教育研究所策劃，數(shù)學分析解題精粹（第二版）M，湖北長江出版集團，2009 年。5、計劃進度階段起止日期1畢業(yè)論文選題、文獻調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題 2011.11.012012.12.022進行畢業(yè)論文的初稿寫作 2012.12.032012.02.013進行畢業(yè)論文的二稿寫作 2012.02.022012.03.244進一步修改論文，并最終定稿 2012.0

4、3.252012.05.095論文答辯 2012.05.10指 導(dǎo) 教 師： 年 月 日教研室主任： 年 月 日河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告書 匯華 學院 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 專業(yè) 2012 屆學生姓名xxx論文（設(shè)計）題目極限的計算與證明方法指導(dǎo)教師xxx專業(yè)職稱所屬教研室研究方向課題論證：（見附頁）方案設(shè)計：研究對象：極限的計算及證明方法。研究問題：極限常見的求法和證明方法的總結(jié)歸納。 采用方法：經(jīng)驗總結(jié)法、比較研究法、文獻資料法等。內(nèi)容安排：本文分為四個部分：緒論、極限的分類及定義、極限的計算與證明方法及結(jié) 束語。第一部分主要介紹極限在數(shù)學分析中的作用，引出主題；第二部分簡 要

5、介紹數(shù)學分析中極限的分類和定義；第三部分進入正文部分，歸納總結(jié)了 十五種極限的常見求法及證明方法，并輔以相應(yīng)的例題；第四部分是對全文 進行的總結(jié)性段落，使文章首尾呼應(yīng)，內(nèi)容更為完整。預(yù)期目標：掌握求極 限的方法，并且能夠在不同的題目中應(yīng)用想適應(yīng)的方法，更好地完成極限的 求解及證明工作。同時通過對極限求法的討論，加強應(yīng)用極限解題的能力， 為日后相關(guān)學習奠定堅實基礎(chǔ)。進度計劃： 2011.11.012012.12.02 畢業(yè)論文選題、文獻調(diào)研、填寫畢業(yè)論文任務(wù)書、論文開題； 2012.12.032012.02.01 進行畢業(yè)論文的初稿寫作； 2012.02.022012.03.24 進行畢業(yè)論文的

6、二稿寫作； 2012.03.252012.05.09 進一步修改論文，并最終定稿； 2012.05.10 論文答辯。指導(dǎo)教師意見： 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日教研室意見： 教研室主任簽名： 年 月 日畢業(yè)論文課題論證（附）數(shù)學分析是近代數(shù)學的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門學科，在初等數(shù)學這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到數(shù)學分析這種動態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過程中，研究對象發(fā)生了很大的變化。也正是在這一背景下，極限作為一種研究事物動態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)用而生。極限作為數(shù)學分析的理論基礎(chǔ)和基本組成部分，作為區(qū)別初等數(shù)學的重要標志，伴隨著微積分的建立，最終發(fā)展成現(xiàn)在的角色，貫穿于整個數(shù)學分析學習的過

7、程中，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級數(shù)的收斂性等定義都建立在極限的基礎(chǔ)上，可見極限在數(shù)學分析的學習過程中起到了十分重要的作用。極限的產(chǎn)生和發(fā)展可謂是曲折坎坷的，極限理論的建立不僅消除了微積分長期以來帶有的神秘性，也為微積分奠定了理論基礎(chǔ)，加速了微積分的發(fā)展，使微積分能夠更好的更深入的解決更多的實際問題，成為生產(chǎn)和科學技術(shù)中有力的工具，而且在思想上和方法上深刻的影響和促進了近代數(shù)學的發(fā)展。 極限是描述數(shù)列和函數(shù)在無限過程中的變化趨勢的重要概念，研究數(shù)學分析中函數(shù)的性質(zhì)實際上就是研究各種類型的極限，由此可見極限的重要性。極限理論又是數(shù)學分析中的基本概念，對極限理論和極限概念

8、理解和掌握的好壞將直接影響到相關(guān)課程的學習。極限理論是從初等數(shù)學到高等數(shù)學的重要轉(zhuǎn)折，極限概念描述的是變量在某一變化過程中的變化趨勢，是從有限到無限、近似到精確、量變到質(zhì)變過程，與初等數(shù)學中的概念有很大的區(qū)別，因此學生掌握起來比較困難。 而就是因為其艱難的發(fā)展路程，才更顯現(xiàn)了它在數(shù)學研究過程中的重要性。要深入數(shù)學領(lǐng)域，就必須培養(yǎng)并掌握極限的思想及相關(guān)概念，更重要的就是要能夠熟練地使用極限的方法解決數(shù)學中的很多難題。而如何求極限，怎樣使求極限變得容易，這是絕大多數(shù)學生較為頭痛的問題。又因為極限運算作為學習數(shù)分過程中的最基本的運算，所以能夠很好地掌握一些常用的求極限的方法時十分必要的。求極限不僅要

9、準確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件，而且還要能準確地求出各種極限。而對于一些比較復(fù)雜的極限，如果直接按照極限的定義來求就會顯得非常困難，不僅計算量大，而且不一定能求出結(jié)果。為了極限的發(fā)展，使之得到更廣泛的應(yīng)用，有很多學者專家對求極限的方法也進行過深入的研究。作為一個數(shù)學專業(yè)的學生，很有必要對極限的求法和證明方法進行了解和熟悉。相信這個課題會讓我更多的人了解數(shù)學這門學科，也對形成數(shù)學思想起到促進作用。本文就是針對極限的計算和證明方法展開的。河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）文獻綜述作為一種科學的思想方法，極限思想同樣是社會實踐的產(chǎn)物。極限的起源與發(fā)展一直也是學者們較為關(guān)注的話題。早在春秋戰(zhàn)

10、國時期，哲學名著莊子記載著惠施的一句名言“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”就已經(jīng)反映了古人對極限問題有了一定的思考。而我國古代數(shù)學家劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”已經(jīng)能夠利用極限論的初步思想來解決求圓周率的實際問題了。同時，古希臘人的“窮竭法”也已經(jīng)將極限思想蘊涵其中來解決問題。但是，由于希臘人對“無限”有著一種恐懼心理，于是他們便借助了一種間接的方法歸謬法來完成有關(guān)證明。以上這些都是極限思想在其萌芽階段的表現(xiàn)，盡管這一階段的極限概念不明確，但是卻能夠為后人繼續(xù)探索和發(fā)展極限思想提供一個很好的平臺。到了 16、17 世紀，極限思想進入了發(fā)展階段，荷蘭數(shù)學家斯泰文改進了“窮竭法” ，并且大膽地運用了極限

11、的思想來思考問題，從而將極限方法發(fā)展成為了一個實用的概念。之后，牛頓和萊布尼茲以無窮小的概念為基礎(chǔ)建立了微積分，但由于他們在研究過程中遇到了邏輯困難，因此也不同程度地接受了極限思想。 ，此時，真正意義上的極限才得以建立。然而牛頓對于極限的理解是建立在幾何直觀上的，故而無法給出極限的嚴格表述，這與數(shù)學上的追求嚴密的原則相抵觸。到了 18 世紀，羅賓斯、達朗貝爾以及依里埃等人先后給出明確態(tài)度，指明極限必須是微積分的基礎(chǔ)概念，并且都作出了各自的極限的定義。直到 19 世紀，法國數(shù)學家柯西在前人的研究基礎(chǔ)上才將極限概念比較完整地闡述出來。為了排除極限概念中依舊存在的幾何直觀的痕跡，德國數(shù)學家維爾斯特拉

12、斯對極限又作出了靜態(tài)的定義，也給微積分奠定了更為嚴格的理論基礎(chǔ)。這個嚴格的定義也被看作是科學論證的基礎(chǔ)，一直沿用至今。到了近代，在數(shù)學的許多分支中，很多重要的學術(shù)性概念及理論都是以極限思想為理論基礎(chǔ)來進行延拓和深化的。運用極限思想來解決問題也已經(jīng)成為了學習數(shù)學分析乃至整個高等數(shù)學過程中一件必不可少的工具，數(shù)學分析之所以能夠很好地解決初等數(shù)學無法解決的問題，也正是源于它應(yīng)用了極限的思想方法。因此，能夠很好的掌握極限的計算及證明方法也成為學習數(shù)學分析的必要條件。近年，許多的專家、學者對極限的熱衷程度逐漸提升，他們在深入探究極限的概念及理論意義的同時也對極限的計算和證明方法有不同程度的的研究，并且取

13、得了一定的突破。比如說利用中值定理求極限、利用無窮小量求極限等方法便是較為突出的研究成果。這對于后人學習數(shù)學分析甚至是深入數(shù)學領(lǐng)域都有著重大的意義。 河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）翻譯文章英文原文：摘自 Vladimir A.Zorich 著的Mathematical Analysis I第 111 頁到 114 頁。3.2.2 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì) 在這里我們給出一些常用的函數(shù)極限的性質(zhì)。它們中的許多性質(zhì)都類似于我們之前已經(jīng)給出的數(shù)列極限的性質(zhì)，而數(shù)列極限的性質(zhì)我們已經(jīng)給出，此處不再贅述。此外，由上面命題 1 的證明能夠明顯地看出，很多函數(shù)極限的性質(zhì)都是隨著與其相應(yīng)的數(shù)列極限的性

14、質(zhì)的形成而產(chǎn)生的，例如：極限的唯一性、極限的運算性以及極限的保不等式性等。 讀者們可以注意到這樣的現(xiàn)實：我們僅僅需要一列極限點的去心鄰域的兩個性質(zhì)： aUBE1，即點集E的去心鄰域是非空的； aUaUaUBEEE 2 aUaUaUEEE ，也就是說，任意去心鄰域的交集都包含某一個去心鄰域。這一結(jié)論給出了我們函數(shù)極限的一般概念，函數(shù)極限定理也使得未來數(shù)集的定義成為了可能。為了使得此處的討論不與上述的 3.1 節(jié)出現(xiàn)重復(fù)，我們將給出一些前節(jié)沒有進行證明的新的方法和概念。a. 函數(shù)極限的一般性質(zhì)函數(shù)極限的一般性質(zhì) 首先，我們給出以下定義： 定義定義 4.4. 如前所述，假設(shè)函數(shù)REf:僅是一個常值函

15、數(shù)。取一個函數(shù)REf:，當Exax ,時，如果點a是去心鄰域 aUE上的一個常值，則a被稱作函數(shù)f上最終恒定的一個點，即a為集合E的一個極限點。 定義定義 5.5. 函數(shù)REf:是有界的，有上界或者是由下界，如果存在一個數(shù)RC，對于所有的Ex，都使得,)(,)(CxfCxf或者)(xfC 成立。如果上述三種關(guān)系之一僅在這些去心鄰域里成立的話，當Exax ,時，這個函數(shù)就被稱為最終有界、最終有上界或者有下界。定理定理 1. a. 當Exax時，函數(shù)REf:是一個常數(shù)A ExAxfax,)(lim。 b. 存在ExAxfax,)(lim1 當Exax時，函數(shù)REf:是一個有界常數(shù)。 c. 當)()

16、(lim)(lim21ExAxfAxfaxax且時 21AA 。證明 結(jié)論 a 中一個最終的常函數(shù)有一個極限，結(jié)論 b 中一個函數(shù)有的極限存在，說明這個函數(shù)有界，這與其對應(yīng)的定義相符合。我們現(xiàn)在來證明極限的唯一性。假設(shè)21AA 。選取兩個互不相交的鄰域 1AV和 2AV，即 21AVAV。由極限的定義我們有 11)()(limAVaUfaUExAxfEEax, 2 2)()(limAVaUfaUExAxfEEax。選取一個a（E的一個極限點）的一個去心鄰域 aUE，使得 aUaUaUEEE 。又 aUE，再取 aUxE。然后就有 21)(AVAVxf，由于鄰域 1AV和 2AV互不相交，故 2

17、1)(AVAVxf不成立。 b.b.極限的四則運算法則極限的四則運算法則 定義定義 6.6. 如果兩個數(shù)值函數(shù)REf:和REg:有一個共同的定義域E，它們的和、積和商函數(shù)分別由下列的同一組公式來定義： ,xgxfxgf ,xgxfxgf ,xgxfxgf此處 Exxg,0。 定理定理 2 2. 取函數(shù)REf:和函數(shù)REg:，使得他們有一個共同的定義域。如果ExBxgAxfaxax,)(lim)(lim且，那么a. ExBAxgfax,)(lim；b. ExBAxgfax,)(lim；c. 00,limxgBExBAgfax且，對于。在 3.2.2 節(jié)的開頭已經(jīng)注明，這個定理是一個之前的名題 1

18、 中給出的數(shù)列極限相應(yīng)定理的直接結(jié)果。這個定理也可以通過重復(fù)證明數(shù)列極限的性質(zhì)來得到。為了縮小集合E中點a的去心鄰域的范圍，我們需要在證明過程中給出一定的限定條件，即同先前涉及到的陳述“從自然數(shù) N 中取一個數(shù) n” 。此處為讀者自行證明。當Exax時，函數(shù)REf:被稱作是無窮的，如果函數(shù)的極限為零。 命題命題 2.2. a.當Exax時,如果RE :和RE :趨于無窮，那么它們的和也趨于無窮。 b.當Exax時,如果RE :和RE :是無窮函數(shù)，那么它們的積 也是無窮的。 c.當Exax時,如果RE :是無窮的，且RE :是有界的，那么它們的積是無窮的。 證明 a.我們將給出證明如下： Ex

19、xExxxaxaxax,0lim,0)(lim0)(lim且。對于任意0，利用極限的定義，有 2)(,0)(limxaUxaUExxEEax， 2)(,0)(lim xaUxaUExxEEax。那么對于去心鄰域 aUaUaUEEE 我們可以得到 xxxxxaUxE，這樣，我們就證明了 0limxax。 b.這個結(jié)論是結(jié)論 c 的特殊情形，因為每一個極限存在的函數(shù)都有界。 c.給出證明如下 MxaUxaURMxEEax,0)(lim且 Exxxax, 0lim。對于任意0，利用極限的定義，有 MxaUxaUExxEEax)(,0)(lim。那么對于去心鄰域 aUaUaUEEE 可以得到 MMxx

20、xxxaUxE 。這樣，我們就證明了 Exxxax, 0lim。 英文原文：3.2.2 Properties of the Limit of a FunctionWe now establish a number of properties of the limit of a function that are constantly being used. Many of them are analogous to the properties of the limit of a sequence that we have already established, and for that r

21、eason are essentially already known to us. Moreover, by Proposition 1 just proved, many properties of the limit of a function follow obviously and immediately from the corresponding properties of the limit of a sequence: the uniqueness of the limit, the arithmetic properties of the limit, and passag

22、e to the limit in inequalities.We call the readers attention to the fact that, in order to establish the properties of the limit of a function, we need only two properties of deleted neighborhoods of a limit point of a set: aUBE1,that is, the deleted neighborhood of the point in E is nonempty; aUaUa

23、UBEEE 2 aUaUaUEEE ,That is, the intersection of any pair of deleted neighborhoods contains a deleted neighborhood. This observation leads us to a general concept of a limit of a function and the possibility of using the theory of limits in the future not only for functions defined on sets of numbers

24、. To keep the discussion from becoming a mere repetition of what was said in Sect. 3. 1, we shall employ some useful new devices and concepts that were not proved in that section.a. General Properties of the Limit of a Function We begin with some difinitions.Definition 4. As before, a function REf:

25、assuming only one value is called constant. A function REf: is called ultimately constant as axE if it is constant in some deleted neighborhood aUE, where a is a limit point of E.Definition 5. A function REf: is bounded, bounded above, or bounded below respectively if there is a number RCsuch that ,

26、)(,)(CxfCxfor )(xfC for all Ex. If one of these three relations holds only in some deleted neighborhood aUE, the function is said to be ultimately bounded, ultimately bounded above, or ultimately bounded below as axE respectively.Theorem 1. a)(REf: is ultimately the constant Aas axE)(AxfaxE)(lim).b)

27、()(limxfaxE)(REf: is ultimately bounded as axE).c)(1)(limAxfaxE)(2)(limAxfaxE)(21AA ).Proof.The assertion a) that an ultimately constant function has a limit, and assertion b) that a function having a limit is ultimately bounded, follow immediately from the corresponding definitions. We now turn to

28、the proof of the uniqueness of the limit.Suppose 21AA . Choose neighborhoods 1AV and 2AV having no points in common, that is, 21AVAV.By definition of a limit, we have 11)(limAVaUfaUAxfEEaxE, 2 2)(limAVaUfaUAxfEEaxE.We now take a deleted neighborhood aUE of a (which is a limit point of E) such that a

29、UaUaUEEE . Since aUE, we take aUxE. We then have 21)(AVAVxf, which is impossible since the neighborhoods 1AV and 2AV have no points in common. b. Passage to the Limit and Arithmetic OperationsDefinition 6. If two numerical-valued functions REf: and REg: have a common domain of definition E, their su

30、m, product, and quotient are respectively the functions defined on the same set by the following formulas: ,:xgxfxgf ,:xgxfxgf ,:xgxfxgfif 0 xgforEx.Theorem 2. LetREf: and REg: be two functions with a common domain of definition.If AxfaxE)(lim and BxgaxE)(lim, thena) BAxgfaxElim;b) BAxgfaxElim;c)BAg

31、faxElim, if 0B and 0)(xg for Ex.As already noted at the beginning of Subsect. 3.2.2,this theorem is an immediate consequence of thecorresponding theorem on limits of sequences, given Proposition 1. The theorem can also be obtainedby repeating the proof of the theorem on the algebraic properties of t

32、he limit of a sequence.The changes needed in the proof in order to do this reduce to referring to some deleted neighborhood aUE of a in E, where previously we had referred to statements holding from some Nn on. We advise the reader to verify this.Here we shall obtain the theorem from its simplest sp

33、ecial case when 0 BA.Of course assertion c) will then be excluded from consideration.A function REf: is said to be infinitesimal as axE if 0)(limxfaxE.Proposition 2. a) If RE : and RE : are infinitesimal functions as axE, then their sum RE : is also infinitesimal as axE.b)If RE : and RE : are infini

34、tesimal functions as axE, then their product RE : is also infinitesimal as axE.c)If RE : is infinitesimal as axE and RE : is ultimately bounded as axE, then their sum RE : is also infinitesimal as axE.Proof. a) We shall verify that.Let 0 be given. By definiti 0lim0lim0limxxxaxEaxEaxEon of the limit,

35、 we have 20limxaUxaUxEEaxE, 20lim xaUxaUxEEaxE.Then for the deleted neighborhood aUaUaUEEE we obtain xxxxxaUxE,That is, we have verified that 0limxaxE.b)This assertion is a special case of assertion c), since every function that has a limit is ultimately bounded.c)We shall verify that MxaUxaURMxEEax

36、E0lim)0)()(lim(xxaxELet 0 be given.By definition of limit we have MxaUxaUxEEaxE0lim.Then for the deleted neighborhood aUaUaUEEE , we obtain MMxxxxxaUxE .Thus we have verified that 0limxxaxE. 本科生畢業(yè)論文設(shè)計題目 極限的計算與證明方法 作者姓名 X X X 指導(dǎo)教師 X X X 所在學院 匯華學院 專業(yè)（系） 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 班級（屆） 2012 屆 X 班 完成日期 2012 年 5 月 8 日目目 錄

37、錄中文摘要、關(guān)鍵詞 .III1.緒論 .12.極限的分類及定義 .1 2.1 數(shù)列極限及其定義 .1 2.2 函數(shù)極限及其定義 .23.極限的計算與證明方法 .2 3.1 利用極限的定義求極限.2 3.2 利用三個準則求極限.3 3.3 利用柯西收斂準則求極限 .5 3.4 利用極限的四則運算性質(zhì)求極限.6 3.5 利用兩個重要極限公式求極限.7 3.6 利用單側(cè)極限求極限.8 3.7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限 .8 3.8 利用等價無窮小量代換求極限 .9 3.9 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 .9 3.10 利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求極限 .11 3.11 利用中值定理求極限 .12 3.12 洛必達法則

38、求極限 .14 3.13 利用泰勒展開式求極限 .17 3.14 利用定積分求和式的極限 .18 3.15 利用級數(shù)收斂的必要條件求極限 .194.結(jié)束語 .20參考文獻 .20英文摘要、關(guān)鍵詞 .IV極限的計算與證明方法河北師范大學匯華學院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè)指導(dǎo)教師 XXX作者 XXX摘要 本文主要歸納了數(shù)學分析中求極限的十五種方法：（1）利用函數(shù)的定義求極限、 （2）利用三個準則求極限、 （3）利用柯西收斂準則求極限、 （4）利用極限的四則運算性質(zhì)求極限、 （5）利用兩個重要極限公式求極限、 （6）利用單側(cè)極限求極限、（7）利用無窮小量的性質(zhì)求極限、 （8）利用等價無窮小量代換求極限、 （

39、9）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、 （10）利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限、 （11）利用中值定理求極限、 （12）利用定積分求和式的極限、 （13）利用洛必達法則求極限、 （14）利用泰勒展開式求極限、（15）利用級數(shù)收斂的必要條件求極限。關(guān)鍵詞 極限，極限的分類，極限的計算方法 1.緒論數(shù)學分析就是將函數(shù)作為研究對象，將極限理論及其方法作為基本方法，并且把微積分學作為其主要內(nèi)容的一門學科。而極限理論及其方法在這門課程中又占有著極其重要的地位。極限思想是微積分中的最基本的一種思想，數(shù)學分析中的大量的深層次理論及相關(guān)應(yīng)用都是極限的不斷延拓和深化，而其中的一系列重要概念，例如導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性以及定積分等等都需

40、要借助極限來定義。假若有人要問：“數(shù)學分析到底是一門什么樣的學科？”那么我們可以概括地說：“數(shù)學分析便是將極限思想作為基本工具對函數(shù)進行研究的的一門學科” 。 極限的思想是近代數(shù)學的一種重要思想，數(shù)學分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論（包括級數(shù)）為主要工具來研究函數(shù)的一門學科。極限一直是數(shù)學分析中的一個重點內(nèi)容，極限主要可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限兩大類，而極限的計算與證明方法又可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們可以知道求極限的最基本的方法還是利用極限的定義，同時也要注意兩個重要極限的運用，也可以利用數(shù)列極限的四則運算法則計算。迫斂性和單調(diào)有界準則是很重要的定理，在解題的時候要重點注意運用。泰勒

41、公式、洛必達法則等則是針對某些特殊的情形而言的。極限理論的建立，不僅將長期以來微積分所帶有的神秘性消除了，而且在數(shù)學思想上和解題方法上深刻的影響并且促進了近代數(shù)學的快速發(fā)展，成為了生產(chǎn)以及科學技術(shù)中的有力工具。所謂的極限思想，就是運用極限概念對一系列問題進行分析并作出進一步的解決的一種數(shù)學思想。由此，極限運算也就成為了學習數(shù)分過程中的最基本的運算。極限的定義又是高度抽象的，這就使得我們不能完全利用其基本的定義來解決所有有關(guān)問題，而又因為極限的運算分布于整個高等數(shù)學的始終，所以，對于極限的相關(guān)計算方法和證明方法便顯得尤為重要。2.極限的分類及定義2.1 數(shù)列極限及其定義 定義 設(shè) na為數(shù)列，a

42、為定數(shù)。若對任給的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當Nn 時有,aan則稱數(shù)列 na收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列 na的極限，并記作aannlim,或)(naan,讀作“當n趨于無窮大時， na的極限等于a或na趨于a”。注：以上定義常稱為數(shù)列極限的N定義。2.2 函數(shù)極限及其定義定義 設(shè)f為定義在, a上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的0，存在正數(shù)(M)a,使得當Mx 時有 Axf)(,則稱函數(shù)f當x趨于時以A為極限，記作Axfx)(lim 或 Axf)( )(x。3.極限的計算與證明方法3.1 利用極限的定義求極限 利用極限的定義求極限是一種最根本的求極限的方法?！纠?1】利用極限的定義證明下題：(1)

43、0, 0!limanann; (2)nnn!lim;證 (1)對于任意0，都要找到N，使得當Nn 時， !0!nanann (1.1)分析不等式(1.1)的左端，分子為n個數(shù)a的乘積，分母為n, 2 , 1 的乘積，隨著n不斷的增大，分子上的因子永遠是數(shù)a，而分母的因子會越來越大，因此不等式左端隨著n的增大，會越來越小，而且有 11nnxnax由于a為一個正常數(shù)，故存在著正整數(shù)1N，使得11Na則當1Nn 時，naNaxxNn111,并且 naxxNn10由此，若想使(1.1)成立，只需 naxN1 (1.2)成立即可。取12NxaN，則當2,max1NNn 時，式(1.2)成立，即式(1.1

44、)也成立?？傻?0limnnx (2)要證nnn!lim，只需對任意0M，可以找到N，使得當Nn 時， 1!nMMnnn (1.3)故知0!limnMn，即對于1，是能夠找到N，使得當Nn 時，式(1.3)成立。 【例 2】 證明01limnn，這里設(shè)a是一個正數(shù)。 證 由于nn101,因此，對于任意的0，只需取111N，則當Nn 時，便有Nn11 即 01n這就證明了01limnn 3.2 利用三個準則求極限3.2.1 迫斂性(夾逼準則) 定義 設(shè)收斂數(shù)列 na和數(shù)列 nb都是以a為極限的，且數(shù)列 nc滿足：存在正數(shù)0N，當0Nn 時有 nnnbca，則數(shù)列 nc收斂，且acnnlim。【例

45、 1】 求數(shù)列 nn的極限。解 設(shè)nnnhna1，此處10nhn，則有如下式 2211nnnhnnhn由上可得 1120nnhn，因此有 12111nhann （1.1）數(shù)列121n總是收斂于 1 的，由于對任意給出的0，我們?nèi)?21N，則當Nn 時便有1121n。于是，不等式(1.1)的左極限和右極限都為 1，故由迫斂性得到1limnnn。 3.2.2 單調(diào)有界準則 定理 在實數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。 【例 2】 證明數(shù)列 ,222,22,2個根號n，是收斂的，并且求出其極限。證 設(shè)222 na，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列 na是遞增的?，F(xiàn)在應(yīng)用數(shù)學歸納法來證明數(shù)列 na有上界。顯然有221a

46、。設(shè)2na，則有22221nnaa，因此對一切n都有2na，即數(shù)列 na有上界。故由以上定理知，數(shù)列 na是有極限的，并且可記其為a。又由于 nnaa221，對上式的左右兩邊取極限可得aa 22，即有 021aa，解得21aa或由保不等式性可知，1a是不可能的，故有 2222limn 。 3.3 利用柯西(Cauchy)收斂準則求極限定理（柯西收斂準則） 數(shù)列 na收斂的充要條件是：對任給的0,存在正整數(shù)N，使得當Nmn,時有 mnaa以上定理從理論上可以完全地解決數(shù)列極限其存在性問題。我們稱柯西收斂準則的條件其為柯西條件，它同時反映了這樣一個事實：收斂數(shù)列各項的值越是到后面，彼此就越是接近，

47、以至于充分后面的任意兩項差的絕對值可小于預(yù)先所給定的任意小的正數(shù)。另外，柯西收斂準則把N定義中的na與a的關(guān)系轉(zhuǎn)換成了na與ma的關(guān)系，這樣的好處在于不需要借助數(shù)列以外的數(shù)a，僅僅需要根據(jù)這個數(shù)列本身的特征便能夠鑒別其斂散性。【例】 取數(shù)列 nx，并且設(shè)00 x,nnxx211, 2 , 1 , 0n。證明nnxlim存在，并求出其極限值。證 因為00 x,2121011xx,由數(shù)學歸納法我們可知210nx,)2 , 1 , 0(n對于任意的p，有 112121npnnpnxxxx 11111141)2)(2(npnnpnnpnxxxxxx 3332224141npnnpnxxxx 041xx

48、pn 00214141xxxnpn因為02141lim0 xnn所以對于任給的0，存在一個正整數(shù)N，使得當Nn 時，對任意的p，有02141xxxnnpn由以上定理可知數(shù)列 nx收斂。再設(shè)xxnnlim,對等式nnxx211的兩邊取極限可得xx21，且解得21x。由保不等式性可取 21x 故 21limnnx 。 3.4 利用極限的四則運算性質(zhì)求極限 定理（四則運算法則） 若 na與 nb為收斂數(shù)列，則nnnnnnbababa,也都是收斂數(shù)列，且有nnnnnnnbabalimlimlim ，nnnnnnnbabalimlimlim 。特別當nb為常數(shù)c時有nnnnnnnnaccacacalim

49、lim,lim)(lim。若再假設(shè)0nb及0limnnb，則nnba也是收斂數(shù)列，且有nnnnnnnbabalimlimlim 【例 1】 求,lim01110111bnbnbnbanananakkkkmmmmn 其中0, 0,kmbakm。 解 用kn同時乘以到分子分母后，所求的極限式可化為,lim0111101111kkkkkkkmmkmmnnbnbnbbnananana 當0a時，我們有0limnn。那么，當km 時，上式除了分子分母的首項分別為ma和kb外，其余的各項極限都是 0，因此所求的極限就等于mmba；而當km 時，又由于kmn)0(0n，因此所求的極限等于 0。綜上可得 。m

50、kmkbabnbnbnbanananammkkkkmmmmn, 0,lim01110111 【例 2】 求下列極限:(1)121lim221xxxx; (2)2321lim4xxx。解 (1) ) 12)(1() 1)(1(lim121lim1221xxxxxxxxx 121lim1xxx 32 (2) )4()4(23212lim2321lim44xxxxxxxx 321)2(2lim4xxx 34 3.5 利用兩個重要極限公式求極限3.5.1 極限公式 1sinlim0 xxx 【例 1】求20cos1limxxx。 解 202022sin21limcos1limxxxxxx 21 3.5

51、.2 極限公式exxx11lim 【例 2】 求xxx1021lim 。 解 221210102121lim21limexxxxxxxx 注：在這一類型的習題中，一般是不能直接應(yīng)用以上公式的，而是需要通過恒等變形做出化簡后才可再利用公式進行運算。3.6 利用單側(cè)極限求極限這種方法常常用于求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先要考慮分段點的左、右極限，若左、右極限都存在并且相等，則該函數(shù)在分界點處的極限就存在，否則極限不存在?！纠?已知函數(shù)0,1sin,0,12)(xxxxxxf，求其在點0處的左右極限。解 在0 x的右極限為 11sinlim0 xxx 在0 x的左極限為 11sinlim0 xx

52、x 因此 1)(lim)(lim00 xfxfxx 故有 1)(lim0 xfx 3.7 利用無窮小量的性質(zhì)求極限無窮小量的性質(zhì) 無窮小量與有界量的乘積還是無窮小量。即如果0)(lim0 xfxx,g(x)在某區(qū)間),(),(0000 xxxx有界，那么 0)()(lim0 xgxfxx 這種方法可以解決一個函數(shù)不存在但是有界，和另一個極限為零的函數(shù)的極限的乘積的問題。 【例】 求xxx1sinlim20 。解 因為當0 x時，2x是無窮小量，x1sin為有界量， 所以由以上性質(zhì)可得 01sinlim20 xxx 3.8 利用等價無窮小量代換求極限定義（等價無窮小量） 若1)()(lim0 x

53、gxfxx，則稱g與f是當0 xx 時的等價無窮小量。記作 )()(0 xxxgxf。 【例】 利用等價無窮小量代換求以下極限30sinsintanlimxxxx。解 因為)cos1 (tansinsintanxxxxx,從而 ),0(sin),0(2cos1),0(sin332xxxxxxxxx故有 21cos1limsinsintanlim320302xxxxxxxxx 注：在應(yīng)用等價無窮小量的代換求極限時，我們應(yīng)注意，只有對所求的極限式中相乘或者相除的因式，才能夠應(yīng)用等價無窮小量來替換，而對極限式中的相加或相減的部分，則不能夠隨便替換。3.9 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 定理 若函數(shù)f在點0

54、 x連續(xù)，g在點0u連續(xù)，)(00 xfu ，則復(fù)合函數(shù)gf 在點0 x連續(xù)。 注：根據(jù)連續(xù)性定義，上述定理的結(jié)論又可表為 )()(lim()(lim000 xfgxfgxfgxxxx。 (1.1) 【例 1】 求)1sin(lim21xx。解 我們將)1sin(2x看作是函數(shù)21)(sin)(xxfuug與的復(fù)合。由(1.1)式得 00sin)1 (limsin()1sin(lim2121xxxx 注：如果復(fù)合函數(shù)gf 的內(nèi)函數(shù)f在當0 xx 時其極限為a，而)(0 xfa 或是函數(shù)f在點0 x處無定義(即0 x為f的可去間斷點)，又知外函數(shù)g在au 連續(xù)，那么我們?nèi)耘f可以應(yīng)用上述的定理來求

55、解復(fù)合函數(shù)的極限，即有 )(lim()(lim00 xfgxfgxxxx (1.2)(1.2)式不僅對0 xx 這種類型的極限成立，而且對于0,xxxx或等類型的極限也是成立的。 【例 2】 求極限 (1)xxxsin2lim0 ; (2)xxxsin2lim 。 解 (1); 112sinlim2sin2lim00 xxxxxx(2)202sinlim2sin2limxxxxxx 。 【例 3】 函數(shù)f在區(qū)間, 0上是一致連續(xù)的，又對于 1 , 0 x,0)(limnxfn(n為正整數(shù))。證明0)(limxfx。證 函數(shù)f在區(qū)間, 0上一致連續(xù)，指的是對于任意給出的0，都存在0，0,21xx

56、，且當21xx時， )()(21xfxf (1.1)我們需要證明的是，存在M，當Mx 時， Cxf)( (1.2)C可以是某一個常數(shù)。 又由題設(shè)知對于任意的 1 , 0 x，都有0)(limnxfn，這表明了： 存在),(xN使得當),(xNn 時， )(nxf (1.3) 而問題是),(xN是依賴于x的。盡管當 1 , 0 x時，Nn，而nx又能取遍, 0，但不同的x又存在不同的),(xN，還不能找到公共的M，使不等式(1.2)成立。不過式(1.1)表明，只要1x與2x的距離小于，式(1.1)便成立?？蓪?1 , 0等分成0,21nxxx使得1kkxx,則在分別存在), 2 , 1(.,02

57、10nkNnNNNkn時， )(nxfk (4)取,max021nNNNN，則當Nn 時，式(1.4)對于0, 2 , 1nk成立。如此，對任意x1, 0Nx時，存在1 , 0r使rxx及,01000kkkxrxrxk)()()()(0kxxfrxfrxfxf 2)(0kxxf (1.5)整理上述便可得0)(limxfx。 3.10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù))(xfy 在點0 x的某鄰域內(nèi)有定義，若極限 00)()(lim0 xxxfxfxx (1.1)存在，則稱函數(shù)f在點0 x處可導(dǎo)，并稱該極限為函數(shù)f在點0 x處的導(dǎo)數(shù)，記作)(0 xf。 令)()(,000 xfxxfyx

58、xx，則(1)式可改寫為 )()()(limlim00000 xfxxfxxfxyxx (1.2) 在這種方法的運用過程中，首先要選好f，然后把所求極限表示成f在定點0 x的導(dǎo)數(shù)。 【例】 求 xxx2cot2lim2 。解 取xxf2tan)(,則 2)22tan(2tanlim122tanlim12cot2lim222 xxxxxxxxx 222)2sec2(12122)(limxxxfxfxf21 3.11 利用中值定理求極限3.11.1 微分中值定理：包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。 1、羅爾(Rolle)定理 若函數(shù)f滿足如下條件： (1)f在閉區(qū)間ba,上連續(xù); (

59、2)f在開區(qū)間ba,內(nèi)可導(dǎo); (3)()(bfaf,則在ba,內(nèi)至少存在一點,使得 0)(f 。 (1.1) 2、拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函數(shù)f滿足如下條件: (1)f在閉區(qū)間ba,上連續(xù); (2)f在開區(qū)間ba,內(nèi)可導(dǎo),則在ba,內(nèi)至少存在一點,使得 abafbff)()()( 。 (1.2)顯然，特別當)()(bfaf時，本定理得結(jié)論(1.2)即為羅爾定理得結(jié)論(1.1)，這表明羅爾定理是拉格朗日定理的一個特殊情形?！纠?1】 求 30sin)sin(sinlimxxxx。 解 xxxxxxx)sin(cos)(sinsin)sin(sin ) 10( 30sin)sin(

60、sinlimxxxx 30)sin(cos)(sinlimxxxxxxx 2031coslim0cosxxx 61 3.11.2 積分中值定理：包括積分第一中值定理、積分第二中值定理。 1、積分第一中值定理 設(shè)函數(shù)f在閉區(qū)間ba,上連續(xù)，則至少存在一點ba,，使得)()(abfdxxfab 2、積分第二中值定理 設(shè)函數(shù)f在ba,上可積。 (1)若函數(shù)g在閉區(qū)間ba,上減，且0)(xg，則存在ba,，使得dxxfaagdxxgxfab)()()()(; (2)若函數(shù)g在閉區(qū)間ba,上增，且0)(xg，則存在ba,，使得dxxfbbgdxxgxfab)()()()(【例 2】 求xdxnnsin0