計算專題整數裂項

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上計算專題對于較長的復雜算式，單單靠一般的運算順序和計算方法是很難求出結果的。如果算式中每一項的排列都是有規(guī)律的，那么我們就要利用這個規(guī)律進行巧算和簡算。而裂項法就是一種行之有效的巧算和簡算方法。通常的做法是：把算式中的每一項裂變成兩項的差，而且是每個裂變的后項（或前項）恰好與上個裂變的前項（或后項）相互抵消，從而達到“以短制長”的目的。下面我們以整數裂項為例，談談裂項法的運用，并為整數裂項法編制一個易用易記的口訣。例1、  計算1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100分析：這個算式實

2、際上可以看作是：等差數列1、2、3、4、598、99、100，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數列公差為1，因數個數為2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（

3、1×3）98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）將以上算式的等號左邊和右邊分別累加，左邊即為所求的算式，右邊括號里面諸多項相互抵消，可以簡化為（99×100×101-0×1×2）÷3。解：1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100=

4、（99×100×101-0×1×2）÷3=例2、  計算3×5+5×7+7×9+97×99+99×101分析：這個算式實際上也可以看作是：等差數列3、5、7、997、99、101，先將所有的相鄰兩項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數列公差為2，因數個數為2。3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2&

5、#215;3）7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）將等號左右兩邊分別累加，左邊即為所求算式，右邊括號里面許多項可以相互抵消。解：3×5+5×7+7×9+97×99+99×101=（99×

6、;101×103-1×3×5）÷（2×3）=÷6=例3、  計算1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98+97×98×99分析：這個算式實際上可以看作是：等差數列1、2、3、4、598、99、100，先將所有的相鄰三項分別相乘，再求所有乘積的和。算式的特點概括為：數列公差為1，因數個數為3。1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）

7、÷（1×4）2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）97×98×99=（97×98×

8、99×100-96×97×98×99）÷（1×4）右邊累加，括號內相互抵消，整個結果為（97×98×99×100-0×1×2×3）÷ （1×4）。解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98×+97×98×99=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1

9、15;4）=例4、計算10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88分析：算式的特點為：數列公差為6，因數個數為3。解：10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）=通過以上例題，可以看出這類算式的特點是：從公差一定的數列中依次取出若干個數相乘，再

10、把所有的乘積相加。其巧解方法是：先把算式中最后一項向后延續(xù)一個數，再把算式中最前面一項向前伸展一個數，用它們的差除以公差與因數個數加1的乘積。將以上敘述可以概括一個口訣是：等差數列數，依次取幾個。所有積之和，裂項來求作。后延減前伸，差數除以N。N取什么值，兩數相乘積。公差要乘以，因個加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時，當伸展數小于0時，可以取負數，當然是積為負數，減負要加正。對于小學生，這時候通常是把第一項甩出來，按照口訣先算出后面的結果再加上第一項的結果。此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項求解。例5、   計算1×1+2×2+

11、3×3+99×99+100×100分析：n×n=(n-1)×n+n解：1×1+2×2+3×3+99×99+100×100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+98×99+99×100）+（1+2+3+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2=+5050=例6、 &#

12、160; 計算1×2+3×4+5×6+97×98+99×100分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n解：1×2+3×4+5×6+7×8+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+96×98+98×100）+（2+4+6+8+98+100）=98×1

13、00×102÷6+（2+100）×50÷2=例7、    計算1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100=1+（1×2

14、×3+2）+（2×3×4+3）+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×3+2×3×4+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=例8、   計算1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+

15、99×101解：1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101=（1×3+3×5+99×101）+（2×4+4×6+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=+=例9、計算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）解：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+100×101÷2=（1×2+2×3+3×4+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=將上面的口訣繼續(xù)編寫是：前延比零小，取負就是了。小學不可為，首項先甩掉。平方和立方，變形再裂項。式長要轉化，類比解決它?？谠E需熟記，靈活靠