平面解析幾何直線和圓的方程圓錐曲線專題

1、平面解析幾何（直線和圓的方程、圓錐曲線）專題17.0 圓錐曲線幾何性質(zhì)如果涉及到其兩“焦點(diǎn)”，優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其“焦點(diǎn)”、“準(zhǔn)線”或 “離心率”，優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；此外，如果涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.橢圓方程的第一定義：雙曲線的第一定義：圓錐曲線第二定義（統(tǒng)一定義）：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡簡言之就是 “（數(shù)的統(tǒng)一）”，橢圓，雙曲線，拋物線相對關(guān)系（形的統(tǒng)一）如右圖.當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特

2、殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢.其中，橢圓中、雙曲線中.圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其“頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn).17.1 圓錐曲線中的精要結(jié)論：1.焦半徑：(1)橢圓：； （左“+”右“-”）；橢圓：(2)雙曲線：“長加短減”原則： 構(gòu)成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）雙曲線：；(2)拋物線：2.弦長公式：；【注】：(1)焦點(diǎn)弦長：i橢圓：；ii拋物線：；(2)通徑（最短弦）：i橢圓、雙曲線：；ii拋物線：.3.過兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：

3、 （同時(shí)大于0時(shí)表示橢圓，時(shí)表示雙曲線）；4.橢圓中的結(jié)論：(1)內(nèi)接矩形最大面積：； (2)P，Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，且，則 ；(3)橢圓焦點(diǎn)三角形：i，（）；ii點(diǎn) 是內(nèi)心，交于點(diǎn)，則；(4)當(dāng)點(diǎn)與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)最大；(5)共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是，我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程5.雙曲線中的結(jié)論：(1)雙曲線（）的漸近線：；(2)共漸進(jìn)線的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為為參數(shù)，0）；(3)雙曲線焦點(diǎn)三角形：i，（）；ii是雙曲線=1(a0，b0)的左（右）支上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，則PF1F2的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為；(4)等軸雙曲線：雙

4、曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為(漸近線互相垂直)，離心率 (5)共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為(6) 共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：(7) 若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為mn簡證： = 常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b(8) 直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域：2條切線

5、，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào)6.拋物線中的結(jié)論：(1)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)：i；ii ；iii以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；iv以（或）為直徑的圓與軸相切；v. (2)拋物線內(nèi)結(jié)直角三角形的性質(zhì)：i ；ii恒過定點(diǎn)；iii中點(diǎn)軌跡方程：；iv，則軌跡方程為：；v .(3)拋物線，對稱軸上一定點(diǎn)

6、，則：i當(dāng)時(shí)，頂點(diǎn)到點(diǎn)距離最小，最小值為；ii當(dāng)時(shí)，拋物線上有關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)到點(diǎn)距離最小，最小值為.17.2、兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線,的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.當(dāng)時(shí),表示橢圓；當(dāng)時(shí),表示雙曲線.17.3、圓1、圓系方程(1)過點(diǎn),的圓系方程是,其中是直線的方程,是待定的系數(shù)(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是,是待定的系數(shù)特別地，當(dāng)時(shí)，就是表示：當(dāng)兩圓相交時(shí)，為公共弦所在的直線方程；向兩圓所引切線長相等的點(diǎn)的軌跡（直線）方程，有的稱這條直線為根軸；2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

7、有三種若，則點(diǎn)在圓外；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓內(nèi).3、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種(): ；.4、兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為半徑分別為，；.5、圓的切線方程及切線長公式(1)已知圓若已知切點(diǎn)在圓上，則切線只有一條，其方程是 .當(dāng)圓外時(shí), 表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程求切點(diǎn)弦方程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定.過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時(shí)必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線(2)已知圓的切線方程若P(,)是圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)P(,)的切線方程為.特別地，若，切線方程為；若P(,

8、)是圓外一點(diǎn)，由P(,)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B則直線AB的方程為.特別地，若，圓，斜率為的圓的切線方程為.(3) 過圓外一點(diǎn)的切線長為.17.4、解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：（1）給出直線的方向向量或；（2）給出與相交，等于已知過的中點(diǎn)；在中，給出，則是中邊的中線；（3）給出，等于已知是的中點(diǎn)；（4）給出，等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線；（5）給出以下情形之一：；存在實(shí)數(shù)；若存在實(shí)數(shù)，等于已知三點(diǎn)共線.（6）給出，等于已知是的定比分點(diǎn)，為定比，即（7）給出，等于已知，即是直角，給出，等于已知是鈍角，給出，等于已知是銳角；（8）給出，等于已知是的平分線；（9）在平行四邊形中，給出

9、，等于已知是菱形；（10）在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形；（11）設(shè)，.；（12）為內(nèi)一點(diǎn)，則；（13）在中，給出，則通過的內(nèi)心；17.5、解題規(guī)律盤點(diǎn)1、點(diǎn)(1)交點(diǎn)直線與圓錐曲線交于不同的兩點(diǎn)：直線與二次曲線聯(lián)立，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，與二次曲線聯(lián)立，； 直線與圓錐曲線相切：直線與二次曲線聯(lián)立， 直線與二次曲線有一個(gè)公共點(diǎn)： 二次項(xiàng)系數(shù)為0，表示平行于漸近線的兩條直線；二次項(xiàng)系數(shù)為0，=0 二次項(xiàng)系數(shù)為0，表示平行于對稱軸的一條直線；二次曲線不為0，=0(2)定點(diǎn)處理思路；(3)設(shè)參數(shù)方程；橢圓的參數(shù)方程是：；圓的參數(shù)方程：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為：或或，其中，以簡化計(jì)算.2、直線(1)

10、設(shè)直線方程分斜率存在、不存在兩種情況討論。如果什么信息也沒有：討論斜率不存在情形，當(dāng)斜率存在時(shí)，往往設(shè)為斜截式：；巧設(shè)直線方程回避討論及運(yùn)算等問題當(dāng)直線過定點(diǎn)時(shí)，若設(shè)成有時(shí)會(huì)出現(xiàn)下列情況：(i)容易忽視斜率不存在的情形；(ii)運(yùn)算較繁，有時(shí)還會(huì)陷入僵局. (2)過軸上一點(diǎn)的直線一般設(shè)為可以避免對斜率是否存在的討論(3)直線的方向向量(4)兩解問題：圓外一點(diǎn)引兩條長度相等的割線，割線長度不等于直徑截得平行線的弦長相等（斜率不存在）圓外一點(diǎn)引切線（斜率不存在）3、角(1)余弦定理;(2)到角公式:(3)向量的夾角公式4、直線與圓錐曲線(1)直線與圓錐曲線問題解法：1.直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓

11、錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解.【運(yùn)算規(guī)律】：直線與圓錐曲線位置關(guān)系運(yùn)算程式(1)已知曲線()與直線方程聯(lián)立得：()【注意】：當(dāng)曲線為雙曲線時(shí)，要對與0進(jìn)行比較.由根與系數(shù)關(guān)系知：【后話】:聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解時(shí)，注意以下問題：聯(lián)立的關(guān)于“”還是關(guān)于“”的一元二次方程？二次項(xiàng)系數(shù)系數(shù)為0的情況討論了嗎？直線斜率不存在時(shí)考慮了嗎？判別式驗(yàn)證了嗎？ 2.設(shè)而不求（代點(diǎn)相減法）處理弦中點(diǎn)與直線斜率問題步驟如下：已知曲線，設(shè)點(diǎn)、中點(diǎn)為，作差得；對拋物線有.【細(xì)節(jié)盤點(diǎn)】*1.用直線和圓錐曲線方程消元得二次方程后，注意用判別式、韋達(dá)定理、弦長公式；注意對參數(shù)分類討論和數(shù)形結(jié)合、設(shè)

12、而不求思想的運(yùn)用；注意焦點(diǎn)弦可用焦半徑公式，其它用弦長公式.*2.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度(弦長)”問題關(guān)鍵是長度(弦長)公式或“小小直角三角形”.*3. 在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，涉及到“交點(diǎn)”時(shí)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有解問題；先驗(yàn)證因所設(shè)直線斜率存在，造成交點(diǎn)漏解情況，接著聯(lián)立方程組，然后考慮消元建立關(guān)于的方程還是的方程，接著討論方程二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況，再對二次方程判別式進(jìn)行分析，即時(shí)，直線與曲線相切，*4.求解直線與圓錐曲線的“弦長”、“交點(diǎn)”問題時(shí)，必要條件

13、（注意判別式失控情況）是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必先有“”. 求解直線與圓錐曲線的其它問題時(shí)，如涉及到二次方程問題，必須優(yōu)先考慮“二次項(xiàng)系數(shù)”與“判別式”問題.*5.解決直線與圓的關(guān)系問題時(shí)，要充分發(fā)揮圓的平面幾何性質(zhì)的作用(如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等).*6.韋達(dá)定理在解幾中的應(yīng)用：求弦長； 判定曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 求弦中點(diǎn)坐標(biāo)；求曲線的方程. (2)直線與圓錐曲線相交的弦長公式 :或【注】：弦端點(diǎn)A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率，. (3)拋物線的切線方程拋物線上一點(diǎn)處的切線方程是. 過拋物線外一

14、點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是. 拋物線與直線相切的條件是.5、幾何定值、極值問題幾何極值問題實(shí)際上就是以幾何條件出現(xiàn)的極值問題，通常運(yùn)用幾何中的有關(guān)不等式和定理解決，有時(shí)運(yùn)用“對角”變換及局部調(diào)整法，有時(shí)運(yùn)用三角方法，如有關(guān)三角函數(shù)性質(zhì)、正弦定理、三角形面積公式等轉(zhuǎn)化為三角極值問題解決.有關(guān)面積與周長的極值問題除了運(yùn)用有關(guān)面積的幾何知識(shí)外，常常需要用如下結(jié)論：周長一定的三角形中，以正三角形的面積最大；周長一定的矩形中，以正方形面積最大；面積一定的三角形中，以正三角形的周長最?。恢荛L一定的平面曲線中，圓所圍成的面積最大；在面積一定的閉曲線中，圓的周長最??；在邊長分別相等的多邊形中，以圓內(nèi)接多邊形

15、的面積最大；在等周長的邊形中，以圓內(nèi)接多邊形的面積最大；在面積一定的邊形中，正邊形的周長最小.幾何定值問題主要是研究和解決變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素的北歐諧幾何性質(zhì)或位置保持不變等問題.常見的幾何定值中的定量問題為定角、定長（線段長、周長、距離之和等）、定比（線段比、面積比）、定積（面積、線段積）等.常見的幾何定值中的定位問題為過定點(diǎn)、過定直線等.幾何定值問題可以分為兩類：一類是絕對的定值問題，即需要證明的定值為一確定的常數(shù).這種定值為所給圖形的位置、大小、形狀無關(guān)；另一類是相對定值問題，即要證明的定值與題設(shè)圖形中的某些定量有關(guān)，這種定值是隨題設(shè)圖形的位置、大小和形狀

16、的變化而改變的，因此，只有相對的意義，也就是證明題推斷的幾何量可以用題設(shè)已知量的某種確定的關(guān)系來表示.解決定值問題常用的處理思路和方法：（1）利用綜合法證明時(shí)，需要改變題目的形式，把一般定值題轉(zhuǎn)化為特殊情況，因此，常作輔助圖形；其次要明確圖形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析問題時(shí)要圍繞著固定元素和定量進(jìn)行，把定值固定在已知量上；（2）利用參數(shù)法證明時(shí)，要根據(jù)題設(shè)的條件，選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，然后將所要證明的定值用參數(shù)表示出來，最后消去參數(shù)，便求得用常量表示的定值；（3）利用計(jì)算法證明時(shí)，通常借助于正、余弦定理或坐標(biāo)法將有關(guān)量用某些特定的量表示出來，再通過計(jì)算證明所求的式子的值為定值；（4）綜合運(yùn)用幾何、代數(shù)、三角知識(shí)證題.6、求軌跡方程的常用方法： 直接法：直接通過建立、之間的關(guān)系，構(gòu)成，是求軌跡的最基本的方法. 待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可. 代入法(相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法).