平面向量中三點(diǎn)共線

1、平面向量中三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用知識梳理(一）、對平面內(nèi)任意的兩個(gè)向量的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使由該定理可以得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理：(二）、三點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)的O，存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得：且。 特別地有：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之外時(shí)，典例剖析例1、 已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿足，則 的最小值是 分析：點(diǎn)P落在的邊BC上 B，P,C三點(diǎn)共線 由基本不等式可知：，取等號時(shí)，符合所以的最小值為9點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起，較綜合考查了學(xué)生基本功.例2、在ABC中，點(diǎn)P是BC上

2、的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）AB. C. D. 分析：三點(diǎn)共線，又 ，故選C例3、在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，若 m，n，則mn的值為 ：因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，故連接AO，如圖4，由向量加法的平行四邊形法則可知：，圖4又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得： 變式、直線l過ABCD的兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)O，與AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長線交于點(diǎn)M。又知 m，n，則mn= 分析：因?yàn)辄c(diǎn)O兩條對角線AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn) m，n 又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可得： 例4、點(diǎn)是的重心，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且、三

3、點(diǎn)共線設(shè)，證明：是定值；證明：因?yàn)镚是的重心，分析： 又三點(diǎn)共線， 為定值3例5、如圖所示,在平行四邊形ABCD中，,CE與BF相交于G點(diǎn)，記，則_分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，所以我們很容易聯(lián)想到點(diǎn)F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上，可用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理求解。解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x使得 , ,又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)使得 ， 由兩式可得： 點(diǎn)評：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線（F、G、B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上）變式2、在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN與CM相交于點(diǎn)P，

4、且，試用、表示解：三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x,y使得 ,ANAC=14, 又三點(diǎn)共線，由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù),使得 AMAB=13 ， 由兩式可得： 練習(xí)：1.，點(diǎn)在邊上，設(shè)，則 （ ） 2、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1),B(-1,3),若點(diǎn)C(x, y)滿足=+，其中,R且+=1，則x, y所滿足的關(guān)系式為（ ）A3x+2y-11=0 B(x-1)2+(y-2)2=5 C2x-y=0 Dx+2y-5=03.已知是的邊上的任一點(diǎn)，且滿足，則的最小值是 4、在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F。已知,則（ ）A BC D5、(2014屆東江中學(xué)高三年級理科第三次段考）在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記、分別為a、b，則()Aab BabCab Dab6、（2008年廣東卷）在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長線與交于點(diǎn)若，則（ ）AB