工程數(shù)學(xué)習(xí)題十一解答

1、習(xí)題七解答1. 設(shè)的分布律為，X-1012概率求（1），（2），（3），（4）。解 由隨機(jī)變量X的分布律，得X-1012-X+1210-1X21014P所以另外，也可根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得：2.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，求的值。解3. 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次命中目標(biāo)的概率為0.4，試求的數(shù)學(xué)期望。解 所以 故 4. 國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量X是一個(gè)隨機(jī)變量，它在2000，4000（單位：噸）上服從均勻分布。若每售出一噸，可得外匯3萬(wàn)美元，若銷售不出而積壓，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬(wàn)美元。問(wèn)應(yīng)組織多少貨源，才能使平均收益最大？解 設(shè)隨機(jī)變量Y表示平均

2、收益（單位：萬(wàn)元），進(jìn)貨量為噸Y= 則要使得平均收益最大，所以得 （噸）5. 一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.1，0.2，0.3，假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解 X的可能取值為0，1，2，3，有所以X的分布律為X0123Pr0.5040.3980.0920.0066. 設(shè)X的密度函數(shù)為，求（1）；（2）。解 （1） （2）注：求解（1）時(shí)利用被積函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，求解（2）時(shí)化簡(jiǎn)為可以看成為是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布隨機(jī)變量的二階原點(diǎn)矩。7. 某商店經(jīng)銷商品的利潤(rùn)率的密度函數(shù)為，求,。解 （1） （2）故

3、8. 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為0 求、。解9. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為XY0100.30.210.40.1求、。解 關(guān)于X與Y的邊緣分布律分別為：X01Y01Pr0.50.5Pr0.70.310. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的密度函數(shù)分別為求。解 ，所以，所以，X,Y相互獨(dú)立，所以。11. 設(shè)服從在A上的均勻分布，其中A為x軸、y軸及直線所圍成的區(qū)域，求（1）；（2）；（3）的值。y0 x解 先畫(huà)出A區(qū)域的圖-1 xAy-1-1-y 2 0 其他 0 其他 0 其他12. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為 0 其他求。y10 1 x解 先畫(huà)出區(qū)域的圖G0 其他0 其他13. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y相

4、互獨(dú)立，且，求。解14. 設(shè)，求（1）；（2）。解：（1） （2）15. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，求。解 16. 驗(yàn)證：當(dāng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，按公式及按公式算得的值相等。這里，、依次表示的分布密度。證明17. 設(shè)的方差為2.5，利用契比曉夫不等式估計(jì)的值。解 18. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì)的值。解 所以21. 在人壽保險(xiǎn)公司里有3000個(gè)同齡的人參加人壽保險(xiǎn)。在1年內(nèi)每人的死亡率為0.1%，參加保險(xiǎn)的人在1年的第一天交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，死亡時(shí)家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元。試用中心極限定理求保險(xiǎn)公司虧本的概率。解

5、 設(shè)死亡人數(shù)為，保險(xiǎn)公司虧本當(dāng)且僅當(dāng)，即。于是，由棣莫弗拉普拉斯定理，公司虧本的概率為習(xí)題九解答1. 設(shè)是來(lái)自服從參數(shù)為的泊松分布的樣本，試寫(xiě)出樣本的聯(lián)合分布律。 解 2. 設(shè)是來(lái)自上的均勻分布的樣本，未知（1）寫(xiě)出樣本的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）指出下列樣本函數(shù)中哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是？為什么？（3）設(shè)樣本的一組觀察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,寫(xiě)出樣本均值、樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差。 解（1） 0 其他（2）和是，和不是。因?yàn)楹椭胁缓傮w中的唯一未知參數(shù)，而和中含有未知參數(shù)。（3）樣本均值樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差。3. 查表求，。解 ，。4. 設(shè)，求常數(shù)，使。 解 由t分布關(guān)于縱軸對(duì)稱，所以即為。由

6、附表5.6可查得，所以。5. 設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本，試證：（1）；（2）。證明：（1）獨(dú)立同分布于，由分布的定義，即。（2）易見(jiàn)，即，由分布的定義，即。 6. 設(shè)是獨(dú)立且服從相同分布的隨機(jī)變量，且每一個(gè)都服從。（1）試給出常數(shù)，使得服從分布，并指出它的自由度；（2）試給出常數(shù)，使得服從t分布，并指出它的自由度。 解（1）易見(jiàn)，即為二個(gè)獨(dú)立的服從的隨機(jī)變量平方和，服從分布，即；自由度為2。（2）由于，則。又，與相互獨(dú)立，則即 即，自由度為3。7. 設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，在下列三種情況下，分別求：（1）；（2）；（3），其中。 解 （1）（2）（3），其中8. 某市有100000個(gè)年滿18歲的

7、居民，他們中10%年收入超過(guò)1萬(wàn)，20%受過(guò)高等教育。今從中抽取1600人的隨機(jī)樣本，求：（1）樣本中不少于11%的人年收入超過(guò)1萬(wàn)的概率；（2）樣本中19%和21%之間的人受過(guò)高等教育的概率。 解（1）引入新變量： 1，第個(gè)樣本居民年收入超過(guò)1萬(wàn) 0，第個(gè)樣本居民年收入沒(méi)超過(guò)1萬(wàn)其中易見(jiàn)：又因，故可以近似看成有放回抽樣，相互獨(dú)立。樣本中年收入超過(guò)1萬(wàn)的比例即為，由于較大，可以使用漸近分布求解，即，所求概率即為（2）同（1）解法引入新變量： 1，第個(gè)樣本居民受過(guò)高等教育 0，第個(gè)樣本居民未受過(guò)高等教育其中答：（1）樣本中不少于11%的人年收入超過(guò)1萬(wàn)的概率為0.0918；（2）樣本中19%和2

8、1%之間的人受過(guò)高等教育的概率為0.6826。習(xí)題十解答1. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，在下列情形下，試求總體參數(shù)的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)：（1），其中未知，；（2），其中未知，。解 （1），故的矩估計(jì)量有。另，X的分布律為，故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：令 解得的最大似然估計(jì)量。可以看出的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。（2），令，故的矩估計(jì)量。另，X的密度函數(shù)為故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量。可以看出的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量是相同的。2. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，其中X服從參數(shù)為的泊松分布，其中未知，求的矩估計(jì)與最大似然估計(jì)，如得到一組樣本觀測(cè)值X01234頻數(shù)17201

9、021求的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解 ，故的矩估計(jì)量。由樣本觀測(cè)值可算得另，X的分布律為故似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量，故的最大似然估計(jì)值。3. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，其中X服從區(qū)間的均勻分布，其中未知，求的矩估計(jì)。解 ，令，故的矩估計(jì)量。4. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為其中未知，求的矩估計(jì)。解 ，令，故的矩估計(jì)量為。5. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，X的密度函數(shù)為其中未知，求的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)。解 ，令，故的矩估計(jì)量為，另，似然函數(shù)對(duì)數(shù)似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)量為。6. 設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，總體X服從參數(shù)為的幾何分布，即，其中未知，求的最大似然

10、估計(jì)。解 似然函數(shù) 對(duì)數(shù)似然函數(shù)解得的最大似然估計(jì)量為。7. 已知某路口車(chē)輛經(jīng)過(guò)的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，其中未知，現(xiàn)在觀測(cè)到六個(gè)時(shí)間間隔數(shù)據(jù)（單位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，試求該路口車(chē)輛經(jīng)過(guò)的平均時(shí)間間隔的矩估計(jì)值與最大似然估計(jì)值。解 根據(jù)習(xí)題1的結(jié)果，的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)量都為，故平均時(shí)間間隔的矩估計(jì)和最大似然估計(jì)都為，即為。由樣本觀測(cè)值可算得。8. 設(shè)總體X的密度函數(shù)為，其中未知，設(shè)是取自這個(gè)總體的一個(gè)樣本，試求的最大似然估計(jì)。解 似然函數(shù) ，對(duì)數(shù)似然函數(shù)為得的最大似然估計(jì)量為。9. 在第3題中的矩估計(jì)是否是的無(wú)偏估計(jì)？解 故的矩估計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)。10. 試證第8

11、題中的最大似然估計(jì)是的無(wú)偏估計(jì)。證明：故的最大似然估計(jì)是的無(wú)偏估計(jì)。11. 設(shè)為總體的樣本，證明都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)，并進(jìn)一步判斷哪一個(gè)估計(jì)有效。證明 所以都是總體均值的無(wú)偏估計(jì)。又 可見(jiàn)，所以二個(gè)估計(jì)量中更有效。12. 設(shè)是取自總體的一個(gè)樣本，其中未知，令，試證是的相合估計(jì)。證明 易見(jiàn)又 ，由第九章公式（9），故 。由切比雪夫不等式，當(dāng)，對(duì)任給，即是的相合估計(jì)。習(xí)題十一解答1. 某車(chē)間生產(chǎn)滾珠，從長(zhǎng)期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個(gè)，量得直徑如下（單位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9雙側(cè)置信區(qū)間和0.99雙側(cè)

12、置信區(qū)間。解 由于已知，所以選用的置信區(qū)間。當(dāng)，查表得，當(dāng)，查表得。代入數(shù)據(jù)得的雙側(cè)0.9置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。的雙側(cè)0.99置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。2. 假定某商店中一種商品的月銷售量服從正態(tài)分布，未知。為了合理的確定對(duì)該商品的進(jìn)貨量，需對(duì)和作估計(jì)，為此隨機(jī)抽取七個(gè)月，其銷售量分別為：64，57，49，81，76，70，59，試求的雙側(cè)0.95置信區(qū)間和方差的雙側(cè)0.9置信區(qū)間。解 由于和都未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，的0.95雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。的0.9雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。3. 隨機(jī)地取某種子彈9發(fā)作試驗(yàn)，測(cè)得子彈速度的，設(shè)子彈速度服從正態(tài)分布

13、，求這種子彈速度的標(biāo)準(zhǔn)差和方差的雙側(cè)0.95置信區(qū)間。解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，的0.95雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。故的0.95雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。4. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量（1%）正常情況下服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差。現(xiàn)測(cè)量五爐鐵水，其含碳量分別是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），試求未知參數(shù)的單側(cè)置信水平為0.95的置信下限和置信上限。解 由于已知，故的單側(cè)置信下限為，的單側(cè)置信上限為，代入數(shù)據(jù)得，故的0.95單側(cè)置信下限觀測(cè)值為，的0.95單側(cè)置信上限觀測(cè)值為。5. 某單位職工每天的醫(yī)療費(fèi)服從正態(tài)分布，現(xiàn)抽查了25天，得元，元，求職工

14、每天醫(yī)療費(fèi)均值的雙側(cè)0.95置信區(qū)間。解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為，代入數(shù)據(jù)得，故的0.95雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。6. 某食品加工廠有甲乙兩條加工豬肉罐頭的生產(chǎn)線。設(shè)罐頭質(zhì)量服從正態(tài)分布并假設(shè)甲生產(chǎn)線與乙生產(chǎn)線互不影響。從甲生產(chǎn)線并假設(shè)抽取10只管頭測(cè)得其平均質(zhì)量，已知其總體標(biāo)準(zhǔn)差；從乙生產(chǎn)線抽取20只罐頭測(cè)得其平均質(zhì)量，已知其總體標(biāo)準(zhǔn)差，求甲乙兩條豬肉罐頭生產(chǎn)線生產(chǎn)罐頭質(zhì)量的均值差的雙側(cè)0.99置信區(qū)間。解 由于已知，故的的雙側(cè)置信區(qū)間為代入數(shù)據(jù)得，故的0.99雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為，即為。7. 為了比較甲、乙兩種顯像管的使用壽命X和Y，隨機(jī)的抽取甲、乙兩種顯像管各10只，得數(shù)據(jù)和（單位：），且由此算得，假定兩種顯像管的使用壽命均服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過(guò)程知道它們的方差相等。試求兩個(gè)總體均值之差的雙側(cè)0.95置信區(qū)間。解 由于未知，故的雙側(cè)置信區(qū)間為其中，代入數(shù)據(jù)得，故的0.95雙側(cè)置信區(qū)間觀測(cè)值為 ,即為。8. 在3091個(gè)男生，3581個(gè)女生組成的總體中，隨機(jī)不放