平面向量數(shù)量積及其應(yīng)用復(fù)習(xí)用

1、一、平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念1. 兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量與，作，則AOB（）叫與的夾角；說(shuō)明：（1）當(dāng)時(shí)，與同向；（2）當(dāng)時(shí)，與反向；（3）當(dāng)時(shí)，與垂直，記作；（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍為0°q180°.2. 數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則··cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）.規(guī)定；向量的投影：cosR，稱為向量在方向上的投影.投影的絕對(duì)值稱為射影.二、平面向量數(shù)量積的幾何意義及其性質(zhì)、運(yùn)算律1. 幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積.2. 性質(zhì)：（1）.（2）（3）（4）（5）&

2、#183;0注：乘法公式成立；3. 運(yùn)算律（1）交換律成立：；（2）對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；（3）分配律成立：.（4）向量的夾角：cos.注：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，0°，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)，同時(shí)與其他任何非零向量之間不涉及夾角這一問(wèn)題.三、兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個(gè)向量，則·.（1）垂直：如果與的夾角為90°，則稱與垂直，記作.兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：·0，（2）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或.如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）.題型一 數(shù)量積的概念【例1

3、】判斷下列各命題正確與否：(1)若,··，則; (2)若··,則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；(3)·0；(4)(·)(·)對(duì)任意向量,都成立；(5)對(duì)任一向量,有2|2 (6)·.【變式練習(xí)】1若、為任意向量，mR，則下列等式不一定成立的是()A. B. C. D.2設(shè),是任意的非零平面向量,且相互不共線,則; |<|;(·)(·)不與垂直;(32)(32)9|24|2中,是真命題的有()AB C D3.已知下列各式：|22，()22·2，()222·2.其中正確的有()A1個(gè) B

4、2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)題型二 向量的模與數(shù)量積【例2】(1)已知、滿足|，|1，求|32|.(2)若|13，|19，|24，則|的值為_(kāi)變式題1、已知（1）求 與 的夾角（2）求 和 （3）若作三角形ABC，求的面積。變式題2、已知a、b是非零向量，若a+b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，試求a與b的夾角。變式題3.已知a=() ，b=()且.(1)求的最值。(2)是否存在k的值，使題型三 夾角問(wèn)題【例3】設(shè)(cos，sin),(cos，sin),且與具有關(guān)系|k|k|(k0)(1) 與能垂直嗎？(2)若與的夾角為60°，求k的值【變式練習(xí)1】已知|4，|3，(2

5、3)·(2)61求：(1) 與的夾角；(2)| |和|；(3) 若，作三角形ABC，求ABC的面積; (4) 若(1,2)，(3，x)，且，的夾角為鈍角，求x的取值范圍 【變式練習(xí)2】. ，且（1）與的夾角為鈍角，則的取值范圍為_(kāi) 且 （2）與的夾角為銳角，則的取值范圍為_(kāi) （3）與的夾角為直角，則的取值為_(kāi)題型四 向量的平行、垂直與數(shù)量積【例4】已知向量(1,2),(2,1),k，t為正實(shí)數(shù)，向量(t21) ,k，(1)若,求k的最小值;(2)是否存在k，t使？若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由 【鞏固練習(xí)】1若平面四邊形ABCD滿足 ,則該四邊形一定是()A正方形 B

6、矩形 C菱形 D直角梯形2.設(shè)向量,滿足+=，|1，|2，則|2()A.1 B.2 C4 D53已知|1，|6，·()2，則向量與向量的夾角是()4定義運(yùn)算|sin ,其中是向量,的夾角若|2，|5，6，則| 5若向量(2,1)，(3，x)，若(2)，則x的值為 6若非零向量,滿足|,(2)·0,則與的夾角為 7.已知平面向量,則的值是_ _8.設(shè)是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,且2,2,則|= 9.已知向量|10，|8，與的夾角120°，則向量在方向上的投影為( )A4 B4 C5 D510.已知向量與的夾角為,則等于（ ）A.5B.4C.3D.111在

7、ABC中，若，且···, 則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等邊三角形12.定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下:對(duì)任意的(m,n),(p,q),令mqnp，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A若與共線，則 BC對(duì)任意的R，有()() D()2(·)2|2|2 13.已知點(diǎn)O是ABC所在平面上的一點(diǎn)，CACB，設(shè)，若|4，|2，求·()14.已知ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC邊上的高為AD，求的坐標(biāo)15.設(shè)(cos，sin),(cos,sin),且與具有關(guān)系|k|k|(k0) (1)求證：()()；(

8、2)求將與的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)f(k)；(3)求函數(shù)f(k)的最小值及取最小值時(shí)與的夾角.作業(yè)一、選擇題1. 已知：| |1，| |2， ，且，則向量與的夾角為（ ）A. 30°B. 60° C. 120° D. 150°2. 在中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上，且滿足：，則（ ）A.B.C.D.3. 在中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若A.B.C.D.4.在ABC中,若,則ABC為 （ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D無(wú)法確定5.若|=|=|, 則與+的夾角為 （ ） A30° B60° C150° D120

9、°6.已知|=1,|=，且()與垂直，則與的夾角為 （ ） A60° B30° C135° D45°7.若,則ABC為 （ ）A直角三角形 B鈍角三角形C銳角三角形 D等腰直角三角形8.設(shè)|= 4，|= 3，夾角為60°，則|+|等于 （ ）A37 B13 CD9.若 |= 1，|= 2，與的夾角為60，=3+，= ，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）AB CD10.設(shè) a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量且相互不共線，則下列結(jié)論正確的是（ ） (a·b)·c(c·a)·b=0 |a | |b |< |ab | (b·c)·a(c·a)·b不與c垂直 (3a+2b) ·(3a2b)= 9|a | 24|b | 2 A B C D11.在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿足2，則·()等于（ ）A B C. D.12.已知向量(1,2)，(2，4)，|，若()·，則與的夾角為（ ）A120° B6