廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）理科數(shù)學(xué)

1、試卷類型：A2012年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)（理科） 2012.3本試卷共4頁，21小題， 滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要

2、求作答的答案無效。4作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高 方差，其中.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知復(fù)數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則的值為A B C0 D22已知全集，函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的定義域?yàn)榧?，則集合A B C D3如果函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，則的值為A3 B6 C12 D244已知點(diǎn)（）是圓：內(nèi)一點(diǎn)，直線的方程為，那么直

3、線與圓的位置關(guān)系是A相離 B相切 C相交D不確定5已知函數(shù)，對(duì)于任意正數(shù)，是成立的A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件6已知兩個(gè)非零向量與，定義，其中為與的夾角若， ，則的值為A B C8 D67在中，在上任取一點(diǎn)，使為鈍角三角形的概率為A B C D8從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)，若是3的倍數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A252 B216 C72 D42圖1俯視圖22正(主)視圖222側(cè)(左)視圖222二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）

4、9如圖1是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 10已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 11已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的值為 12已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 13兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖2中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作，第2個(gè)五角形數(shù)記作，第3個(gè)五角形數(shù)記作，第4個(gè)五角形數(shù)記作，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則 ，若，則 圖2512122POABCD圖3（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題） 14（幾何證明選講選做題）如圖

5、3，圓的半徑為，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，弦過點(diǎn)，且，則的長為 15（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與曲線的參數(shù)方程分別為：（為參數(shù)）和：（為參數(shù)），若與相交于、兩點(diǎn)，則 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的值；（2）設(shè)，若，求的值17（本小題滿分12分）圖4甲組乙組897a357966如圖4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個(gè)小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學(xué)成績乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示已知甲、乙兩個(gè)小組的數(shù)學(xué)成績的平均分相同（1）求的值；（2）求乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差；（3）分

6、別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對(duì)值為，求隨機(jī)變量的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）（溫馨提示：答題前請(qǐng)仔細(xì)閱讀卷首所給的計(jì)算公式及其說明）18（本小題滿分14分）圖5如圖5所示，在三棱錐中，平面平面，于點(diǎn)， ，（1）證明為直角三角形；（2）求直線與平面所成角的正弦值19（本小題滿分14分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和20（本小題滿分14分）已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)（1）求曲線的方程；（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，

7、證明：；21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由；（3）證明：（）2012年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指出了每道題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力對(duì)照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)

8、誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算共8小題，每小題5分，滿分40分題號(hào)12345678答案DBCABDCA二、填空題：本大題查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性共7小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題第13題僅填對(duì)1個(gè)，則給3分9 10 113 12 1335，10 14 15三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）（本小題主要考查兩角和的正切、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的余弦

9、等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）（1）解：1分 3分4分（2）解：因?yàn)?分6分7分所以，即 因?yàn)椋?由、解得9分因?yàn)?，所以?0分所以 11分12分17（本小題滿分12分）（本小題主要考查統(tǒng)計(jì)、方差、隨機(jī)變量的分布列、均值（數(shù)學(xué)期望）等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)）（1）解：依題意，得，1分解得.2分（2）解：根據(jù)已知條件，可以求得兩組同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均分都為.3分所以乙組四名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的方差為.5分（3）解：分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有種可能的結(jié)果6分甲乙X這兩名同學(xué)成績之差的絕對(duì)值的所有情況如下表：

10、87899696870299936433936433958611所以的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，8，9.8分由表可得，.所以隨機(jī)變量的分布列為：012346810分9隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為11分.12分18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面關(guān)系、直線與平面所成角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）證明1：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?平面，所以平面1分記邊上的中點(diǎn)為，在中，所以因?yàn)?，所?分因?yàn)椋詾橹苯侨切我驗(yàn)?，所?分連接，在中，因?yàn)?，所?分因?yàn)槠矫?，平面，所以在中，因?yàn)椋?分在中

11、，因?yàn)椋运詾橹苯侨切?分證明2：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?平面，所以平面1分記邊上的中點(diǎn)為，在中，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?分連接，在中，因?yàn)?，所?分在中，因?yàn)?，所以，所?分因?yàn)槠矫?，平面，所?分因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫妫运詾橹苯侨切?分（2）解法1：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連，則為直線與平面所成的角8分由（1）知，的面積9分因?yàn)?，所?0分由（1）知為直角三角形，所以的面積11分因?yàn)槿忮F與三棱錐的體積相等，即，即，所以12分在中，因?yàn)?，所?3分因?yàn)樗灾本€與平面所成角的正弦值為14分解法2：過點(diǎn)作，設(shè)，則與平面所成的角等于與平面所成的角8分由（1）知，且，所以平面因

12、為平面，所以平面平面過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，則平面所以為直線與平面所成的角10分在中，因?yàn)?，所?1分因?yàn)?，所以，即，所?2分由（1）知，且，所以13分因?yàn)椋灾本€與平面所成角的正弦值為14分解法3：延長至點(diǎn)，使得，連接、，8分在中，所以，即在中，因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以平?分過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫砸驗(yàn)?，所以平面所以為直線與平面所成的角11分由（1）知，所以在中，點(diǎn)、分別為邊、的中點(diǎn)，所以12分在中，所以，即13分因?yàn)樗灾本€與平面所成角的正弦值為14分解法4：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，8分 則，于是，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個(gè)

13、法向量為12分設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為14分 若第（1）、（2）問都用向量法求解，給分如下：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，1分 則，于是，因?yàn)?，所以所以所以為直角三角?分（2）由（1）可得，于是，設(shè)平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個(gè)法向量為12分設(shè)直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為14分19（本小題滿分14分）（本小題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)、裂項(xiàng)求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，有即2分所以3分由于，解

14、之得或5分又，所以，6分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）7分（2）解：由（1），得8分所以10分所以故數(shù)列的前項(xiàng)和14分20（本小題滿分14分）（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）解：依題意可得，1分設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，即所以雙曲線的方程為3分（2）證法1：設(shè)點(diǎn)、（，），直線的斜率為（），則直線的方程為，4分聯(lián)立方程組5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分所以8分證法2：設(shè)點(diǎn)、（，），則，4分因?yàn)?，所以，?分因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)分別在雙曲線和橢圓上，

15、所以，即，6分所以，即7分所以8分證法3：設(shè)點(diǎn)，直線的方程為，4分聯(lián)立方程組5分整理，得，解得或6分將代入，得，即所以8分（3）解：設(shè)點(diǎn)、（，），則，因?yàn)椋?，?分因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，所以，即因?yàn)辄c(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以10分因?yàn)椋?所以11分由（2）知，即設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，12分當(dāng)，即時(shí)，13分所以的取值范圍為14分說明：由，得，給1分21（本小題滿分14分）（本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）（1）證明：設(shè)，所以1分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，2分因?yàn)椋詫?duì)任意實(shí)數(shù)均有 即，所以3分（2）解：當(dāng)時(shí)，4分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時(shí)，由（1）知假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，5分令，因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)， 由歸納假設(shè)知，6分即在上為增函數(shù)，亦即，因?yàn)?，所以從而?duì)任意，有即對(duì)任意，有這就是說，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有由、知，當(dāng)時(shí)，都有8分（3）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，由（2）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有令，得所以9分再證對(duì)任意正整數(shù)，要證明上式，