廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）理科數(shù)學

1、試卷類型：A2012年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學（理科） 2012.3本試卷共4頁，21小題， 滿分150分考試用時120分鐘注意事項：1答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要

2、求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高 方差，其中.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知復數(shù)（其中，是虛數(shù)單位），則的值為A B C0 D22已知全集，函數(shù)的定義域為集合，函數(shù)的定義域為集合，則集合A B C D3如果函數(shù)的相鄰兩個零點之間的距離為，則的值為A3 B6 C12 D244已知點（）是圓：內一點，直線的方程為，那么直

3、線與圓的位置關系是A相離 B相切 C相交D不確定5已知函數(shù)，對于任意正數(shù)，是成立的A充分非必要條件 B必要非充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件6已知兩個非零向量與，定義，其中為與的夾角若， ，則的值為A B C8 D67在中，在上任取一點，使為鈍角三角形的概率為A B C D8從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字構成空間直角坐標系中的點的坐標，若是3的倍數(shù)，則滿足條件的點的個數(shù)為A252 B216 C72 D42圖1俯視圖22正(主)視圖222側(左)視圖222二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）

4、9如圖1是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 10已知，則實數(shù)的取值范圍為 11已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則實數(shù)的值為 12已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為 13兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖2中的實心點個數(shù)1，5，12，22，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，則 ，若，則 圖2512122POABCD圖3（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題） 14（幾何證明選講選做題）如圖

5、3，圓的半徑為，點是弦的中點，弦過點，且，則的長為 15（坐標系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標系中，已知直線與曲線的參數(shù)方程分別為：（為參數(shù)）和：（為參數(shù)），若與相交于、兩點，則 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的值；（2）設，若，求的值17（本小題滿分12分）圖4甲組乙組897a357966如圖4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩個小組（每小組4人）在期末考試中的數(shù)學成績乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以表示已知甲、乙兩個小組的數(shù)學成績的平均分相同（1）求的值；（2）求乙組四名同學數(shù)學成績的方差；（3）分

6、別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，記這兩名同學數(shù)學成績之差的絕對值為，求隨機變量的分布列和均值（數(shù)學期望）（溫馨提示：答題前請仔細閱讀卷首所給的計算公式及其說明）18（本小題滿分14分）圖5如圖5所示，在三棱錐中，平面平面，于點， ，（1）證明為直角三角形；（2）求直線與平面所成角的正弦值19（本小題滿分14分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和20（本小題滿分14分）已知橢圓的左，右兩個頂點分別為、曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點（1）求曲線的方程；（2）設、兩點的橫坐標分別為、，

7、證明：；21（本小題滿分14分）設函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))，（）（1）證明：；（2）當時，比較與的大小，并說明理由；（3）證明：（）2012年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學（理科）試題參考答案及評分標準說明：1參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力對照評分標準給以相應的分數(shù) 2對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯

8、誤，就不再給分 3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應得的累加分數(shù)4只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算共8小題，每小題5分，滿分40分題號12345678答案DBCABDCA二、填空題：本大題查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性共7小題，每小題5分，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題第13題僅填對1個，則給3分9 10 113 12 1335，10 14 15三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）（本小題主要考查兩角和的正切、誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系和兩角差的余弦

9、等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力）（1）解：1分 3分4分（2）解：因為5分6分7分所以，即 因為， 由、解得9分因為，所以，10分所以 11分12分17（本小題滿分12分）（本小題主要考查統(tǒng)計、方差、隨機變量的分布列、均值（數(shù)學期望）等知識，考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力和應用意識）（1）解：依題意，得，1分解得.2分（2）解：根據(jù)已知條件，可以求得兩組同學數(shù)學成績的平均分都為.3分所以乙組四名同學數(shù)學成績的方差為.5分（3）解：分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，共有種可能的結果6分甲乙X這兩名同學成績之差的絕對值的所有情況如下表：

10、87899696870299936433936433958611所以的所有可能取值為0，1，2，3，4，6，8，9.8分由表可得，.所以隨機變量的分布列為：012346810分9隨機變量的數(shù)學期望為11分.12分18（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面關系、直線與平面所成角、空間向量及坐標運算等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力）（1）證明1：因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分記邊上的中點為，在中，所以因為，所以3分因為，所以為直角三角形因為，所以4分連接，在中，因為，所以5分因為平面，平面，所以在中，因為，所以6分在中

11、，因為，所以所以為直角三角形7分證明2：因為平面平面，平面平面， 平面，所以平面1分記邊上的中點為，在中，因為，所以 因為，所以3分連接，在中，因為，所以4分在中，因為，所以，所以5分因為平面，平面，所以6分因為，所以平面 因為平面，所以所以為直角三角形7分（2）解法1：過點作平面的垂線，垂足為，連，則為直線與平面所成的角8分由（1）知，的面積9分因為，所以10分由（1）知為直角三角形，所以的面積11分因為三棱錐與三棱錐的體積相等，即，即，所以12分在中，因為，所以13分因為所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法2：過點作，設，則與平面所成的角等于與平面所成的角8分由（1）知，且，所以平面因

12、為平面，所以平面平面過點作于點，連接，則平面所以為直線與平面所成的角10分在中，因為，所以11分因為，所以，即，所以12分由（1）知，且，所以13分因為，所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法3：延長至點，使得，連接、，8分在中，所以，即在中，因為，所以，所以因為，所以平面9分過點作于點，因為平面，所以因為，所以平面所以為直線與平面所成的角11分由（1）知，所以在中，點、分別為邊、的中點，所以12分在中，所以，即13分因為所以直線與平面所成角的正弦值為14分解法4：以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，8分 則，于是，設平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個

13、法向量為12分設直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為14分 若第（1）、（2）問都用向量法求解，給分如下：（1）以點為坐標原點，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖的空間直角坐標系，1分 則，于是，因為，所以所以所以為直角三角形7分（2）由（1）可得，于是，設平面的法向量為，則即取，則，所以平面的一個法向量為12分設直線與平面所成的角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為14分19（本小題滿分14分）（本小題主要考查等比數(shù)列的通項、裂項求和等知識，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識）（1）解：設等比數(shù)列的公比為，依題意，有即2分所以3分由于，解

14、之得或5分又，所以，6分所以數(shù)列的通項公式為（）7分（2）解：由（1），得8分所以10分所以故數(shù)列的前項和14分20（本小題滿分14分）（本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關系、函數(shù)最值等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力）（1）解：依題意可得，1分設雙曲線的方程為，因為雙曲線的離心率為，所以，即所以雙曲線的方程為3分（2）證法1：設點、（，），直線的斜率為（），則直線的方程為，4分聯(lián)立方程組5分整理，得，解得或所以6分同理可得，7分所以8分證法2：設點、（，），則，4分因為，所以，即5分因為點和點分別在雙曲線和橢圓上，

15、所以，即，6分所以，即7分所以8分證法3：設點，直線的方程為，4分聯(lián)立方程組5分整理，得，解得或6分將代入，得，即所以8分（3）解：設點、（，），則，因為，所以，即9分因為點在雙曲線上，則，所以，即因為點是雙曲線在第一象限內的一點，所以10分因為， 所以11分由（2）知，即設，則，設，則，當時，當時，所以函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減 因為，所以當，即時，12分當，即時，13分所以的取值范圍為14分說明：由，得，給1分21（本小題滿分14分）（本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式、數(shù)學歸納法、二項式定理等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、分類與討論的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力）（1）證明：設，所以1分當時，當時，當時，即函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，2分因為，所以對任意實數(shù)均有 即，所以3分（2）解：當時，4分用數(shù)學歸納法證明如下：當時，由（1）知假設當（）時，對任意均有，5分令，因為對任意的正實數(shù)， 由歸納假設知，6分即在上為增函數(shù)，亦即，因為，所以從而對任意，有即對任意，有這就是說，當時，對任意，也有由、知，當時，都有8分（3）證明1：先證對任意正整數(shù)，由（2）知，當時，對任意正整數(shù)，都有令，得所以9分再證對任意正整數(shù)，要證明上式，