平面圖形中的解三角形

1、利用正弦，余弦定理解三角形的一些平面圖形問題1如圖,是直角斜邊上一點(diǎn),（I）若,求角的大?。唬↖I）若,且,求的長2如圖，在平面四邊形中，.（）求；（）求的長.3如圖，在四邊形中，（1）求邊的長；（2）求的面積4如圖，在ABC中，BC邊上的中線AD長為3，且cosB，cosADC.(1)求sinBAD的值；(2)求AC邊的長5如圖所示，在平面四邊形中，為邊上一點(diǎn)，.（1）求的值；（2）求的長.6如圖，在中，點(diǎn)在邊上，,.（）求的長；（）求的面積7設(shè)銳角的三內(nèi)角的對邊分別為 向量 ， ，已知與共線. （1）求角的大小；（2）若，且的面積小于，求角的取值范圍. 8在中,內(nèi)角、對應(yīng)的邊長分別為、,已

2、知（1）求角；（2）若,求的取值范圍9（2012東至縣一模）在ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊長分別是a，b，c，已知c=2，C=（）若ABC的面積等于；（）若sinC+sin（BA）=2sin2A，求ABC的面積10已知滿足（1）將表示為的函數(shù)，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知三個內(nèi)角的對邊分別為，若，且，求面積的最大值11如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且（1）求；（2）求線段的長參考答案1 （I）；（II）2.【解析】試題分析：（）由正弦定理求出,可得；（II）設(shè),在中,由余弦定理整理出關(guān)于x的方程,解方程求出,試題解析：（）在ABC中,根據(jù)正弦定理,有. 又所以. 于是,所以. （）設(shè),則,.于是,在

3、中,由余弦定理,得 ,即 ,得.故 考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理.2（）;（）.【解析】試題分析：（）利用余弦定理，求出的值，再利用正弦定理即可求；（）由及（1）可求得的余弦值與正弦值，得用三角形內(nèi)角和定理及兩角和與差的正弦公式可求出，再利用正弦定理即可求的長.試題解析： （）在中，由余弦定理得：，即，解得：，或（舍），由正弦定理得：（）由（）有：，所以,由正弦定理得：考點(diǎn)：1.正弦定理與余弦定理；2.三角恒等變換；3.三角形內(nèi)角和定理.3（1）；（2）【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理列出方程，即可求解邊的長；（2）在中，由余弦定理，得，進(jìn)而得，利用三角形的面積公式，求解三角形的面積試題解

4、析：（1）在中，由余弦定理，得，即，解之得或（舍去），所以；（2）由已知，所以，在中，由余弦定理，得 ，所以，所以考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理的應(yīng)用4(1) ; (2) .【解析】試題分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式由,可求得,的值. 因為,可由正弦的兩角差公式求得的值. (2)在中可由正弦定理求得的長,即的長,然后再在中用余弦定理求得的長.試題解析：解：(1)因為，所以.又，所以，所以(2)在中，由得，解得.故，從而在中，由，得.考點(diǎn)：1兩角和差公式;2正弦定理,余弦定理.【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查的是正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差公式，屬于中檔題解題時一定要注意角的范圍，

5、三角形內(nèi)角的正弦值均為正,否則很容易失分高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，期中關(guān)鍵是三角變換，而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式5（1）；（2）【解析】試題分析：（1）在中，由余弦定理求解，再利用正弦定理求出；（2）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與和角公式求出的值，再在中，試題解析：()在中，由余弦定理得：，整理得：即，又由正弦定理得，即，所以 ()因為，所以，又，所以所以在中， 考點(diǎn)：正、余弦定理的應(yīng)用；三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及和角公式的應(yīng)用6（）；（）.【解析】試題分析：()設(shè)，則因為，所以，

6、由余弦定理得因為，即解得所以的長為；（）由() ，所以 可得正確答案.試題解析：() 在中，因為，設(shè)，則在中，因為，所以在中，因為， 由余弦定理得因為，所以，即解得所以的長為.（）由（）求得， 所以，從而,所以 考點(diǎn)：余弦定理及三角形面積公式.7（1）（2）【解析】試題分析：（）利用向量平行，得到關(guān)于A的關(guān)系式，利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)化簡，求出角A的大小；（）通過，且ABC的面積小于，得到B的余弦值的范圍，然后求角B的取值范圍試題解析：（1）因為與共線，則即 所以即為銳角，則，所以 （2）因為，則.由已知，即. 因為是銳角，所以，即，故角的取值范圍是考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的恒等變換及化簡

7、求值；2.解三角形【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由余弦定理得,所以；（2）利用正弦定理得,利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求范圍.試題解析：（1）,由余弦定理得, ,（2）由余弦定理得, ； , 所以 考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、三角變換.9（）a=2，b=2；（）S=【解析】試題分析：（）由C的度數(shù)求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c2，把c和cosC的值代入得到一個關(guān)于a與b的關(guān)系式，再由sinC的值及三角形的面積等于，利用面積公式列出a與b的另一個關(guān)系式，兩個關(guān)系式聯(lián)立即可即可求出a與b的值；（）由三角形的內(nèi)角和定理得到C=（A+B），進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式得

8、到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左邊利用和差化積公式變形，右邊利用二倍角的正弦函數(shù)公式變形，分兩種情況考慮：若cosA為0，得到A和B的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出a與b的值；若cosA不為0，等式兩邊除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化簡得到b=2a，與第一問中余弦定理得到的a與b的關(guān)系式聯(lián)立，求出a與b的值，綜上，由求出的a與b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積解：（）c=2，C=60°，由余弦定理c2=a2+b22abcosC得：a2+b2ab=4，根據(jù)三角形的面積S=，可得ab=4，聯(lián)立方程組，解得a=2，b=2；（）由題意sin（B+A）+sin（BA）=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，；當(dāng)cosA0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，聯(lián)立方程組解得a=所以ABC的面積S=考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理10（1）即為的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）面積的最大值為 【解析】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示建立關(guān)于的等式關(guān)系，再借助兩角和與差的正余弦公式化簡可得的表達(dá)式；（2）先求,確定出角的大小，再根據(jù),利用余弦定理可知,從而求出的最大值，進(jìn)而得到面積的最大值試題解析：解：（1） ，所以，令，得的單調(diào)遞增區(qū)間是（2），又，在中由余弦定