導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位及解題中的應(yīng)用11

1、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位及解題中的應(yīng)用重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）2013級(jí)3班 李錦華指導(dǎo)老師 袁南橋中文摘要：在近幾年的高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的考察越來(lái)越多，與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的知識(shí)也成為高考考察的重要內(nèi)容.導(dǎo)數(shù)作為選修課進(jìn)入新課程，為高中階段研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)提供了有力工具，本文試圖以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式以及切線中的應(yīng)用為例，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用分析關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù) 解題 應(yīng)用一. 導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位1.1有利于學(xué)生更好地掌握函數(shù)思想導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中處于一種特殊的地位，在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，為了理解函數(shù)的性態(tài)，學(xué)生主要學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、

2、周期性、有界性等。我們知道，函數(shù)的這些性質(zhì)都可以通過(guò)函數(shù)的圖像來(lái)反映，因而，如果能準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像，函數(shù)的性質(zhì)就一目了然，函數(shù)的性態(tài)也容易掌握了。如果所涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點(diǎn)法就可以作出函數(shù)的圖像。但是，如果所涉及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，比如，等函數(shù)，僅用描點(diǎn)法就很難較為準(zhǔn)確地作出圖像。但是，掌握了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)之后，學(xué)生就可以利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)；利用極限的思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結(jié)合描點(diǎn)法，就能較為準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像。這樣就有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，同時(shí)也拓寬了學(xué)生的知識(shí)。數(shù)學(xué)上的許多問(wèn)題，用初等數(shù)學(xué)方法是不能解決的，或者難

3、以解決，而通過(guò)數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想，然后用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其性質(zhì)，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性的作用，可以輕松簡(jiǎn)捷地獲得問(wèn)題的解決.其實(shí)我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和導(dǎo)數(shù)之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數(shù)列求和的有關(guān)問(wèn)題，以及解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，我們都可以構(gòu)造函數(shù)模型，并且利用導(dǎo)數(shù)，來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題.1.2有利于學(xué)生學(xué)好其他學(xué)科高中的物理、化學(xué)等課程都與數(shù)學(xué)緊密相關(guān)，我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念，它在物理、化學(xué)、生物、天文、工程以及地質(zhì)學(xué)等中都有著廣泛的應(yīng)用.例如：根據(jù)做變速直線運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程：s=s（t），算出物體的瞬時(shí)速度：v（t）=ds/dt、瞬時(shí)加速度

4、：a（t）=d2s/dt2；對(duì)化學(xué)中的反應(yīng)速度、冷卻速度等也都可以通過(guò)微積分的方法來(lái)解決了.1.3有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力 通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)把中學(xué)所學(xué)的知識(shí)全部串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生成為知識(shí)的“”發(fā)現(xiàn)者”“探究者”和“運(yùn)用者”，一真正發(fā)展學(xué)生的各項(xiàng)科學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的各項(xiàng)能力，為學(xué)生的終身發(fā)展和個(gè)性發(fā)展，科學(xué)世界觀和科學(xué)價(jià)值的形成打下基礎(chǔ).二. 導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用2.1導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用1.函數(shù)的最值與極值求函數(shù)的最值是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是高考經(jīng)常要考查的內(nèi)容之一，它涉及函數(shù)知識(shí)的很多方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化，步驟清晰，也容易掌握，從而進(jìn)一步明確了函數(shù)的

5、性質(zhì).一般的，求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最值的步驟(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)(2)求方程的根，計(jì)算在根和端點(diǎn)的函數(shù)值(3) 比較在根和端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值若滿足，且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是的極值點(diǎn)，是極值.2.判別是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值.例1. 求函數(shù)在上的最大值和最小值分析：先求出的極值點(diǎn)，然后比較極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間，上的最大值和最小值解：由于，則 當(dāng)時(shí)， 所以為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間當(dāng)

6、，所以為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值.例2 求函數(shù)的極值.解： 令，得駐點(diǎn)12+0-0+0+極大極小是函數(shù)的極大值；是函數(shù)的極小值2.2利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線1導(dǎo)數(shù)的幾何意義過(guò)曲線上任意一點(diǎn)的切線的斜率就是在處的導(dǎo)數(shù)，即k=fx0=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x.也就是說(shuō)，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是，切線方程為.2導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的三個(gè)方面 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率，應(yīng)用時(shí)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1)已知切點(diǎn)求斜率k，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值： (2)已知斜率k，求切點(diǎn)，即解方程(3)已知過(guò)某點(diǎn) (不是切點(diǎn))

7、的切線斜率為k時(shí)，常需設(shè)出切點(diǎn)，利用-求解例3求曲線在點(diǎn)處的切線方程.分析：此題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線的導(dǎo)數(shù)，并代入點(diǎn)斜式方程即可解：由則在點(diǎn)處斜率，故所求的切線方程為，即例4求與直線的平行的拋物線的切線方程.分析：此題可利用斜率求出切點(diǎn)，再用點(diǎn)斜式方程加以解決解：設(shè)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為得到切點(diǎn)故切線方程為.即例5 求過(guò)曲線上的點(diǎn)的切線方程分析：過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法解：設(shè)想為切點(diǎn)，則切線的斜率為切線方程為又知切線過(guò)點(diǎn)，把它代入上述方程，得解得，或故所求切線方程為，或.即，或2.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)在某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可

8、導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性的充分條件若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù).函數(shù)的單調(diào)性的必要條件若為增函數(shù)，則；若為減函數(shù)，則.例6已知函數(shù) (1)求的單調(diào)增區(qū)間； (2)是否存在，使在(2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由思維點(diǎn)撥：函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對(duì)參數(shù)的討論解 （1） 若，則即在上單調(diào)遞增 若，令，則 因此當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為.（2）在上恒成立 在上恒成立 ，只需 當(dāng)時(shí)，在上恒成立 即在上為減函數(shù)， 故存在實(shí)數(shù)，使在上為減函數(shù).2.4利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)

9、構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)通過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題對(duì)證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如的函數(shù)型并通過(guò)一階或二階、三階求導(dǎo)達(dá)到證明目的的不等式。作輔助函數(shù)型：對(duì)含有兩個(gè)變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個(gè)變量為自變量的函數(shù)，再采用上述方法證明不等式.例：:求證：不等式在上成立分析：通過(guò)作差，構(gòu)造函數(shù) 在通過(guò)對(duì)和求導(dǎo)來(lái)判斷.證明：構(gòu)造函數(shù)則： 知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋约?成立又構(gòu)造函數(shù)則： 知在上單調(diào)遞增又因?yàn)?，所以?綜上所述，原命題成立.三總結(jié)導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)一直是高考命題的重點(diǎn)與熱點(diǎn).將導(dǎo)數(shù)這一概念引入到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,不僅使高中數(shù)學(xué)的教學(xué)更顯活力,同時(shí)也為函數(shù)的求解過(guò)程提供了更簡(jiǎn)單更靈活的解題工具.利用導(dǎo)數(shù)可以更便捷的解決高中數(shù)學(xué)中一些用傳統(tǒng)方法難以解決的問(wèn)題,并且能夠提高解題的準(zhǔn)確率與速度,在實(shí)際問(wèn)題的解決中也能發(fā)揮作用.本文通過(guò)闡述導(dǎo)數(shù)在求最值與極值，切線方程，不等式等的求解方式,對(duì)其在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用進(jìn)行探討.事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這么多.例如在向量中的應(yīng)用，在解析幾何與立體幾何中都具有重要的應(yīng)用.導(dǎo)數(shù)為函數(shù)問(wèn)題的解決提供了簡(jiǎn)捷有效的途徑，而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)解題，則需要在平時(shí)多加訓(xùn)練，才能快速熟練的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1李