大連理工大學(xué)2007至第一學(xué)期計(jì)算方法期末考試試題A

1、大連理工大學(xué)2007至2008學(xué)年第一學(xué)期計(jì)算方法期末考試試題A大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2005級試卷課 程 名 稱：計(jì)算方法授課院(系)：應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 系考試 日 期：2007年11月日試卷共6頁一二三四五六七八九十總分標(biāo)準(zhǔn)分4281515155/100得分一、填空（每一空2分，共42分）1為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式.改寫為_；2給定3個(gè)求積節(jié)點(diǎn)：，和，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分求得的近似值為，用Simpson公式求得的近似值為。1設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，滿足，則其可表示為。4已知,則,，逼近的Newton插值多項(xiàng)式為。5用于求的根的具有平方收斂的Newton迭代公式為：。6已知，

2、則的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是；7設(shè)是階正規(guī)矩陣，則；8求解一階常微分方程初值問題，的向后（隱式）Euler法的顯式化的格式為：。9設(shè)12為的近似值，且，則至少有位有效數(shù)字；10將，化為的Householder矩陣為：；11；12用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為，進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為。13若為Newton-Cotes求積公式，則，若為Gauss型求積公式，則。14設(shè)，則在Schur分解中，可取為。15設(shè)，則,。二、（8分）已知近似值，均為有效數(shù)字，試估計(jì)算術(shù)運(yùn)算的相對誤差界。三、（15分）設(shè)線性方程組：（1）列主元消元法求出上述方程組的解，并計(jì)算，和；（2）試問用Jacobi迭代

3、法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？（3）請給出可求出上述方程組解的收斂的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。四、（15分）對于如下求解一階常微分方程初值問題，的數(shù)值方法證明其收斂性；求出它的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)及絕對穩(wěn)定區(qū)間；要用此方法解，。為使方法絕對穩(wěn)定，求出步長的取值范圍并以，初值，為步長，求出的近似值。五、（15分）（1）用Schimidt正交化方法，構(gòu)造上以權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系：，;（2）構(gòu)造計(jì)算具有5次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式；（3）利用2)的結(jié)果求出的數(shù)值解。六、證明題（5分）任選一題1設(shè)均為可逆矩陣，且齊次線性方程

4、組有非零解，證明：對于中的任何矩陣范數(shù)，都有。2已知，求出，證明收斂。大連理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2005級試A卷答案課 程 名 稱：計(jì)算方法授課院(系)：應(yīng) 用 數(shù) 學(xué) 系考試 日 期：2007年11月日試卷共6頁一二三四五六七八九十總分標(biāo)準(zhǔn)分4281515155/100得分一、填空（每一空2分，共42分）1為了減少運(yùn)算次數(shù)，應(yīng)將表達(dá)式.改寫為；2給定3個(gè)求積節(jié)點(diǎn)：，和，則用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分求得的近似值為，用Simpson公式求得的近似值為。1設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，滿足，則其可表示為。4已知,則6,0，逼近的Newton插值多項(xiàng)式為。5用于求的根的具有平方收斂的Newton迭代公式

5、為：。6已知，則的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型是或；7設(shè)是階正規(guī)矩陣，則；8求解一階常微分方程初值問題，的向后（隱式）Euler法的顯式化的格式為：。9設(shè)12為的近似值，且，則至少有5位有效數(shù)字；10將，化為的Householder矩陣為：；11；12用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根所在區(qū)間為，進(jìn)行二步后根所在區(qū)間為。13若為Newton-Cotes求積公式，則，若為Gauss型求積公式，則。14設(shè)，則在Schur分解中，可取為或。15設(shè)，則,。二、（8分）已知近似值，均為有效數(shù)字，試估計(jì)算術(shù)運(yùn)算的相對誤差界。解：由已知，；。令，由函數(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)式+從而，相對誤差可寫成三、（15分）設(shè)線性方

6、程組：（1）列主元消元法求出上述方程組的解，并利用得到的上三角矩陣計(jì)算出（要有換元、消元過程）；（2）試問用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程組是否收斂？（3）請給出可求出上述方程組解的收斂的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并說明其收斂性。解：（1）故，。（2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值滿足：，則，故，從而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散。又由于Jacobi迭代法的迭代矩陣為：，則，故，從而Jacobi迭代法發(fā)散。（3）將上述方程組的第一個(gè)方程與第二個(gè)方程對調(diào)后，新的方程組的系數(shù)矩陣為：是嚴(yán)格對角占有的，故Jaco

7、bi和Gauss-Seidel迭代法均收斂。且新的方程組與原方程組同解。Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分別為：和#四、（15分）對于如下求解一階常微分方程初值問題，的數(shù)值方法證明其收斂性；求出它的局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)及絕對穩(wěn)定區(qū)間；要用此方法解，。為使方法絕對穩(wěn)定，求出步長的取值范圍并以，初值，為步長，求出的近似值。解：（1）注意，從而故此為線性隱式二步三階法，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為：。（2）令，得，滿足根條件；又方法階，故此差分格式收斂。（3）又對于模型問題：(),取而要使得的充要條件為：而自然成立?，F(xiàn)在再由得由，可推出，即。#五、（15分）（1）用Schimidt正交化方法，構(gòu)造上以權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系：，;（2）構(gòu)造計(jì)算具有5次代數(shù)精度的數(shù)值求積公式；（3）利用2)的結(jié)果求出的數(shù)值解。解：由，即應(yīng)構(gòu)造具有3個(gè)Gauss點(diǎn)的求積公式。首先構(gòu)造3次正交多項(xiàng)式，令+；令即得，得，取，令即得到方程組：，解之，得，從而具有5次代數(shù)精度Gauss求積公式（2），則有六、證明題（5分）任選一題1設(shè)均為可逆矩陣，且齊次線性方程組有非零解，證明：對于中的任何矩陣范數(shù)，都有。（1