多面體與球切接的問題講

1、縱觀近幾年高考對于組合體的考查，與球相關的外接與內切問題是高考命題的熱點之一.高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答.從實際教學來看，這部分知識學生掌握較為薄弱、認識較為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理. 下面結合近幾年高考題對球與幾何體的切接問題作深入的探究,以便更好地把握高考命題的趨勢和高考的命題思路,力爭在這部分內容不失分.從近幾年全國高考命題來看,這部分內容以選擇題、填空題為主，大題很少見.首先明確定義1：若一個多面體的各頂點都在一

2、個球的球面上，則稱這個多面體是這個球的內接多面體，這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的內切球.1 球與柱體的切接規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1.1 球與正方體如圖所示，正方體，設正方體的棱長為，為棱的中點，為球的球心.常見組合方式有三類：一是球為正方體的內切球，截面圖為正方形和其內切圓，則；二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則；三是球為正方體的

3、外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則.通過這三種類型可以發(fā)現，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題.（1）正方體的內切球，如圖1.位置關系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合；數據關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.（2）正方體的外接球，如圖2.位置關系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合；數據關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.（3）正方體的棱切球，如圖3.位置關系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與

4、球心重合；數據關系：設正方體的棱長為，球的半徑為，這時有.例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD思路分析：由題意推出，球為正方體的外接球.平面截面所得圓面的半徑得知直線被球截得的線段就是球的截面圓的直徑.1.2 球與長方體例 2自半徑為的球面上一點，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值思路分析：此題欲計算所求值，應首先把它們放在一個封閉的圖形內進行計算，所以應引導學生構造熟悉的幾何體并與球有密切的關系，便于將球的條件與之相聯例 3（全國卷I高考題）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積為（ ）.A

5、. B. C. D. 思路分析：正四棱柱也是長方體.由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為2，可得長方體的長、寬、高分別為2，2，4，長方體內接于球，它的體對角線正好為球的直徑.2 球與錐體的切接規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.2.1正四面體與球的切接問題（1）正四面體的內切球，如圖4.位置關系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可以利用體積橋證明）（2）

6、正四面體的外接球，如圖5.位置關系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有；（可用正四面體高減去內切球的半徑得到）（3）正四面體的棱切球，如圖6.位置關系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數據關系：設正四面體的棱長為，高為；球的半徑為，這時有例 4設正四面體中，第一個球是它的內切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比思路分析：此題求解的第一個關鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關系，第二個關鍵是兩個球的半徑之間的關系，依靠體積分割的方法來解決的2.2其它棱錐與球的切接問題球與正棱

7、錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半徑這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.球與一些特殊的棱錐進行組合，一定要抓住棱錐的幾何性質，可綜合利用截面法、補形法等進行求解.例如，四個面都是直角三角形的三棱錐，可利用直角三角形斜邊中點幾何特征，巧定球心位置.例5正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內有一個球與其四個面相切求球的表面積與體積思路分

8、析：此題求解的關鍵是搞清球的半徑與正三棱錐的高及底面邊長的關系，由等體積法可得：，得到例6（福建高考題）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是 .思路分析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設出球心，利用直角三角形計算球的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法.三條側棱兩兩垂直，使我們很快聯想到長方體的一個角，馬上構造長方體，由側棱長均相等，所以可構造正方體模型.點評：此題突出構造法的使用，以及滲透利用分割補形的方法解決立體幾何中計算問題，這是解決幾何體與球切接問題常用的方法例7【2012年新課標高考卷】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三

9、角形，是球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ）A. B. C. D. 思路分析：的外接圓是球面的一個小圓，由已知可得其半徑，從而得到點到面的距離.由為球的直徑點到面的距離即可求得棱錐的體積.3 球與球相切問題對于球與球的相切組合成復雜的幾何體問題，要根據豐富的空間想象力，通過準確確定各個小球的球心的位置，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解.例8已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為 .思路分析：結合圖形，分析四個球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.設AB中點為E、CD中點為F，

10、連結EF.在ABF中可得，在EBF中可得.由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連結OA、OD.設第五個球的半徑為r，根據OE+OF=EF建立的方程.例9把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌面的距離思路分析：關鍵在于能根據要求構造出相應的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點且正四面體的棱長為兩球半徑之和24 球與幾何體的各條棱相切問題球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的

11、球的半徑為相對棱的一半：.例10 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（ ）Al0cm B10 cmC10cm D30cm思路分析：根據題意球心O在圖中AP上，過O作BP的垂線ON垂足為N，ON=R，OM=R，由各個棱都為20，得到AM=10，BP=20,BM=10，AB=,設，在BPM中，由,得.在PAM中, 由,得.在ABP中得, ，在ONP中得, ,從而，.在OAM中, 由,建立方程即可得解.5 球與旋轉體切接問題首先畫出球及其它旋轉體的公共軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體幾何元素之間的關系例11求球

12、與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比思路分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關系例12在棱長為1的正方體內有兩個球相外切且又分別與正方體內切（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最小思路分析：此題的關鍵在于作截面，一個球在正方體內，學生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖的截面圖，在圖中，觀察與和棱長間的關系即可綜合上面的五種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上