實(shí)驗(yàn)1物理實(shí)驗(yàn)誤差與數(shù)據(jù)處理

1、實(shí)驗(yàn)1 實(shí)驗(yàn)誤差與數(shù)據(jù)處理【預(yù)習(xí)和實(shí)驗(yàn)要求】本實(shí)驗(yàn)是“大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)”中實(shí)驗(yàn)課重要的預(yù)備知識，也為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和科研工作提供了基礎(chǔ)工具。而誤差與數(shù)據(jù)處理所涉及到的內(nèi)容非常豐富，本實(shí)驗(yàn)在課堂只能由老師作基本的綜合介紹。因此要求同學(xué)：l 在課前必須認(rèn)真閱讀本實(shí)驗(yàn)教材，對誤差與數(shù)據(jù)處理有所認(rèn)識；l 本實(shí)驗(yàn)屬于課堂理論講授，不動手作實(shí)驗(yàn)。同學(xué)必須帶上講義、記錄用紙和筆，適當(dāng)?shù)淖骱谜n堂筆記；l 課后認(rèn)真復(fù)習(xí)教材，完成書面作業(yè)?！緦?shí)驗(yàn)原理】一、 物理實(shí)驗(yàn)和測量誤差物理學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的科學(xué)。物理實(shí)驗(yàn)，除了觀察之外，就是要對各種物理量進(jìn)行測量。對一個(gè)物理量的測量，是用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位來與之作比較，得知其大小的

2、。顯然，測量值的大小同選用的單位有關(guān)，因此，表示物理量的測量值時(shí)，必須包括數(shù)值和單位。 測量分為兩種：直接測量和間接測量：l 直接測量：從儀器直接讀出測量結(jié)果；l 間接測量：從直接測量的結(jié)果，通過公式計(jì)算而得到需要的結(jié)果。根據(jù)測量的條件，可以把測量分為等精度測量和不等精度測量：等精度測量：保持測量條件不變（如，同一個(gè)人、用同一臺儀器、相同的外部環(huán)境）而進(jìn)行的重復(fù)性測量。此時(shí)無法判斷某一次測量比另一次測量是否更準(zhǔn)確，只能認(rèn)為每次測量的精度是同等級別的；不等精度測量：在測量中一個(gè)或幾個(gè)條件發(fā)生了變化。又稱為復(fù)現(xiàn)性測量。置于一定實(shí)驗(yàn)條件下的物理量，在客觀上總是有一個(gè)唯一確定的大小，稱為該物理量的真值

3、。但是，測量時(shí)由于種種原因，包括理論的近似性、儀器的分辨率和靈敏度的局限、環(huán)境條件的不穩(wěn)定、操作者的差別、等等，測量結(jié)果是不可能絕對準(zhǔn)確的。此物理量的真值同測量值之間總是存在一定的差異，這種差異就稱為測量誤差：測量誤差=測量值真值測量誤差反映了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確程度，如何降低和控制誤差是物理實(shí)驗(yàn)和測量的重要任務(wù)。隨著科學(xué)和技術(shù)水平的不斷提高，測量誤差可以被控制得越來越小，但是永遠(yuǎn)存在于一切測量之中，不可能降低到零。換言之，物理量的真值是不可能通過測量得到的。上述測量誤差反映了測量值對于真值的偏差的大小和方向，它反映了某一次測量結(jié)果的優(yōu)劣，稱為絕對誤差： （1-1）式中為真值，為第次的測量值；當(dāng)需要

4、比較多次測量結(jié)果的優(yōu)劣程度時(shí)，則要用到相對誤差： （1-2）應(yīng)該了解，由于測量得不到真值，所以由（1-1）、（1-2）所描述的誤差也是不確定的。二、 誤差分類誤差按照其性質(zhì)和產(chǎn)生的原因可以分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。1. 系統(tǒng)誤差：在相同的條件下，多次測量同一個(gè)物理量時(shí)，測量值對于真值的偏離（大小和方向）總是相同的，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的來源包括：l 理論公式和測量方法的近似性（理論誤差和方法誤差），比如單擺測重力加速度時(shí)忽略了空氣阻力，用伏安法測電阻時(shí)沒有考慮電表的內(nèi)阻；l 儀器本身的缺陷（儀器誤差），如溫度計(jì)的刻度不準(zhǔn)，電流表的零點(diǎn)不準(zhǔn)，球面鏡各處的曲率半徑不一樣；l 測量環(huán)境和條件

5、的變化，如在相對濕度50%條件下校準(zhǔn)的儀器到90%的濕度下使用；l 測量者個(gè)人習(xí)慣性誤差（個(gè)人誤差），如計(jì)時(shí)的時(shí)候某人總有滯后或超前的傾向等。系統(tǒng)誤差有時(shí)是定值，如游標(biāo)卡尺的零點(diǎn)不準(zhǔn)；有些是積累性的，如在較高的溫度下用制的米尺的指標(biāo)值小于真值，當(dāng)用來作長度測量時(shí)，誤差會隨著待測長度成正比增加；還有些是周期性變化的，如分光計(jì)的中心轉(zhuǎn)軸與刻度中心不重合而造成的偏心差，在不同的位置，有不同的數(shù)值，按轉(zhuǎn)動周期有規(guī)律的變化，但在某一確定位置，誤差又是定值。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是恒定性。一方面它的出現(xiàn)是有規(guī)律的，全部結(jié)果要么都大于真值，要么都小于真值；另一方面，增加測量的次數(shù)并不能使它減小。發(fā)現(xiàn)、減小和消除系統(tǒng)

6、誤差的方法涉及到對儀器進(jìn)行校正、修正實(shí)驗(yàn)方法、在計(jì)算公式中引入修正項(xiàng)、等等。這是非常復(fù)雜的工作，要求豐富的實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)。本課程只初步建立系統(tǒng)誤差的概念，而假設(shè)測量系統(tǒng)誤差已經(jīng)排除。2. 隨機(jī)誤差：在相同的條件下，由于偶然的不確定因素，會造成每一次測量的無規(guī)律的漲落，測量值對真值的偏離時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，這類誤差稱為隨機(jī)誤差，也叫偶然誤差。形成隨機(jī)誤差的因素是多方面的，儀器性能和操作者感官分辨率的統(tǒng)計(jì)漲落、環(huán)境條件的微小波動、測量對象自身的不確定性、等等，都會帶來測量結(jié)果的隨機(jī)變化。隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是隨機(jī)性。但它服從一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律。三、 隨機(jī)誤差的處理方法在相同條件下對某一物理量作多次測量，當(dāng)測量

7、次數(shù)足夠多時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)這些測量值呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。在常見的一般性測量中，基本上服從正態(tài)分布。正態(tài)分布曲線如圖1所示，其中表示測量值的概率密度，概率密度函數(shù)為： （3-1）式中： （3-2） （3-3）圖3-1 分析圖1所示的曲線，可以得知服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的一些特征：測量值在處的概率密度最大，即是說，相應(yīng)橫坐標(biāo)為測量次數(shù)時(shí)的測量平均值。在概率中被稱為數(shù)學(xué)期望，其物理意義即測量的真值。橫坐標(biāo)上任一點(diǎn)到值的距離，代表了與測量值相對應(yīng)的隨機(jī)誤差分量；隨機(jī)誤差小的概率大、隨機(jī)誤差大的概率小。稱為標(biāo)準(zhǔn)差，是表征測量值分散性的參數(shù)。圖中陰影區(qū)域（）的面積就是隨機(jī)誤差在范圍內(nèi)的概率即測量誤差落在該區(qū)間

8、內(nèi)的概率；計(jì)算可知：、測量值落在（）區(qū)間內(nèi)的概率為95.4%、落在（）區(qū)間的概率為99.7%。從曲線還可以看到隨機(jī)誤差的一個(gè)重要特征：具有抵償性（對稱性）。即以為對稱軸，值為的概率相等。這一特征說明，測量值的算術(shù)平均值是測量值的最佳近似值，當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮時(shí)，算術(shù)平均值就等于真值。在實(shí)際測量中，測量次數(shù)總是有限的，可以得到以下重要而實(shí)用的近似關(guān)系：公式1： 算術(shù)平均值： （3-4） 公式2： 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差： （3-5）式中的，定義為殘差（又稱偏差）公式3：由于算術(shù)平均值相對于單次測量值的隨機(jī)誤差有一定抵消，更接近于真值，其誤差的分散程度也小得多，因此在實(shí)驗(yàn)中用得更多的是平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差： （

9、3-6）四、 測量結(jié)果的不確定度隨著科技和生產(chǎn)的發(fā)展進(jìn)步，對實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和可靠性要求越來越高。從上世紀(jì)七十年代開始，逐漸提出了不確定度的概念。1986年，國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）等7個(gè)國際組織共同組成了國際不確定度工作組，研究制定測量不確定度表示指南，到1993年，該指南由ISO頒布實(shí)施；我國也制定了測量不確定度評定與表示的國家技術(shù)規(guī)范（JJF1059-1999），成為評定不確定度的理論依據(jù)和計(jì)算規(guī)范。l 測量結(jié)果的正確表達(dá)實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果表達(dá)的準(zhǔn)確表達(dá)形式應(yīng)該為： （4-1）式中，為待測物理量；為該物理量的測量值，注意它既可以是單次的直接測量值，也可以是多次測量的算術(shù)平均值，還可以是從公

10、式計(jì)算得到的間接測量值。下面我們對作討論。l 不確定度的定義和特征前已提到，實(shí)際測量的真值和誤差都是不確定的，這就給我們對測量結(jié)果的評價(jià)造成了困難。而的引入，則對測量結(jié)果作出了準(zhǔn)確的描述。（4-1）式就表示了測量結(jié)果的范圍：。式中，稱為不確定度，它是一個(gè)恒正的量。代表了測量值不確定的程度，是對被測真值所處的量值范圍的評定。不確定度愈小，表示測量結(jié)果與真值愈靠近，測量結(jié)果愈可信。范圍稱為置信區(qū)間，即是說被測真值有一定的概率落在此范圍內(nèi)，此概率稱為置信概率。已經(jīng)知道：當(dāng)時(shí)，置信概率為68.3%；時(shí)，置信概率接近100%。前者稱為標(biāo)準(zhǔn)不確定度，后者稱為極限不確定度。今后提到不確定度，凡未經(jīng)說明，均為

11、標(biāo)準(zhǔn)不確定度。不確定度是在誤差的理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。誤差常用于定性描述理論和概念的場合，不確定度則在需要給出具體數(shù)值和進(jìn)行定量運(yùn)算分析的場合；不確定度可以通過計(jì)算或評定而得到，其值永遠(yuǎn)為正，而誤差一般是無法計(jì)算的，可正可負(fù)。不確定度從估計(jì)方法上可以分為兩類：A類不確定度和B類不確定度。以下我們采用更為通用的記號來作說明：l ：A類不確定度。這是符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，利用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出的分量： （4-2）l ：B類不確定度。這是用統(tǒng)計(jì)方法之外的其他方法估計(jì)出的分量，這些分量常與存在于測量的各個(gè)環(huán)節(jié)中的系統(tǒng)誤差對應(yīng)，是不確定度估計(jì)的難點(diǎn)。在本課程中，直接取B類不確定度等于儀器誤差。表1列出了由廠家提供的

12、一些常用實(shí)驗(yàn)儀器的儀器誤差值（又稱允差）。 表1儀器名稱量程最小分度值允差木尺（竹尺）30-50、60-100cm1mm1.0mm、1.5mm鋼板尺150、500、1000mm1mm0.10mm、0.15mm、0.20mm鋼卷尺1m、2m1mm0.8mm、1.2mm游標(biāo)卡尺125mm0.02mm0.02mm螺旋測微器25mm0.01mm0.004mm物理天平（7級）500g0.05g0.08g(滿量程)、0.06g（1/2量程）、0.04g（1/3量程及以下）分析天平（3級）200g0.1mg1.3mg(滿量程)、1.0mg（1/2量程）、0.7mg（1/3量程及以下）普通溫度計(jì)0°

13、C-100°C1°C1°C精密溫度計(jì)0°C-100°C0.1°C0.2°C指針式電表級別%滿量程數(shù)字表%讀數(shù) D表示讀數(shù)的最后一位，、視表以及功能確定電阻箱級別%讀數(shù)l （或簡稱）：合成不確定度： （4-3）注意在此式中，若一個(gè)分量為另一個(gè)的3倍以上，則可以將小的一個(gè)分量忽略不計(jì)。至此，前述測量結(jié)果的正確表達(dá)式（4-1）應(yīng)為： （4-4）前已提到，一個(gè)物理量測量值的表述應(yīng)該包括數(shù)值和單位。我們將在后面討論有效數(shù)字時(shí)，再對（4-4）式作出更為詳盡的描述。l 單次直接測量的不確定度估計(jì)在實(shí)際測量中，常有只作單次測量的情形。注意此

14、時(shí)的測量結(jié)果同樣須要寫為式（4-1）的形式：。這里一般用極限不確定度表示。具體的取值有多種方法：直接采用儀器出廠時(shí)的允差（表1）；未知允差時(shí)，可取為儀器可估讀位的1/2-1/10；對于不可估讀的儀器，可直接取最后一位；數(shù)字式儀表，則取為最低一位的值。l 多次直接測量的不確定度計(jì)算可用公式（4-2）、（4-3）來計(jì)算多次直接測量結(jié)果的不確定度。舉例如下：例4-1：用測微螺旋測量鋼珠的直徑，對鋼球作五次測量，測得的數(shù)字為：次數(shù)12345D（mm）11.93211.91311.92111.91411.930由式（3-4），直徑D的算術(shù)平均值為：由式（4-2），A類不確定度： B類不確定度：B類不確定

15、度主要是儀器誤差，從表1查得螺旋測微器的儀器誤差（允差）為由式（4-3），合成不確定度：由式（4-4），測量結(jié)果： （*）l 間接測量的不確定度計(jì)算現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的間接測量，間接測量的結(jié)果由直接測量結(jié)果通過數(shù)學(xué)計(jì)算得到，當(dāng)然也就存在不確定度。設(shè)間接測量的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 式中為間接測量結(jié)果，為互相獨(dú)立的直接測量結(jié)果。的不確定度（分別示為）必然要影響到間接測量結(jié)果，而且各分量對的不確定度的影響是不一致的。從數(shù)學(xué)上可以證明，這種影響可以表達(dá)為函數(shù)對分量的偏微分。因此間接測量的不確定度計(jì)算公式與數(shù)學(xué)分析中的全微分公式基本相同，不同之處是用不確定度來替代了。根據(jù)“方和根”合成的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，常用下列兩式來

16、計(jì)算間接測量的結(jié)果的不確定度： （4-5） （4-6）（4-6）式中，為間接測量的最佳值（算術(shù)平均值），由直接測量的最佳值代入函數(shù)關(guān)系得到；稱為間接測量的相對不確定度。式（4-5）適用于為和差形式的函數(shù)，式（4-6）適用于積商形式的函數(shù)，即先求出相對不確定度，以及間接測量的最佳值，這樣可在一定程度上簡化運(yùn)算。表2為一些常用函數(shù)的不確定度表達(dá)式。 表2函數(shù)表達(dá)式標(biāo)準(zhǔn)不確定度表達(dá)式 或說明：上表中部分函數(shù)的不確定度表達(dá)式是以相對不確定度的形式給出的，即表示對這些函數(shù)先求，可以簡化計(jì)算過程和最終表達(dá)式，（參見式（4-6）例4-2：測得金屬管的內(nèi)徑，外徑，高度。求金屬管的體積解：環(huán)的體積公式： 體積的

17、算術(shù)平均值：我們用兩種方法來求的不確定度。由已知條件可知：n 直接求不確定度：先求對各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)：， ， 由式（4-5）：代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)： n 先求相對不確定度，再求不確定度：對求對數(shù)：求各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù)： ， ， 由式（4-6）：代入各項(xiàng)數(shù)據(jù)： 可得： 可見兩種方法測得的體積的不確定度一致。所以： （*）l 復(fù)現(xiàn)性測量的不確定度在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的大多數(shù)測量，都屬于上邊討論的等精度測量。而改變測量條件，如：用不同的儀器、不同的測量方法、不同的測量次數(shù)等等進(jìn)行不等精度的復(fù)現(xiàn)性測量，一般是為了獲得更加精確的測量結(jié)果、探索優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方法，多用在科研或高精度測量中。但在我們的課程中，有時(shí)也會用到復(fù)現(xiàn)性

18、測量，特舉例說明如下。用伏安法測電阻。我們自然可以固定電壓不變，用等精度的方法多次測量、的值， 分別算出電壓、電流的平均值和不確定度，最后作間接測量確定電阻。但是在此種測量中，因?yàn)殡妷?、電流的測值都不改變而只有隨機(jī)波動，這樣的測量值在該區(qū)段的誤差的大小和方向都無法估計(jì)，也就無法修正，這就構(gòu)成所謂未定系統(tǒng)誤差。上述不確定度的計(jì)算方法也不再適用。改用復(fù)現(xiàn)性測量，就是主動改變電壓，分別測得多組不同的、值，首先計(jì)算出對應(yīng)的值；由于在實(shí)驗(yàn)過程中電阻是同一個(gè)不變的物理量，我們就可以由各值，求得的平均值和A類不確定度（這種情況不考慮B類不確定度）。例4-3：用伏安法測電阻，得到以下4組數(shù)據(jù)。求測量結(jié)果：次數(shù)

19、12341.502.002.503.000.1560.1980.2440.311先計(jì)算每組測量值所對應(yīng)的： ， ， 再求的算術(shù)平均值： A類不確定度： 測量結(jié)果： （*）（*）注意，在結(jié)果中關(guān)于算術(shù)平均值、不確定度的數(shù)字位數(shù)以及彼此間的關(guān)系等處理規(guī)定，將在后續(xù)“數(shù)據(jù)處理”中討論五、 數(shù)據(jù)處理常常容易認(rèn)為，數(shù)據(jù)處理就是在做完實(shí)驗(yàn)以后算個(gè)數(shù)、作個(gè)圖、計(jì)算一下誤差。而實(shí)際上，實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理所涉及到更多的問題，貫穿在物理實(shí)驗(yàn)的全過程之中。在開始實(shí)驗(yàn)之前，應(yīng)該根據(jù)對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度要求，選擇實(shí)驗(yàn)方案和方法，考慮環(huán)境條件的要求、儀器精度的選用；進(jìn)一步還應(yīng)該分析每個(gè)因素，對實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能造成的影響以及需要作出的

20、修正；還須要調(diào)整各個(gè)測量量的誤差分配以得到最佳的儀器搭配和測量方案。等等。實(shí)際上，這就是一次以設(shè)計(jì)值或者估計(jì)值進(jìn)行的先期的數(shù)據(jù)計(jì)算和處理。在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行當(dāng)中，應(yīng)該在儀器調(diào)節(jié)以及實(shí)驗(yàn)條件的保證方面作最佳選擇，既不會太粗略而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精度，操作上又不作過分的苛求而降低效率。比如，測量單擺周期時(shí)，擺角應(yīng)不大于多少？怎樣選擇電橋橋臂可以使電橋達(dá)到較高的靈敏度？另外，還須要隨時(shí)分析和判斷測得的數(shù)據(jù)是否合理？這些都涉及到數(shù)據(jù)的分析計(jì)算。至于實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，除了要對數(shù)據(jù)處理得出結(jié)果、給出誤差范圍；還應(yīng)該從數(shù)據(jù)分析中去發(fā)現(xiàn)誤差及其規(guī)律性，再反過來去調(diào)整實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)和安排。通過數(shù)據(jù)處理，還可以探索各物理量之間的關(guān)系，

21、尋找反映這些關(guān)系規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式。以上所述，雖然是一種嚴(yán)格的大規(guī)模的高精度的實(shí)驗(yàn)過程，在大學(xué)物理的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中涉及不多，但我們在任何一個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中，都應(yīng)該努力有意識地關(guān)注和思考這些方面的問題，通過對數(shù)據(jù)處理能力的訓(xùn)練，來提高自己實(shí)驗(yàn)的動手能力、處理和分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果的能力，以及在實(shí)驗(yàn)中的觀察、思考能力等等。下面，介紹一些最基本的數(shù)據(jù)處理規(guī)則和方法。l 有效數(shù)字：以下是有效數(shù)字及其運(yùn)算的一些規(guī)定。n 0的處理：判定0在一個(gè)數(shù)字中是否為有效數(shù)字從左往右看，以第一個(gè)非0數(shù)為準(zhǔn)，其左邊的0不是有效數(shù)字，其右邊的0是有效數(shù)字。比如：0.0036為2位有效數(shù)字；0.03060為4位有效數(shù)字。n 測量結(jié)果中有效數(shù)字

22、的確定：分為兩種情況：已知（或求得）不確定度，測量結(jié)果的有效數(shù)字由不確定度決定結(jié)果的最末位必須與不確定度的位數(shù)對齊：比如測量（包括直接和間接測量）的近真值（算術(shù)平均值）為1.3579，不確定度為0.01。此結(jié)果表示測量值在百分位已經(jīng)有了0.01的誤差，因此測量結(jié)果的正確表示應(yīng)該為：1.360.01，因而有效數(shù)字為3位。從此意義上 ，可以說不確定度是對有效數(shù)字中最后一位數(shù)字的不確定程度的定量描述。不確定度未知時(shí)，直接測量量的有效數(shù)字取決于量具的最小分度。比如：用最小分度為1mm的米尺測量長度值記錄為24.5mm，共3位有效數(shù)字，其中24為準(zhǔn)確數(shù)字，而5是在最小分度（mm）位之后的估計(jì)值，屬于可疑

23、數(shù)字。即有效數(shù)字由準(zhǔn)確數(shù)字加上1位可疑數(shù)字組成；準(zhǔn)確數(shù)字的位數(shù)由量具的最小分度值確定。對于間接測量量，有效數(shù)字的位數(shù)由參與運(yùn)算的各個(gè)直接測量量的有效數(shù)字以及運(yùn)算方式確定：加減運(yùn)算：以各直接測量量位數(shù)最高者為準(zhǔn)。比如：32.1+0.13+1=33乘除運(yùn)算：以各直接測量量位數(shù)最少者為準(zhǔn)。比如：=5乘方運(yùn)算：以底數(shù)位數(shù)為準(zhǔn)。* 在運(yùn)算中要注意區(qū)分參與運(yùn)算的各量是物理量還是數(shù)學(xué)量？上述規(guī)定均針對物理量而言。如果是數(shù)學(xué)量如常數(shù)、無理數(shù)、公式的參數(shù)，視為有無窮多位有效數(shù)字，不影響最終結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。數(shù)據(jù)的單位換算不影響有效數(shù)字位數(shù)。特別要注意從較大的單位換算為小的單位時(shí)容易寫錯(cuò)。比如：有2位有效數(shù)字的

24、某結(jié)果 3.5m換算為以mm為單位時(shí)記成：，是錯(cuò)誤的；為此應(yīng)采用科學(xué)記數(shù)法：n 在按照有效數(shù)字的上述規(guī)定作處理時(shí)需要用到的數(shù)字修約原則：為簡化運(yùn)算，中間運(yùn)算的有效數(shù)字可比結(jié)果多取1位；最終結(jié)果作修約時(shí)，用“4舍6入5保證最末位為偶”的原則處理。比如1.456、1.350兩個(gè)結(jié)果，修約到2位有效數(shù)字時(shí)同為：1.4。十分位以后的取舍，前者因十分位是偶數(shù)而舍去；后者十分位為奇數(shù)，故百分位的5向前入1。n 測量結(jié)果的正確表示：前述（4-1）、（4-4）以及各（*）式都涉及到測量結(jié)果的表示方法，討論了有效數(shù)字的各項(xiàng)規(guī)定后，現(xiàn)在可以把它們完整地歸納如下：a. 式中近真值（算術(shù)平均值）、不確定度、物理量的單

25、位三者缺一不可；b. 式中的不確定度的位數(shù)，按我國國家技術(shù)規(guī)范，最多取2位有效數(shù)字，本課程只取1位有效數(shù)字；c. 式中近真值（算術(shù)平均值）的最低位必須與不確定度的最低位對齊。例5-1：對某物體體積作測量，得體積的近真值為，不確定度為。按照國家標(biāo)準(zhǔn)正確地寫出結(jié)果。應(yīng)為： l 列表法在記錄和處理數(shù)據(jù)時(shí)，把數(shù)據(jù)列成表格，可以簡單而清晰地表示出物理量之間的關(guān)系，便于隨時(shí)檢查結(jié)果和運(yùn)算是否合理，提高效率、減少錯(cuò)誤。列表的主要要求包括：a. 簡單明了，能夠反映出相關(guān)量的關(guān)系；b. 表中所采用的符號所代表的物理量要明確，否則必須在標(biāo)題欄中交代清楚；c. 在標(biāo)題欄中寫明各物理量采用的單位；d. 表中數(shù)據(jù)要能正

26、確反映測量結(jié)果和儀器精度的有效數(shù)字，所列同類數(shù)據(jù)的有效數(shù)字應(yīng)該統(tǒng)一；e. 記錄表格一般應(yīng)該有序號；在表外還應(yīng)該有表的標(biāo)題和必要的說明。l 作圖法用作圖法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是常用的數(shù)據(jù)處理方法。通過它往往可以直觀地研究相關(guān)物理量的關(guān)系，便于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)；從圖上可以由斜率、截距、用內(nèi)插、疊加、相減、求極值、等方法來尋找或者求出某些物理量的數(shù)值；通過作圖法，還可以發(fā)現(xiàn)誤差，發(fā)現(xiàn)測量數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤，找到減小誤差的方法等。作圖法的要求包括：n 正規(guī)的圖形必須采用坐標(biāo)紙作圖；n 根據(jù)測量結(jié)果的有效數(shù)字的多少來確定圖形和用紙的大??；n 各坐標(biāo)軸要明確地標(biāo)明所代表的物理量，并注明采用的單位；n 坐標(biāo)原點(diǎn)可以不在圖紙上，坐

27、標(biāo)軸的分度大小和起始值要根據(jù)數(shù)據(jù)和結(jié)果所需要的精度作合理選定，使畫出的圖形能夠充分地反映物理量有較大變化的區(qū)段，還要注意圖形不偏在圖紙的一角；n 各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)一般可用“”標(biāo)注，當(dāng)有多組數(shù)據(jù)在同一圖形存在時(shí)，必須用不同的符號區(qū)分；n 由圖上的各數(shù)據(jù)點(diǎn)作曲線時(shí)，要用直尺或者曲線尺連接。當(dāng)需要連接為光滑曲線時(shí)，曲線一般并不通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而應(yīng)該是數(shù)據(jù)點(diǎn)在曲線兩側(cè)合理的分布。直線是圖形中最簡單的曲線，用線性圖形來反映物理量，變化規(guī)律最容易找尋和描述，因此在數(shù)據(jù)處理時(shí)常常希望把圖形線性化。通過一些簡單的數(shù)學(xué)變換和改變圖形坐標(biāo)軸所代表的物理量，經(jīng)?？梢赃_(dá)到目的。比如：例5-2：在等溫過程中氣體壓強(qiáng)與體積的

28、關(guān)系： ，是一條雙曲線。但改作-圖，就成為一條直線，可以很直觀的反映出相互關(guān)系。例5-3：研究弦線振動時(shí)，橫波的波長和張力，有，取對數(shù)可得：。當(dāng)頻率、線密度不變時(shí)，則-之間為線性關(guān)系，這時(shí)采用雙對數(shù)坐標(biāo)紙作圖，就可以很方便地獲得線性圖。例5-3：電流衰減曲線一般可表示為指數(shù)關(guān)系：。通過取對數(shù)，可得： 。再作-則變成了一條直線。采用單對數(shù)坐標(biāo)紙可以很方便地作圖。l 回歸法根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求得經(jīng)驗(yàn)方程，表述物理量之間的規(guī)律，稱為方程的回歸。一元線性回歸即最小二乘法是最簡單的回歸方法?？紤]以下例子：實(shí)驗(yàn)測得一個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度和時(shí)間的一組數(shù)據(jù)： 從現(xiàn)象的觀察和對數(shù)據(jù)的分析，該過程是一個(gè)勻變速運(yùn)動。圖5-1

29、 (5-1) 其斜率就是待測的加速度，截距是待測的初速度。現(xiàn)在的問題是，怎樣對直線給出確切的解析方程和一個(gè)判斷準(zhǔn)則？用作圖法參考測點(diǎn)畫出一條直線，作直線的準(zhǔn)則為：使測點(diǎn)、均勻分布在直線兩側(cè)，如圖5-1。這條-直線可描述為： 按照最小二乘法，常用的準(zhǔn)則為：使圖中各測點(diǎn)沿垂直于軸的方向到該直線的距離的平方和最小。各測量點(diǎn)在圖上到軸的垂直距離分別為： ，所以各測點(diǎn)沿垂直于軸的方向到直線的距離的平方和為： 式中：，（5-2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論，當(dāng)、滿足： 時(shí)，最小。這樣，我們就求得了描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的直線方程式（5-1），也就是反映-之間規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)方程。至于用線性方程來描述、（即的關(guān)系是否合適？可以由相關(guān)系數(shù)來衡量。它是用來描述變量線性關(guān)系的密切程度的： （5-3）,的數(shù)值越大，線性關(guān)系越密切；，完全不相干；，則全部測點(diǎn)（）（）都在同一條直線上?！拘〗Y(jié)】數(shù)據(jù)處理是實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容和步驟，狹義的數(shù)據(jù)處理包括