導(dǎo)數(shù)與分類討論

1、導(dǎo)數(shù)與分類討論1.已知函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性.2.已知函數(shù)，（I）求的單調(diào)區(qū)間；（II）求在區(qū)間上的最小值.3.已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）設(shè)，證明：對(duì)任意，.【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)考察函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)數(shù)求導(dǎo)時(shí)定義域.第二問(wèn)構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性【解析】() f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)1a0時(shí)，令0,解得x=.當(dāng)x(0, )時(shí), 0；x(，+)時(shí)，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所

2、以等價(jià)于,即 令,則+4.于是0.從而在（0，+）單調(diào)減少，故，故對(duì)任意x1,x2(0,+) ，.4.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a>1()討論f(x)的單調(diào)性; ()若當(dāng)x0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍. 【解題思路】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問(wèn)關(guān)鍵是通過(guò)分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問(wèn)是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式恒成立條件從而求出的范圍.【解析】（I） 由知，當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間是增函數(shù). 綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù). （II）由（I）知，當(dāng)時(shí)，在或處

3、取得最小值. 由假設(shè)知 即解得 1<a<6故的取值范圍是（1，6）5. 已知函數(shù)，（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍分析：對(duì)于第(1)小題，求導(dǎo)后利用f '(x)0或0，解不等式即得單調(diào)區(qū)間；而(2)轉(zhuǎn)化為0在上恒成立即可解：（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，在上遞增當(dāng)，求得兩根為，即在遞增，遞減，遞增（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則兩根在區(qū)間外，即，解得a2，故取值范圍是2，)6.() 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.（）若對(duì)任意及任意，恒有 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：()函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)時(shí)，令得. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 無(wú)極大值.4分（）

4、5分 當(dāng)，即時(shí)， 在上是減函數(shù)； 當(dāng)，即時(shí)，令得或 令得 當(dāng)，即時(shí)，令得或 令得 7分 綜上，當(dāng)時(shí)，在定義域上是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞8分（）由（）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值. 10分而經(jīng)整理得 由得，所以 12分7.設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值8.已知（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。（2）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)，使，函數(shù)有最小值3？9.已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）若在上存在最大值和最小值，求的取值范圍解：（）當(dāng)時(shí)， 2分由 ， 得曲線在原點(diǎn)

5、處的切線方程是3分 （） 4分 當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 5分當(dāng)， 當(dāng)時(shí)，令，得，與的情況如下：故的單調(diào)減區(qū)間是，；單調(diào)增區(qū)間是 7分 當(dāng)時(shí)，與的情況如下： 所以的單調(diào)增區(qū)間是，；單調(diào)減區(qū)間是9分（）由（）得， 時(shí)不合題意 10分 當(dāng)時(shí)，由（）得，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在上存在最大值 設(shè)為的零點(diǎn)，易知，且從而時(shí)，；時(shí)，若在上存在最小值，必有，解得 所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是 12分 當(dāng)時(shí)，由（）得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以時(shí)，若在上存在最大值和最小值，的取值范圍是 綜上，的取值范圍是 14分10.已知函數(shù)（

6、）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)函數(shù)若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?1分（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即3分（）函數(shù)的定義域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減 4分（2）當(dāng)時(shí)，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為 7分（）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時(shí) 在上單調(diào)遞增 8分（）因?yàn)榇嬖谝粋€(gè)使得，則，等價(jià)于.9分令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”. 對(duì)求導(dǎo)，得. 10分因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增. 12分所以，因此. 13分另解：設(shè)，定義域?yàn)椋?依題意，至少存在一個(gè)，使得成立，等價(jià)于當(dāng) 時(shí)，. 9分（1）當(dāng)時(shí)，在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要，則不滿足題意. 10分（2）當(dāng)時(shí)，令得.（）當(dāng)，即時(shí)，在上，所以在上單調(diào)遞增