大學(xué)物理剛體力學(xué)習(xí)題答案

1、習(xí) 題 四4-1 一飛輪的半徑為2m，用一條一端系有重物的繩子繞在飛輪上，飛輪可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，飛輪與繩子無相對(duì)滑動(dòng)。當(dāng)重物下落時(shí)可使飛輪旋轉(zhuǎn)起來。若重物下落的距離由方程給出，其中。試求飛輪在t時(shí)刻的角速度和角加速度。解 設(shè)重物的加速度為，t時(shí)刻飛輪的角速度和角加速度分別為和，則因?yàn)轱w輪與繩子之間無相對(duì)滑動(dòng)，所以 則 由題意知 t=0時(shí)刻飛輪的角速度所以 4-2 一飛輪從靜止開始加速，在6s內(nèi)其角速度均勻地增加到200，然后以這個(gè)速度勻速旋轉(zhuǎn)一段時(shí)間，再予以制動(dòng)，其角速度均勻減小。又過了5s后，飛輪停止轉(zhuǎn)動(dòng)。若該飛輪總共轉(zhuǎn)了100轉(zhuǎn)，求共運(yùn)轉(zhuǎn)了多少時(shí)間?解 分三個(gè)階段進(jìn)行分析10 加速階段。由題

2、意知 和 得 20 勻速旋轉(zhuǎn)階段。 30 制動(dòng)階段。 由題意知 聯(lián)立得到 所以 因此轉(zhuǎn)動(dòng)的總時(shí)間 4-3 歷史上用旋轉(zhuǎn)齒輪法測(cè)量光速的原理如下：用一束光通過勻速旋轉(zhuǎn)的齒輪邊緣的齒孔A，到達(dá)遠(yuǎn)處的鏡面反射后又回到齒輪上。設(shè)齒輪的半徑為5cm，邊緣上的齒孔數(shù)為500個(gè)，齒輪的轉(zhuǎn)速，使反射光恰好通過與A相鄰的齒孔B。(1)若測(cè)得這時(shí)齒輪的角速度為600，齒輪到反射鏡的距離為500 m，那么測(cè)得的光速是多大?(2)齒輪邊緣上一點(diǎn)的線速度和加速度是多大?解 (1) 齒輪由A轉(zhuǎn)到B孔所需要的時(shí)間 所以光速 (2) 齒輪邊緣上一點(diǎn)的線速度 齒輪邊緣上一點(diǎn)的加速度 4-4 剛體上一點(diǎn)隨剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

3、。已知該點(diǎn)轉(zhuǎn)過的距離s與時(shí)間t的關(guān)系為 。求證它的切向加速度每經(jīng)過時(shí)間均勻增加。證明 該點(diǎn)的切向加速度 所以 因此，切向加速度每經(jīng)過時(shí)間均勻增加4-5 如圖所示的一塊均勻的長(zhǎng)方形薄板，邊長(zhǎng)分別為a、b。中心O取為原點(diǎn)，坐標(biāo)系如圖所示。設(shè)薄板的質(zhì)量為M，求證薄板對(duì)Ox軸、Oy軸和Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為解 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義 對(duì) 取圖示微元，有 同理可得 對(duì)于 4-6 一個(gè)半圓形薄板的質(zhì)量為m、半徑為R，當(dāng)它繞著它的直徑邊轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是多大?解 建立坐標(biāo)系，取圖示面積元 ，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義有4-7 一半圓形細(xì)棒，半徑為R，質(zhì)量為m，如圖所示。求細(xì)棒對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 建立圖示的坐標(biāo)系，取圖

4、示線元，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式有 4-8 試求質(zhì)量為m、半徑為R的空心球殼對(duì)直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 建立如圖所示的坐標(biāo)系，取一的球帶，它對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又 所以 此即空心球殼對(duì)直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。4-9 圖示為一阿特伍德機(jī)，一細(xì)而輕的繩索跨過一定滑輪，繩的兩端分別系有質(zhì)量為和的物體，且>。設(shè)定滑輪是質(zhì)量為M，半徑為r的圓盤，繩的質(zhì)量及軸處摩擦不計(jì)，繩子與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩的張力。解 物體及滑輪M受力如圖所示對(duì) (1)對(duì) (2)對(duì) (3)又 (4) (5) (6) (7)聯(lián)立（1）-（7）式，解得4-l0 絞車上裝有兩個(gè)連在一起的大小不同的鼓輪(如圖)，其質(zhì)量和半徑分別為m=

5、2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。兩鼓輪可看成是質(zhì)量均勻分布的圓盤，繩索質(zhì)量及軸承摩擦不計(jì)。當(dāng)繩端各受拉力=1 kg，=2kg時(shí)，求鼓輪的角加速度。解 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，取順時(shí)針方向?yàn)檎?(1) (2)聯(lián)立(1)，(2)式可得 4-11 質(zhì)量為M、半徑為R的轉(zhuǎn)盤，可繞鉛直軸無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)盤的初角速度為零。一個(gè)質(zhì)量為m的人，在轉(zhuǎn)盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對(duì)圓盤勻角速走動(dòng)，如果人在圓盤上走了一周回到了原位置，那么轉(zhuǎn)盤相對(duì)地面轉(zhuǎn)了多少角度?解一 取m和M組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)對(duì)固定的轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒。設(shè)人相對(duì)圓盤的速度為，圓盤的角速度為，設(shè)人轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，則 (1)而 (

6、2)聯(lián)立（1）、（2）式可得人在轉(zhuǎn)盤上走一周所用的時(shí)間轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)過的角度為 負(fù)號(hào)表示方向與正方向相反。解二由角動(dòng)量守恒定律可解（見上）又因?yàn)?所以代入即可4-12 如圖所示，一質(zhì)量為m的圓盤形工件套裝在一根可轉(zhuǎn)動(dòng)的軸上，它們的中心線相互重合。圓盤形工件的內(nèi)、外直徑分別為和。該工件在外力矩作用下獲得角速度，這時(shí)撤掉外力矩，工件在軸所受的阻力矩作用下最后停止轉(zhuǎn)動(dòng)，其間經(jīng)歷了時(shí)間t。試求軸處所受到的平均阻力f軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量略而不計(jì)，圓盤形工件繞其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。解 根據(jù)角動(dòng)量定理 聯(lián)立上述三式得到 4-13 一砂輪直徑為1m，質(zhì)量為50kg，以900的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，一工件以200 N的正壓力作用于輪子的邊

7、緣上，使砂輪在11.8s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。求砂輪與工件間的摩擦系數(shù)(砂輪軸的摩擦可忽略不計(jì)，砂輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中，m和R分別為砂輪的質(zhì)量和半徑)。解 根據(jù)角動(dòng)量定理， 聯(lián)立上述四式得到 4-14 以20的恒力矩作用于有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速由零增大到100。此時(shí)撤去該力矩，轉(zhuǎn)輪因摩擦力矩的作用，又經(jīng)100s而停止，試求轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 設(shè)轉(zhuǎn)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，摩擦力矩為，則根據(jù)角動(dòng)量定理考慮到本題力矩為常矢量，以外力矩方向?yàn)檎较?，?(1) (2)聯(lián)立(1)、(2)式可得 4-15 設(shè)流星從各個(gè)方向降落到某星球，使該星球表面均勻地積存了厚度為h的一層塵埃(h比該星球的半徑R小得

8、多)。試證明：由此而引起的該星球自轉(zhuǎn)周期的變化為原來的自轉(zhuǎn)周期的倍。式中R是星球的半徑，D和d分別為星球和塵埃的密度。解 取星球和塵埃為研究對(duì)象，在塵埃落向星球的過程中，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。設(shè)開始時(shí)星球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角動(dòng)量為，星球的自轉(zhuǎn)周期為；當(dāng)落上厚度為h的塵埃后，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，角速度為，自轉(zhuǎn)周期為，由角動(dòng)量守恒得：而 得到 設(shè)塵埃對(duì)自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則 而 因此 所以 又因?yàn)?h<<R 所以 因此 4-16 如圖所示的飛船以角速度繞其對(duì)稱軸自由旋轉(zhuǎn)，飛船的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若宇航員想停止這種轉(zhuǎn)動(dòng)，啟動(dòng)了兩個(gè)控制火箭。它們裝在距轉(zhuǎn)軸r1.5 m的地方。若控制火箭以=50的速率沿切向向外噴氣

9、，兩者總共的排氣率。試問這兩個(gè)切向火箭需要開動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間? 解 把飛船和噴出的氣體當(dāng)作研究系統(tǒng)。在噴氣過程中，dt時(shí)間內(nèi)噴出的氣體為dm，在整個(gè)過程中，噴出的氣體的總角動(dòng)量為 當(dāng)飛船停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的角動(dòng)量為零。 (也可由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒得)所以 所求的時(shí)間為 4-17 一沖床飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)速為，每次沖壓過程中，沖壓所需的能量完全由飛輪供給。若一次沖壓需要做功4000J，求沖壓后飛輪的轉(zhuǎn)速將減少至多少?解 設(shè)沖壓后飛輪的轉(zhuǎn)速為，由動(dòng)能定理得所以 4-18 擦地板機(jī)圓盤的直徑為D，以勻角速度旋轉(zhuǎn)，對(duì)地板的壓力為F，并假定地板所受的壓力是均勻的，圓盤與地板間的摩擦系數(shù)為，試求開動(dòng)擦地板機(jī)所需的功率(提示：先求圓盤上任一面元所受的摩擦力矩，而整個(gè)圓盤所受摩擦力矩與角速度的乘積即是摩擦力矩的功率)。解 在圓盤上取一細(xì)圓環(huán)，半徑r，寬度為dr，則其面積為此面積元受到的摩擦力為 所以此面元所受的摩擦力矩為 其方向與方向相反其大小 又因?yàn)楦髅嬖艿哪Σ亮胤较蛳嗤?，所以整個(gè)圓盤所受的摩擦力矩為所以所需要的功率 4-19 如圖所示，A、B兩飛輪的軸可由摩擦嚙合使之連結(jié)。輪A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，開始時(shí)輪B靜止，輪A以的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A與B連結(jié)，輪B得以加速，而輪A減速，直至兩輪的轉(zhuǎn)速都等于為止。求