大學物理剛體力學習題答案

1、習 題 四4-1 一飛輪的半徑為2m，用一條一端系有重物的繩子繞在飛輪上，飛輪可繞水平軸轉動，飛輪與繩子無相對滑動。當重物下落時可使飛輪旋轉起來。若重物下落的距離由方程給出，其中。試求飛輪在t時刻的角速度和角加速度。解 設重物的加速度為，t時刻飛輪的角速度和角加速度分別為和，則因為飛輪與繩子之間無相對滑動，所以 則 由題意知 t=0時刻飛輪的角速度所以 4-2 一飛輪從靜止開始加速，在6s內其角速度均勻地增加到200，然后以這個速度勻速旋轉一段時間，再予以制動，其角速度均勻減小。又過了5s后，飛輪停止轉動。若該飛輪總共轉了100轉，求共運轉了多少時間?解 分三個階段進行分析10 加速階段。由題

2、意知 和 得 20 勻速旋轉階段。 30 制動階段。 由題意知 聯立得到 所以 因此轉動的總時間 4-3 歷史上用旋轉齒輪法測量光速的原理如下：用一束光通過勻速旋轉的齒輪邊緣的齒孔A，到達遠處的鏡面反射后又回到齒輪上。設齒輪的半徑為5cm，邊緣上的齒孔數為500個，齒輪的轉速，使反射光恰好通過與A相鄰的齒孔B。(1)若測得這時齒輪的角速度為600，齒輪到反射鏡的距離為500 m，那么測得的光速是多大?(2)齒輪邊緣上一點的線速度和加速度是多大?解 (1) 齒輪由A轉到B孔所需要的時間 所以光速 (2) 齒輪邊緣上一點的線速度 齒輪邊緣上一點的加速度 4-4 剛體上一點隨剛體繞定軸轉動

3、。已知該點轉過的距離s與時間t的關系為 。求證它的切向加速度每經過時間均勻增加。證明 該點的切向加速度 所以 因此，切向加速度每經過時間均勻增加4-5 如圖所示的一塊均勻的長方形薄板，邊長分別為a、b。中心O取為原點，坐標系如圖所示。設薄板的質量為M，求證薄板對Ox軸、Oy軸和Oz軸的轉動慣量分別為解 根據轉動慣量的定義 對 取圖示微元，有 同理可得 對于 4-6 一個半圓形薄板的質量為m、半徑為R，當它繞著它的直徑邊轉動時，其轉動慣量是多大?解 建立坐標系，取圖示面積元 ，根據轉動慣量的定義有4-7 一半圓形細棒，半徑為R，質量為m，如圖所示。求細棒對軸的轉動慣量。解 建立圖示的坐標系，取圖

4、示線元，根據轉動慣量的定義式有 4-8 試求質量為m、半徑為R的空心球殼對直徑軸的轉動慣量。解 建立如圖所示的坐標系，取一的球帶，它對y軸的轉動慣量又 所以 此即空心球殼對直徑軸的轉動慣量。4-9 圖示為一阿特伍德機，一細而輕的繩索跨過一定滑輪，繩的兩端分別系有質量為和的物體，且>。設定滑輪是質量為M，半徑為r的圓盤，繩的質量及軸處摩擦不計，繩子與輪之間無相對滑動。試求物體的加速度和繩的張力。解 物體及滑輪M受力如圖所示對 (1)對 (2)對 (3)又 (4) (5) (6) (7)聯立（1）-（7）式，解得4-l0 絞車上裝有兩個連在一起的大小不同的鼓輪(如圖)，其質量和半徑分別為m=

5、2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。兩鼓輪可看成是質量均勻分布的圓盤，繩索質量及軸承摩擦不計。當繩端各受拉力=1 kg，=2kg時，求鼓輪的角加速度。解 根據轉動定律，取順時針方向為正 (1) (2)聯立(1)，(2)式可得 4-11 質量為M、半徑為R的轉盤，可繞鉛直軸無摩擦地轉動。轉盤的初角速度為零。一個質量為m的人，在轉盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周相對圓盤勻角速走動，如果人在圓盤上走了一周回到了原位置，那么轉盤相對地面轉了多少角度?解一 取m和M組成的系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)對固定的轉軸角動量守恒。設人相對圓盤的速度為，圓盤的角速度為，設人轉動方向為正方向，則 (1)而 (

6、2)聯立（1）、（2）式可得人在轉盤上走一周所用的時間轉盤轉過的角度為 負號表示方向與正方向相反。解二由角動量守恒定律可解（見上）又因為 所以代入即可4-12 如圖所示，一質量為m的圓盤形工件套裝在一根可轉動的軸上，它們的中心線相互重合。圓盤形工件的內、外直徑分別為和。該工件在外力矩作用下獲得角速度，這時撤掉外力矩，工件在軸所受的阻力矩作用下最后停止轉動，其間經歷了時間t。試求軸處所受到的平均阻力f軸的轉動慣量略而不計，圓盤形工件繞其中心軸的轉動慣量為。解 根據角動量定理 聯立上述三式得到 4-13 一砂輪直徑為1m，質量為50kg，以900的轉速轉動，一工件以200 N的正壓力作用于輪子的邊

7、緣上，使砂輪在11.8s內停止轉動。求砂輪與工件間的摩擦系數(砂輪軸的摩擦可忽略不計，砂輪繞軸的轉動慣量為，其中，m和R分別為砂輪的質量和半徑)。解 根據角動量定理， 聯立上述四式得到 4-14 以20的恒力矩作用于有固定軸的轉輪上，在10s內該輪的轉速由零增大到100。此時撤去該力矩，轉輪因摩擦力矩的作用，又經100s而停止，試求轉輪的轉動慣量。解 設轉輪的轉動慣量為J，摩擦力矩為，則根據角動量定理考慮到本題力矩為常矢量，以外力矩方向為正方向，有 (1) (2)聯立(1)、(2)式可得 4-15 設流星從各個方向降落到某星球，使該星球表面均勻地積存了厚度為h的一層塵埃(h比該星球的半徑R小得

8、多)。試證明：由此而引起的該星球自轉周期的變化為原來的自轉周期的倍。式中R是星球的半徑，D和d分別為星球和塵埃的密度。解 取星球和塵埃為研究對象，在塵埃落向星球的過程中，系統(tǒng)的角動量守恒。設開始時星球的轉動慣量為，角動量為，星球的自轉周期為；當落上厚度為h的塵埃后，轉動慣量為，角速度為，自轉周期為，由角動量守恒得：而 得到 設塵埃對自轉軸的轉動慣量為，則 而 因此 所以 又因為 h<<R 所以 因此 4-16 如圖所示的飛船以角速度繞其對稱軸自由旋轉，飛船的轉動慣量。若宇航員想停止這種轉動，啟動了兩個控制火箭。它們裝在距轉軸r1.5 m的地方。若控制火箭以=50的速率沿切向向外噴氣

9、，兩者總共的排氣率。試問這兩個切向火箭需要開動多長時間? 解 把飛船和噴出的氣體當作研究系統(tǒng)。在噴氣過程中，dt時間內噴出的氣體為dm，在整個過程中，噴出的氣體的總角動量為 當飛船停止轉動時，它的角動量為零。 (也可由系統(tǒng)角動量守恒得)所以 所求的時間為 4-17 一沖床飛輪的轉動慣量為，轉速為，每次沖壓過程中，沖壓所需的能量完全由飛輪供給。若一次沖壓需要做功4000J，求沖壓后飛輪的轉速將減少至多少?解 設沖壓后飛輪的轉速為，由動能定理得所以 4-18 擦地板機圓盤的直徑為D，以勻角速度旋轉，對地板的壓力為F，并假定地板所受的壓力是均勻的，圓盤與地板間的摩擦系數為，試求開動擦地板機所需的功率(提示：先求圓盤上任一面元所受的摩擦力矩，而整個圓盤所受摩擦力矩與角速度的乘積即是摩擦力矩的功率)。解 在圓盤上取一細圓環(huán)，半徑r，寬度為dr，則其面積為此面積元受到的摩擦力為 所以此面元所受的摩擦力矩為 其方向與方向相反其大小 又因為各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整個圓盤所受的摩擦力矩為所以所需要的功率 4-19 如圖所示，A、B兩飛輪的軸可由摩擦嚙合使之連結。輪A的轉動慣量，開始時輪B靜止，輪A以的轉速轉動，然后使A與B連結，輪B得以加速，而輪A減速，直至兩輪的轉速都等于為止。求