奧賽立體幾何中的截面問題學(xué)生

1、立體幾何的截面問題一主要知識：（1）【公理1】如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).意義作為判斷和證明是否在平面內(nèi)的依據(jù)；證明點(diǎn)在某平面內(nèi)的依據(jù)；檢驗(yàn)?zāi)趁媸欠衿矫娴囊罁?jù).（2）【公理2】如果兩個平面有一個公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線.意義作為判斷和證明兩平面是否相交；證明點(diǎn)在某直線上；證明三點(diǎn)共線；證明三線共點(diǎn).（3）【公理3】經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.推論經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個平面.推論經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.推論經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.意義公理及其推論

2、是空間里確定平面的依據(jù)，也是證明兩個平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法.（4）【公理4】平行于同一條直線的兩條直線互相平行（5）【等角定理】一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。推論兩條相交直線分別與另外兩條直線平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相2【主要題型】截面形狀的判斷 截面面積和周長的計(jì)算 截面圖形的計(jì)數(shù) 截面圖形的性質(zhì)和最值二預(yù)備練習(xí)1. 如圖,點(diǎn)確定的平面與點(diǎn)確定的平面相交于直線, 且直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),試作出面與面的交線2. 如圖, 分別是四面體的棱上的點(diǎn)，若直線與直線的交點(diǎn)為，直線與

3、直線的交點(diǎn)為，與相交于，證明三點(diǎn)共線3. 四面體中,分別為的中點(diǎn),在上, 在上,且有,求證：三線共點(diǎn)4. 平行六面體中, 平面，求證：三例題講解題型1。截面形狀判斷1（05年全國）如圖,分別是正方體的棱上的中點(diǎn),試作出過三點(diǎn)的截面是（ ）A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形變題：過棱長為2的正方體棱中點(diǎn)作一個與底面成.角的截面,則截面的圖形為 題型2。截面面積及周長的計(jì)算1. 過正方體的對角線的截面面積為S，Smax和Smin分別為S的最大值和最小值，則的值為 ( )ABC D2. 已知正四棱錐的棱長都等于，側(cè)棱的中點(diǎn)分別為和，若過三點(diǎn)的平面交側(cè)棱于，則四邊形的面積為_3. 如圖，正方體的三

4、條棱為,是體對角線。點(diǎn)分別在上，,那么，平面向各個方向延伸后與正方體的交線組成的多邊形面積是多少？4. 一平面與正方體表面的交線圍成的封閉圖形稱為正方體的“截面圖形”，棱長為1的正方體中，分別是,的中點(diǎn)，求過三點(diǎn)的截面圖形的周長。題型3。截面圖形的計(jì)數(shù)1.設(shè)四棱錐 的底面不是平行四邊形, 用平面去截此四棱錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面( )A. 不存在 B. 只有1個 C. 恰有4個 D. 有無數(shù)多個2.過正四面體的頂點(diǎn)做一個形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面成角，問這樣的截面可作幾個？題型4。截面圖形的性質(zhì)1水平桌面上放置著一個容積為的密閉的長方體玻璃容器,其中裝有的水

5、則下列說法中正確的是 把容器一端慢慢提起,使容器的一條棱保持在桌面上,這個過程中,水的形狀始終是柱體； 在中的運(yùn)動過程中,水面是矩形； 把容器提離桌面,隨意轉(zhuǎn)動,水面始終過長方體的一個定點(diǎn)； 在中水與容器的接觸面積始終不變2設(shè)O是正三棱錐P-ABC底面是三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則和式（ ）A有最大值而無最小值B有最小值而無最大值C既有最大值又有最小值，兩者不等D是一個與面QPS無關(guān)的常數(shù)3如圖，為正方體。任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為.則（ ）AS為定值，不為定值 BS不為

6、定值，為定值CS與均為定值 DS與均不為定值題型5。截面圖形的最值1. 如圖，在正方體中盛滿水，分別為、的中點(diǎn).若三個小孔分別位于三點(diǎn)處，則正方體中的水最多會剩下原體積的（ ）A、 B、 C、 D、2. 頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓的圓心，垂足為B，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐OHPC的體積最大時，OB的長是 （ ）A. B. C. D. 3. 如圖，四面體的各面都是銳角三角形，且，平面分別截棱于點(diǎn),求四邊形的周長最小值4. 在長方體中，。記過的截面的面積為，求的最小值，并指出此時截面的位置。三課外練習(xí)：1.正方體

7、的截平面不可能是： (1) 鈍角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五邊形 (5) 正六邊形；下述選項(xiàng)正確的是： ( )A. (1)(2)(5) B. (1)(2)(4) C. (2)(3)(4) D. (3)(4)(5) 2 (08年江西)如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部P圖1P圖2鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)（圖2） 有下列四個命題：A正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；B將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點(diǎn)；C任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)；D若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿其中真命題的代號是： （寫出所有真命題的代號）3.已知正四面體的棱長為2，求出所有與它的四個頂點(diǎn)距離相等的截面的面積之和。4.過正方體的對角線的截面面積為，記的最大值