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1、2007-2008學(xué)期高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬試卷班級(jí) 座號(hào) 姓名 一、 填空題:1. 命題“”的否定是 .2. 設(shè),則是成立的 充分不必要 條件(從“充要”,“充分不必要”,“必要不充分”,“既不充分也不必要”中選取) 3. 以橢圓內(nèi)的點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為 4. 設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若點(diǎn)在雙曲線上,且,則 5. 一圓形紙片的圓心為O,點(diǎn)Q是圓O外的一定點(diǎn),點(diǎn)A是圓周上一點(diǎn),把紙片折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合,然后抹平,折痕CD與直線OA交于P點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是 雙曲線 (從“圓”,“橢圓”,“雙曲線”,“拋物線”中選?。?. 已知雙曲線上一點(diǎn)M到右準(zhǔn)線的距離為10,為右焦點(diǎn),的
2、中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則的長(zhǎng)為 2或12; 7. 橢圓()的兩焦點(diǎn)分別為、,以為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊,則橢圓的離心率為 8. 如圖,若正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則點(diǎn)C到平面A1BD的距離為 9. 若函數(shù)則以及的大小關(guān)系是 10. 已知,若,則 3 11. 已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有,則的最小值為 2 .12. 已知曲線ycosx,其中x0,則該曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積等于 3 13. 若復(fù)數(shù)(aR,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為 614. 若zC且|z22i|1,則|z22i|的最小值等于 315. 設(shè)、為實(shí)數(shù),且,則+=_4_.16.
3、以下四個(gè)命題: x1是函數(shù)f (x)(x21)32的極值點(diǎn); 當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí),無(wú)限趨近于; ¬q是¬p的必要不充分條件,則p是q的充分不必要條件; 已知均為實(shí)數(shù),是的必要不充分條件其中真命題的序號(hào)為 (寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))二、解答題:17. 已知是二次函數(shù),方程有兩相等實(shí)根,且(1)求的解析式(2)求函數(shù)與函數(shù)所圍成的圖形的面積解:(1)設(shè) 得: -(2)由題 9 18. 某商品每件成本9元,售價(jià)為30元,每星期賣(mài)出432件,如果降低價(jià)格,銷(xiāo)售量可以增加,且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值(單位:元,)的平方成正比,已知商品單價(jià)降低2元時(shí),一星期多賣(mài)出24件(I
4、)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成的函數(shù);(II)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大?解:()設(shè)商品降價(jià)元,則多賣(mài)的商品數(shù)為,若記商品在一個(gè)星期的獲利為,則依題意有, 又由已知條件,于是有,所以()根據(jù)(),我們有 21200減極小增極大減故時(shí),達(dá)到極大值因?yàn)椋远▋r(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大 19. 設(shè)p:方程表示雙曲線;q:函數(shù)在R上有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各一個(gè)求使“p且q”為真命題的實(shí)數(shù)m的取值范圍解:方程表示雙曲線, ,即或。 函數(shù)在R上有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各一個(gè), 有兩個(gè)不同的解,即0。 由0,得m1或m4。又當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,分
5、別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn) 要使“p且q”為真命題,則p,q都是真命題, 的取值范圍為20. 如圖,已知ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD. (1)求二面角A-PB-D的大小; (2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E,使PC平面ADE?若存在,確定E點(diǎn)的位置,若不存在,說(shuō)明理由.解:(1)以向量為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系. 聯(lián)結(jié)AC,交BD于點(diǎn)O,取PA中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)DG.ABCD是正方形,ACDB. 又PD平面ABCD,AC平面ABCD, ACPD, AC平面PBD. PD平面ABCD,ABAD,PAAB. AB平面PAD. PD=AD,G為PA中點(diǎn), GD平面PAB. 故向量分別
6、是平面PBD與平面PAB的法向量. 令PD=AD=2,則A(2,0,0),C(0,2,0),=(-2,2,0). P(0,0,2),A(2,0,0), G(1,0,1),=(1,0,1). 向量的夾角余弦為, ,二面角A-PB-D的大小為. (2) PD平面ABCD,ADCD,ADPC. 設(shè)E是線段PB上的一點(diǎn),令. (-2,0,2),(2,2,-2),(0,2,-2). . 令2(-)=0,得.當(dāng),即點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時(shí),有AEPC.又PD平面ABCD,ADCD,ADPC. 當(dāng)點(diǎn)E是線段PB中點(diǎn)時(shí),有PC平面ADE. 21. 如圖,ADB為半圓,AB為半圓直徑,O為半圓圓心,且ODAB,Q為
7、線段OD的中點(diǎn),已知 ,曲線C過(guò)Q點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng),且保持的值不變(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線C的方程;(2)過(guò)D的直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N, 求的面積的最大值解:(1)以O(shè)為原點(diǎn),直徑AB所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系xOy , 設(shè)P(x,y)是曲線C上的任意一點(diǎn),由 曲線C是以A、B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,則曲線C的方程為 (2)當(dāng)過(guò)D的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=0,與曲線C交于(0,1)(0,-1),則 設(shè)直線的斜率為k,直線方程為與曲線C交于M (x1 , y1),N (x2 , y2) 由 消去y可得, 則 得 由則 又原點(diǎn)O(0,0)到直線的距離 令,則,當(dāng)此時(shí), 22. 已知函數(shù)上為增函數(shù). (1)求k的取值范圍; (2)若函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解:(1)由題意 , 因?yàn)樯蠟樵龊瘮?shù),所以上恒成立, 即,故 所以k的取值范圍為k1 (2)
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