實數(shù)大小比較的常用方法

1、實數(shù)大小比較的常用方法【初二數(shù)學】添加時間：2012年11月23日 瀏覽：53次頓悟教育數(shù)學培優(yōu)訓練營 來自：頓悟教育網(wǎng)實數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學競賽中的常見題型，不少同學感到困難?！皩崝?shù)”是初中數(shù)學的重要內容之一，也是學好其他知識的基礎。為幫助同學們掌握好這部分知識，本講介紹幾種比較實數(shù)大小的常用方法。一【差值比較法】 差值比較法的基本思路是設a，b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當ab0時，得到ab。當ab0時，得到ab。當ab0，得到a=b。例1：（1）比較與的大小。 （2）比較1與1的大小。解 0 ， 。解 （1）（1）=0 ， 11。二【商值比較法】 商值比較法的基本思路是設

2、a，b為任意兩個正實數(shù)，先求出a與b得商。當1時，ab；當1時，ab；當=1時，a=b。來比較a與b的大小。例2：比較與的大小。解：÷=1 三【倒數(shù)法】 倒數(shù)法的基本思路是設a，b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)當時，ab。來比較a與b的大小。例3：比較與的大小。解=+ ， =+又+四【平方法 】 平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a0，b0時，可由得到ab來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例5：比較與的大小解：， =8+2。又8+28+2 。五【估算法】估算法的基本是思路是設a，b為任意兩個正實數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值

3、范圍，再進行比較。例4：比較與的大小解：34 31 六【移動因式法】（穿墻術）移動因式法的基本是思路是，當a0，b0，若要比較形如a的大小，可先把根號外的因數(shù)a與c平方后移入根號內，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。例6：比較2與3的大小解：2=，3=。又2827， 23。七【取特值驗證法】比較兩個實數(shù)的大小，有時取特殊值會更簡單。例7：當時，的大小順序是_。解：（特殊值法）取=，則：=，=2。2，。例（常德市）設a20，b(3)2，c，d，則a、b、c、d按由小到大的順序排列正確的是（）A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad分析可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小

4、.解因為a201，b(3)29，c，d2，而129，所以cadb.故應選A.除以上七種方法外，還有利用數(shù)軸上的點，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；以及絕對值比較法等比較實數(shù)大小的方法。對于不同的問題要靈活用簡便合理的方法來解題。能快速地取得令人滿意的結果。比較實數(shù)大小的八種方法張德軍生活中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：比較一個企業(yè)不同季度的產(chǎn)值，國家去年與前年的國民生產(chǎn)總值等實際問題的大小，轉化成數(shù)學問題，就是比較兩個或多個實數(shù)的大小，比較實數(shù)大小的方法比較多，也比較靈活，現(xiàn)采擷幾種常用的方法供大家參考。一、法則法比較實數(shù)大小的法則是：正數(shù)都大于零，零大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)相比較，絕對值大的反而小。例1

5、 比較與的大小。析解：由于，且，所以。說明：利用法則比較實數(shù)的大小是最基本的方法，對于兩個負數(shù)的大小比較，可將它轉化成正數(shù)進行比較。二、平方法用平方法比較實數(shù)大小的依據(jù)是：對任意正實數(shù)a、b有：。例2 比較與的大小。析解：由于，而，所以。說明：本題也可以把外面的因數(shù)移到根號內，通過比較被開方數(shù)大小來比較原數(shù)的大小，目的是把含有根號的無理數(shù)的大小比較實數(shù)轉化成有理數(shù)進行比較。三、數(shù)形結合方法用數(shù)形結合法比較實數(shù)大小的理論依據(jù)是：在同一數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大。例3 若有理數(shù)a、b、c對應的點在數(shù)軸上的位置如圖1所示，試比較a、a、b、b、c、c的大小。析解：如圖2，利用相反

6、數(shù)及對稱性，先在數(shù)軸上把數(shù)a、a、b、b、c、c表示的點畫出來，容易得到結論：四、估算法用估算法比較實數(shù)的大小的基本思路是：對任意兩個正實數(shù)a、b，先估算出a、b兩數(shù)的取值范圍，再進行比較。例4 比較與的大小。析解：由于，故，所以五、倒數(shù)法用倒數(shù)法比較實數(shù)的大小的依據(jù)是：對任意正實數(shù)a、b有：例5 比較與的大小析解：因為，又因為，所以所以說明：對于兩個形如（，且k是常數(shù)）的實數(shù)，常采用倒數(shù)法來比較它們的大小。六、作差法用作差法比較實數(shù)的大小的依據(jù)是：對任意實數(shù)a、b有：例6 比較與的大小。析解：設，則所以七、作商法用作商法比較實數(shù)的大小的依據(jù)是：對任意正數(shù)a、b有：例7 比較與的大小。析解：設

7、，則即八、放縮法用放縮法比較實數(shù)的大小的基本思想方法是：把要比較的兩個數(shù)進行適當?shù)姆糯蠡蚩s小，使復雜的問題得以簡化，來達到比較兩個實數(shù)的大小的目的。例8 比較與198的大小。析解：由于所以取n2，3，410000代入上式，并將所得的不等式相加得：即所以兩個實數(shù)大小的比較，方法多種多樣，在實際操作時，根據(jù)要比較的數(shù)的特點來選擇適當?shù)姆椒ㄟM行比較，才能方便快捷地取得準確的結果。編輯本段1.數(shù)軸比較法數(shù)軸的基本性質：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應。 利用這條性質，將實數(shù)的大小關系轉化為點的位置關系。 設數(shù)軸的正方向指向右方，則數(shù)軸上右邊的點所表示的數(shù)比左邊的點所表示的數(shù)要大。 如圖，點A表示數(shù)a，點B表示

8、數(shù)b。因為點A在點B的右邊，所以數(shù)a大于數(shù)b，即a>b. 數(shù)軸編輯本段2.作差比較法若a-b>0，則a>b； 若a-b=0，則a=b； 若a-b<0，則a<b。 編輯本段3.作商比較法設b>0，有 若a/b>1，則a>b； 若a/b=1，則a=b； 若a/b<1，則a<b。 當b<0，a<0時：若a/b>1,則a<b；若a/b<1，則a>b 編輯本段4.倒數(shù)比較法若a>b>0，則1/a<1/b； 若a<b<0，則1/a>1/b； 若a<0<b，則1/a

9、<1/b。 比較實數(shù)大小的技巧周啟東任意兩個實數(shù)之間，都存在著“順序”關系，所以可以比較它們的大小。實數(shù)的大小比較是實數(shù)內容中常見的題型之一。要想解題時得心應手，就應掌握比較大小的若干技巧。實數(shù)的大小比較，一般采用以下幾種方法。一、比較被開方數(shù)法一般地，當a>0，b>0時，如果a>b，那么。也就是說，兩個正數(shù)，較大的正數(shù)的算術平方根也較大，其立方根也較大。反之也成立。例1、比較大小：（1）；（2）。解析：若要比較形如的兩數(shù)的大小，可先把根號外的因數(shù)a與c移入根號內，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。（1）因為，且，所以，因此，。（2）因為，且，所以，所以。因此，。二、添加根

10、號法若a>0，則。在比較一個有理數(shù)和一個無理數(shù)的大小時，常選用此式。例2、比較的大小。解析：因為，又因為，于是，即。三、乘方法（平方法或立方法）如果a>0，b>0，若，那么a>b；若 ，那么a>b。例3、比較大?。海?）；（2）。解析：（1）因為，而12<18，所以。（2）因為，而，所以。四、取近似值法（估算法）在比較兩個無理數(shù)的大小時，如果有計算器，可以先用計算器求出它們的近似值。不過取近似值時，要使它們的精確度相同。再通過比較它們的近似值的大小，從而確定它們的大小。如果沒有計算器，則可用估算法。先估算出兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進行比較。例4、比較

11、大?。海?）；（2）。解析：（1）因為所以。又因為，所以。（2）因為，所以，所以。五、作差法作差法的基本思路是，設a、b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的差。當時，得到a>b；當時，得到a<b；當時，得到a=b。例5、比較的大小。解析：因為，所以。六、作商法作商法的基本思路是，設a、b為任意兩個正實數(shù)，先求出a與b的商。當時，a<b；當時，a>b；當時，a=b。例6、比較的大小。解析：因為，所以。七、放縮法（中間值法）如果a<c，c<b，那么a<b。若通過放縮能夠確定兩個實數(shù)中的一個比某個數(shù)小，而另一個恰好比該數(shù)大時，可選用此法。例7、比較的大小。解析：因

12、為，所以。所以，即。八、不等式性質法例8、比較大?。?。解析：因為，所以，因此。九、特殊值法在解決含有字母的選擇題或填空題時，常?？梢圆捎锰厥庵捣?，這樣能夠比較快捷地得到答案。例9、已知x<y<0，設，則M、N、P、Q的大小關系是（ ）。A、M<Q<P<N B、M<P<Q<N C、Q<N<P<M D、N<Q<P<M解析：根據(jù)條件，不妨設，則M=4，N=1，。不難得到：N<Q<P<M。因此，應選D。十、數(shù)軸比較法數(shù)軸上的點與實數(shù)成一一對應的關系，數(shù)軸上的靠右邊的點表示的數(shù)大于靠左邊的點表示的數(shù)。例

13、10、已知a、b是實數(shù)，且。試比較a，b，a，b的大小關系。解析：因為，故可將a、b兩數(shù)在數(shù)軸上表示出來，如圖1。又因為a與與互為相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，a與,在數(shù)軸上可表示為圖2。所以的大小關系是。十一、法則比較法正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)。兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負數(shù)，絕對值大的數(shù)反而較小。例11、已知a、b是實數(shù)，且a<0<b，c0，試比較的大小。解析：因為a<0,b>0，則ab<0。又c0，則，所以，為負數(shù)。而b>0，所以，為正數(shù)。所以。十二、根式定義法該法適用于二次根式和三次根式的大小比較。例12、比較的大小。解析：根據(jù)平方

14、根的定義可知。所以，故。而。十三、倒數(shù)法倒數(shù)法的基本思路是，設a、b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)、，再根據(jù)當時，a<b，來比較a與b的大小。例13、設，則a、b、c的大小關系是（ ）。A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a解析：當幾個式子中的被開方數(shù)的差相等且式子中的運算符號相同時，可選用倒數(shù)法。首先，。因為，所以，則b>c。又因為，所以，則a>b。由此可得：a>b>c。故選A。十四、分子有理化法例14、比較的大小。解析：，。因為，故，所以。總之，具體使用什么方法來進行比較，應當根

15、據(jù)題目所給的實數(shù)的類型或形式靈活選用。實數(shù)大小的比較方法安徽省長豐縣錢集中學 楊明星在實數(shù)范圍內比較兩個數(shù)的大小，看起來比較簡單。但也有一些題目會讓大家比較棘手。我在多年的教育教學中發(fā)現(xiàn)，比較兩個實數(shù)的大小可用一些特殊的方法做起來比較容易。下面介紹幾種比較兩個實數(shù)大小的方法，供大家參考。一、求差法例1 ：比較與的大小。分析：由于本題的分母相同，所以只要比較1與-2的大小。解 1-（-2）=1-+2=3-0。（3=，）1-2， 。說明：若a、b為實數(shù)， a-b0則ab；a-b=0則a=b； a-b0則ab。以后做題時遇到同分母或同分子的問題時可用上面的方法。二、求商法 例2 ：有兩個數(shù)A= 、

16、B=比較A、B的大小。 分析：本題在不用計算器的前提下對于初中生來說并不容易。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)分子、分母都可以分解因數(shù)。分子含有公因數(shù)：111，分母含有公因數(shù)：1111。因此可采用兩數(shù)相除的方法，問題就迎刃而解了。解A÷B=÷=×=×=1， 1， AB 。說明：（有實數(shù)a、b且b0 , 當1時，ab. 1時，a=b.1時，ab.）以后我們做題遇到兩數(shù)相除時可以和1比較出大小，或約分后可以和1比較出大小時，可用這樣的方法。三、倒數(shù)法 例3：比較與的大小。分析：對于二次根式，我們可以很容易看出+。因此只要把二次根式的差轉化為和就可以了。解 。又，。說明：兩個

17、同分子分數(shù)比較大小，分母大的分數(shù)的值反而小。我們以后在解題時遇到求兩個二次根式差的此類問題時可用倒數(shù)的方法。四、平方法 例4：比較與的大小。分析：本題我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)題目中的被開方數(shù)存在這樣的規(guī)律：2+6=8，3+5=8.所以想到用平方來解決問題。解 =2+6=8+。=3+5=8+。，。說明：以后當我們遇到能通過平方使問題化繁為簡時，我們就采用上述方法。五、“相同”法例5：比較與的大小。分析：本題的兩個數(shù)都是冪的形式，只要把它們化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪就可以比較出大小了。解=，=。，。說明：做題時若遇到比較兩個冪的形式的數(shù)的大小時，就把它們化為同底數(shù)的冪或同指數(shù)的冪形式。六、中間值法例6

18、、比較與的大小。分析：本題出現(xiàn)一個平方根，一個立方根，初看并不容易解決。進一步觀察可以發(fā)現(xiàn)它們都和3存在一定的聯(lián)系。因為3=和3=。解,與又=3= 。說明：當我們遇到兩個數(shù)無法直接比較時，尋找一個與他們都有聯(lián)系的數(shù)，利用傳遞性來解決問題。七、規(guī)律法例7：比較與的大小。分析：當n3時；當n3時(n為正整數(shù))。解20093。八、拆項法例8：若A= ，B= 比較A、B的大小。分析：本題如果顯然不是很好的方法，也不易比較。但是我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)這4個分數(shù)都與1比較接近，因此可以把每個分數(shù)拆成兩個數(shù)的差。解 A=-=11=。B=-=11=。2009×20102008×2009。AB

19、。從以上幾例可以看出，實數(shù)的大小比較應根據(jù)題目的類型特點靈活運用。希望大家能夠從以上例題的學習中有所收獲。更希望大家在解題時能注意知識的積累。實數(shù)比較大小的基本方法與技巧發(fā)布者： 高元就 發(fā)布時間： 2011-7-18 11:30:06在現(xiàn)實生活與生產(chǎn)實際中，我們經(jīng)常會遇到比較兩個或幾個數(shù)的大小。怎樣比較實數(shù)與實數(shù)之間的大小呢?比較兩個實數(shù)的大小通常有以下幾種方法：一、求差法求差法設a，b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)“當a-b<0時，a<b；當a-b=0時，a=b；當a-b>0時，a>b.”來比較a與b的大小.例1.比較大?。?1)與；(2)1-與1-解：(

20、1) =<0, <. (2) (1- )-(1-)=->0, 1- >1-二、求商法求商法設a，b為任意正兩個實數(shù)，先求出a與b的商，再根據(jù)“當 <1時，a<b；當 =1時，a=b；當 >1時，a>b.”來比較a與b的大小.例2比較大?。?1)與；解：(1) ÷=-1<1， <.三、倒數(shù)法倒數(shù)法設a，b為任意兩個正實數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)，再根據(jù)“當 <時，a>b；當 >時，a<b.”來比較a與b的大小.例3比較與的大小. 解： =,=, 又 <, <, >. 四、估算法估算法設

21、a，b為任意兩個正實數(shù)，先估算出a, b兩數(shù)或兩數(shù)中某部份的取值范圍，再進行比較. 例4比較大?。?1)與 ；(2) +3與4解：(1)3< <4, -3<1, <. (2) -4< <-5, -1< +3<-2； 又-6< <-7, -2<4 <-3. +3>4.五、平方法平方法比較含有無理數(shù)的式子的大小時，先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)“在a0，b0時，可由a2b2得到ab”比較大小.也就是說，兩個正數(shù)比較大小時，如果一個數(shù)的平方比另一個數(shù)的平方大，則這個數(shù)大于另一個數(shù)。例5.比較與的大小.解：（）2=45

22、，（）2=75 , 又45<75, <. 六、移動因式法移動因式法當a>0, b>0時，若要比較形如與的兩數(shù)的大小，可先把根號外的正因數(shù)a與c平方后移入根號內，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進行比較。例6.比較與的大小.解： =， = , 又45<75, <.七、近似值法在比較含有無理數(shù)的兩個數(shù)的大小時，也可以先用計算器求出它們的近似值，不過取它們的近似值時，要保持精確度相同，再通過比較有理數(shù)的大小，即比較它們的近似值的大小，從而確定它們的大小。例7. 比較大?。?1)與；(2) 與；(3)與 -4.解：(1)3.142，3.162，< . (2)3.1416，

23、3.1629，< .(3)-0.4714， -4-0.6834，-0.4714>-0.6834, >-4.兩個實數(shù)的大小比較，形式有多種多樣，只要我們在實際操作時，有選擇性地靈活運用上述方法，一定能方便快捷地取得令人滿意的結果。實數(shù)比較大小的基本方法與技巧口訣法比較有理數(shù)大小 有理數(shù)大小的比較是我們中學階段必須掌握的知識點，方法比較多，七年級階段主要有以下幾種： 數(shù)軸顯示法、數(shù)性比較法、逐差法、同負絕對值法、倒數(shù)法、逐商法、湊整余數(shù)法、同母（子）法、賦值法、中間值法等。 可簡記為：比較數(shù)大小，數(shù)軸顯真招；正數(shù)比0大，負數(shù)比0?。灰部苫ハ鄿p，與0來比高；同負絕對值，值大數(shù)反小；同號放倒他，扶正反過來好；姓同來相除，與1來比較；分數(shù)接近整，湊余比較它；分母或子像，比較另一樣；代幾特殊值，初步能確定；還是判不了，就把中人找。 現(xiàn)針對上述幾種方法各舉一例，供同學們參考。 1、數(shù)軸顯示法（比較數(shù)大小，數(shù)軸顯真招） 例1：如圖，把0，a,b,-a,-b按順序由小到大排列 分析：互為相反數(shù)（非0）的兩點在原點異側到原點的距離相等。在數(shù)軸上畫出表示-a,-b的點，在數(shù)軸上從左到右，數(shù)由小到大。 答：-ba0-ab 2、數(shù)性比較法（正數(shù)比0大，