大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)題及答案

1、 第 5 章 大數(shù)定律與中心極限定理一、 填空題：1.設(shè)隨機(jī)變量，方差，則由切比雪夫不等式有 .2.設(shè)是n個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，對于，寫出所滿足的切彼雪夫不等式 ，并估計(jì) .3. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 而且有, , 令, 則對任意給定的, 由切比雪夫不等式直接可得 .解：切比雪夫不等式指出：如果隨機(jī)變量滿足：與都存在, 則對任意給定的, 有, 或者由于隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 而且有 所以4. 設(shè)隨機(jī)變量X滿足：, 則由切比雪夫不等式, 有. 解：切比雪夫不等式為：設(shè)隨機(jī)變量X滿足, 則對任意 的, 有由此得5、設(shè)隨機(jī)變量，則 .6、設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且服從參數(shù)為的泊

2、松分布，則 . 7、設(shè)表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，是事件A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則 .8. 設(shè)隨機(jī)變量, 服從二項(xiàng)分布, 其中, 那么, 對于任 一實(shí)數(shù)x, 有 0 .9. 設(shè)為隨機(jī)變量序列,為常數(shù), 則依概率收斂于是指 1 ,或 0 。10. 設(shè)供電站電網(wǎng)有100盞電燈, 夜晚每盞燈開燈的概率皆為0.8. 假設(shè)每盞燈開關(guān)是相 互獨(dú)立的, 若隨機(jī)變量X為100盞燈中開著的燈數(shù), 則由切比雪夫不等式估計(jì), X落 在75至85之間的概率不小于. 解：, 于是 二計(jì)算題：1、在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計(jì)，在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)在450

3、至550次之間的概率. 解：設(shè)表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則2、一通信系統(tǒng)擁有50臺(tái)相互獨(dú)立起作用的交換機(jī). 在系統(tǒng)運(yùn)行期間, 每臺(tái)交換機(jī)能清晰接受信號(hào)的概率為0.90. 系統(tǒng)正常工作時(shí), 要求能清晰接受信號(hào)的交換機(jī)至少45臺(tái). 求該通信系統(tǒng)能正常工作的概率.解：設(shè)X表示系統(tǒng)運(yùn)行期間能清晰接受信號(hào)的交換機(jī)臺(tái)數(shù), 則由此 P(通信系統(tǒng)能正常工作)3、某微機(jī)系統(tǒng)有120個(gè)終端, 每個(gè)終端有5%的時(shí)間在使用, 若各終端使用與否是相互獨(dú)立 的, 試求有不少于10個(gè)終端在使用的概率. 解：某時(shí)刻所使用的終端數(shù)7由棣莫弗拉普拉斯定理知4、某校共有4900個(gè)學(xué)生, 已知每天晚上每個(gè)學(xué)生到閱覽室

4、去學(xué)習(xí)的概率為0.1, 問閱覽室 要準(zhǔn)備多少個(gè)座位, 才能以99%的概率保證每個(gè)去閱覽室的學(xué)生都有座位.解：設(shè)去閱覽室學(xué)習(xí)的人數(shù)為, 要準(zhǔn)備k個(gè)座位.查分布表可得 要準(zhǔn)備539個(gè)座位,才能以99%的概率保證每個(gè)去閱覽室學(xué)習(xí)的學(xué)生都有座位.5隨機(jī)地?cái)S六顆骰子 ，試?yán)们斜妊┓虿坏仁焦烙?jì)：六顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)總和不小于9且不超過33點(diǎn)的概率。 解：設(shè) h表 示 六 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) 總 和。 xi，表 示 第 i 顆 骰 子 出 現(xiàn) 的 點(diǎn) 數(shù) ，i = 1，2，6 x1， x2， ，x6 相 互 獨(dú) 立 ， 顯 然 6. 設(shè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且均服從指數(shù)分布 為 使 ， 問： 的最

5、小值應(yīng)如何 ？解: 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 即 , 從 而 n ³ 2000 ， 故 n 的 最 小 值 是 2000 7抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個(gè)，則拒絕接受這批產(chǎn)品，設(shè)某批產(chǎn)品次品率為10%，問至少應(yīng)抽取多少個(gè)產(chǎn)品檢查才能保證拒絕接受該產(chǎn)品的概率達(dá)到0.9?解： 設(shè)n為至少應(yīng)取的產(chǎn)品數(shù)，是其中的次品數(shù)，則，而所以由中心極限定理知，當(dāng)n充分大時(shí)，有， 由查表得 8(1)一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為0.1，又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必需要有85個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠程度(即正常運(yùn)行的概率)；(2)上述系統(tǒng)假

6、設(shè)有n個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使系統(tǒng)正常運(yùn)行，問n至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠程度為0.95?解：(1)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則，由中心極限定理可知(2)設(shè)表示正常工作的元件數(shù)，則 9一部件包括10部分，每部分的長度是一隨機(jī)變量，相互獨(dú)立且具有同一分布，其數(shù)學(xué)期望為2 mm ，均方差為0.05 mm，規(guī)定總長度為20 ± 0.1 mm 時(shí)產(chǎn)品合格，試求產(chǎn)品合格的概率。已 知 ：( 0.6 ) = 0.7257；( 0.63 ) = 0.7357。解：設(shè) 每 個(gè) 部 分 的 長 度 為 Xi ( i = 1, 2, , 10 ) E ( Xi )

7、= 2 = m, D( Xi ) = s2 = ( 0.05 ) 2 ,依題意 ，得合格品的概率為 10計(jì)算機(jī)在進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，把每個(gè)加數(shù)取為最接近它的整數(shù)來計(jì)算，設(shè)所有取整誤差是相 互獨(dú)立的隨機(jī)變量，并且都在區(qū)間0.5，0.5 上服從均勻分布，求1200個(gè)數(shù)相加時(shí)誤 差總和的絕對值小于10的概率。已知：(1)=0.8413；(2)=0.9772。解：設(shè) x1 ， x2 ， xn 表示取整誤差, 因它們在 0.5 ，0.5 上服從均勻分布 ， 故 有 根 據(jù) 同 分 布 的 中 心 要 極 限 定 理 ， 得 =( 1 ) (1 ) = 2 ( 1 )1= 2 ´ 0.84131 =

8、 0.682611將一枚硬幣連擲100次，試用隸莫佛-拉普拉斯定理計(jì)算出現(xiàn)正面的次數(shù)大于60的概 率 。已知 ：(1) = 0.8413；(2) = 0.9772 ； 當(dāng) x > 4 , (x) =1。解：設(shè) x 為 擲 100次中出現(xiàn)正面的次數(shù) ，它服從二項(xiàng)分布B ( 100， )這 里 由 隸 莫 佛 - 拉 普 拉 斯 定 理 ， 得 查 N ( 0， 1 ) 分 布 函 數(shù) 表 ， 得 P 60 < x £ 100 = 10.977 = 0.023 . 12 .有甲、乙兩種味道和顏色都極為相似的名酒各4杯. 如果從中挑4杯, 能將甲種酒全部 挑出來, 算是成功一次. (1)某人隨機(jī)地去猜, 問他成功一次的概率是多少？(2)某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒. 他連續(xù)試驗(yàn)10次, 成功3次. 試推斷他是猜對 的, 還是他確有區(qū)分的能力(各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的). 解：(1)設(shè)A=試驗(yàn)成功一次, 則有(2)設(shè)X：試驗(yàn)10次成功的次數(shù), 則由于因此隨機(jī)事件是一個(gè)小概率事件, 根據(jù)“小概率事件在一次試驗(yàn)中是不大可能發(fā)生的”的原理, 隨機(jī)事件是不大可能發(fā)生的, 但它卻發(fā)生了, 因此我們要以斷定此人確有區(qū)分酒的能力.13. 保險(xiǎn)公司新增一個(gè)保險(xiǎn)品種：每被保險(xiǎn)人年交納保費(fèi)為100元, 每被保險(xiǎn)人出事賠付金 額為2萬元. 根據(jù)統(tǒng)計(jì), 這類被保險(xiǎn)人年出事概率為0.