常微分期末考試題B

1、陜西科技大學(xué) 試題紙課程 常微分方程 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分閱卷人 一、填空題 (本題共5小題，每小題4分，滿(mǎn)分20分)1、微分方程的階數(shù)是 ，是否為齊次線(xiàn)性方程 .2、當(dāng)滿(mǎn)足 時(shí)，方程稱(chēng)為恰當(dāng)方程，或稱(chēng)全微分方程。3、若為齊次線(xiàn)性方程的個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解，則這一齊線(xiàn)性方程的所有解可表為 4、方程的常數(shù)解是 5、方程 的特解可設(shè)為_(kāi) 二、單選題 (本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分)1、1. _A. B. C. D. 2、的通解為_(kāi)（為任意常數(shù)）A. B. C. D. 3、.微分方程的公共解為_(kāi)A. B. C. D. 4、的積分因子為_(kāi)A. B. C. D. 5、函數(shù)與

2、_A均為常正的 B均為定正的 C常正，定正 D定正，常正三、解下列微分方程（本題共5小題，分值:6+6+6+6+12，滿(mǎn)分36分）1、求方程2、求方程的通解3、求方程的通解4、求解方程的通解5、求解方程的一個(gè)特解四、（本題10分）試求方程組的解 五、證明題（本題共2小題，分值:10+9，滿(mǎn)分19分）1、證明方程解存在唯一性.2、給定方程，其中在上連續(xù)，設(shè)是上述方程的兩個(gè)解。證明極限存在。陜西科技大學(xué) 試題紙課程 常微分方程參考答案 班級(jí) 數(shù)學(xué)信息091-2 學(xué)號(hào) 姓名 題號(hào)一二三四五六七八九十總分得分閱卷人 一、填空題 (本題共5小題，每小題4分，滿(mǎn)分20分)1、微分方程的階數(shù)是 3 ，是否為

3、齊次線(xiàn)性方程 否 .2、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_其中C為n*n奇異矩陣_。3、初值問(wèn)題的解滿(mǎn)足積分方程。4、是恰當(dāng)方程, 則 。5、二維平面自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)，當(dāng)參數(shù)滿(mǎn)足條件時(shí)，為穩(wěn)定的奇點(diǎn)。二、單選題 (本題共5小題，每小題3分，滿(mǎn)分15分)1、一階線(xiàn)性方程的積分因子是_B_A B CD2、方程通過(guò)點(diǎn)的解的最大存在區(qū)間是_A_A.(2，) B.(0，) C.(-) D.(-,3)3、曲線(xiàn)滿(mǎn)足方程_C_A B C D4、如果是二階線(xiàn)性方程的解，則下列是的解的是_C_ A B C D5、函數(shù)與_D_A均為常正的 B均為定正的 C常正，定正 D定正，常正三、解下列微分方程（本題共5小題，

4、分值:6+6+6+6+12，滿(mǎn)分36分）4、求方程解：這是n=2時(shí)的伯努利不等式，令z=,算得分代入原方程得到，這是線(xiàn)性方程，求得它的通解為z=分帶回原來(lái)的變量y，得到=或者，這就是原方程的解。此外方程還有解y=0.分1、解 因?yàn)?，所以原方程是全微分方?取，原方程的通解為 即分2、解：令 則原方程消去后，有 由此，得 所以故原方程的通解為分3、（xy+解：因?yàn)橛忠驗(yàn)樗苑匠逃蟹e分因子：u(x)= 方程兩邊同乘以得：也即方程的解為5、 ;解：的通解是 ,設(shè)原方程的特解是, 將代入原方程得,所以有 ,所以原方程的通解是 ;四、（本題10分）試求方程組的解 解： 得 取 得 取 則基解矩陣 因此方程的通解為： 2分五、證明題（本題共2小題，分值:10+9，滿(mǎn)分19分）1、證明方程解存在唯一性.證明：構(gòu)造等價(jià)積分式，兩端求導(dǎo)得原方程，所以構(gòu)造積分式與原問(wèn)題同解； 2分進(jìn)行迭代； 2分證明迭代的序列是收斂的由于構(gòu)造的迭代序列收斂于一級(jí)數(shù)，及，證明是收斂的； 2分證明收斂到的級(jí)數(shù)極為方程的解給求極限得：，所以是方程的解2分證明解是唯一的設(shè)均為方程的解，并且兩者不相等，則，；而當(dāng)x=0時(shí)，G(0)=0，與相矛盾，所以解是唯一的.證畢. 2分2、個(gè)方程構(gòu)成的齊次線(xiàn)性微分方程組一定存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)解向量。證明:任取