屋檐水槽構(gòu)建模型555

1、 組別：第六小組 姓名：梁偉仙、葉佳盛、冼深發(fā)屋檐水槽模型摘要 對(duì)于傾斜屋頂采用何種結(jié)構(gòu)進(jìn)行有組織排水，是民用建筑一個(gè)普通而有實(shí)際的問題。在民用建筑中一般是在房頂?shù)倪吘壈惭b一個(gè)檐槽和一個(gè)豎立的排水管來排水，這種排水方式的可行性探討實(shí)際上是解決水槽的容量在單位時(shí)間內(nèi)能否足以排除雨水的問題。構(gòu)建這種排水方式的微分方程模型，運(yùn)用Maple對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了可行性論證，提出了屋檐水槽模型的優(yōu)化方案。關(guān)鍵詞: 速度平衡原理；微分方程；數(shù)值解；maple一、問題的重述 為了雨天出入方便，房屋管理部門想在房頂邊緣安裝一個(gè)檐槽?，F(xiàn)在有一個(gè)公司想承擔(dān)這項(xiàng)業(yè)務(wù)，他們承諾：提供一種新型的可持久的檐槽，這種檐槽不管天氣

2、如何都能排掉房頂?shù)挠晁?。房屋部門希望檢驗(yàn)公司的承諾能否實(shí)現(xiàn)。簡(jiǎn)單來說, 從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個(gè)12米長(zhǎng),6米寬的矩形平面.房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定,一般來說,這個(gè)角度通常在20°50°之間?，F(xiàn)在有一個(gè)公司想承接這項(xiàng)業(yè)務(wù),他們?cè)手Z:提供一種新型的可持久的檐槽,它包括一個(gè)橫截面為半圓形(半徑為7.5厘米)的水槽和一個(gè)豎直的排水管(直徑為10厘米),并且不管天氣情況如何,這種檐槽都能排掉房頂?shù)挠晁?。如圖1所示。 二、模型的假設(shè)2.1、合理假設(shè) (1)、降雨分布均勻并以垂直下落，并且直接落在房頂上；(2)、所有落在房頂上的雨水迅速流入水槽中；(3)、雨水

3、不斷從水槽中濺出；(4)、排水管道順暢，沒有任何障礙或阻塞；(5)、假設(shè)雨開始下時(shí)槽內(nèi)有雨水，且水深高度為0.01m。2.2、符號(hào)說明 ： 如下圖表所示 各因素與符號(hào)說明有關(guān)的因素因素類型 符號(hào) 單位降水強(qiáng)調(diào)輸入變量rm/s時(shí)間變量ts房頂?shù)膬A斜度輸入?yún)?shù) 弧度房頂長(zhǎng)度輸入?yún)?shù)dm房頂?shù)膶挾容斎雲(yún)?shù)bm水槽的半徑輸入?yún)?shù)am水槽中水的深度輸入?yún)?shù)hm水槽中水的容量變量Vm流入水槽的流速變量Qm/s流出水槽的流速變量Qm/s排水管橫截面積參數(shù)Am重力加速度常數(shù)gm/s 表1三、模型的建立參照?qǐng)D1, 根據(jù)速度平衡的原理, 對(duì)于房頂排水系統(tǒng)有:水槽中水的流量的變化率= 雨水的流入流量- 排水流出的流

4、量。即Vc(t)= Q- Q,這里Q、Q 分別是單位時(shí)間流入水槽和從水槽流出的雨水流量。房頂雨水的流動(dòng)情況, 如圖2 所示。房頂?shù)拿娣e是bd, 由于房頂是傾斜的, 根據(jù)合理假設(shè)(1), 實(shí)際受雨的水平面積應(yīng)為bdcos, 房頂上雨水的流量就是r(t)bdcos,雨水的流動(dòng)是沿傾斜的房頂向下的, 從而流入水槽的流量應(yīng)該是它在鉛垂方向的分量 , 即Q= r( t)cossin (1) 而根據(jù)能量守恒定律 得出， （2） 所以，Vc(t)= Q- Q水槽中水的深度h<a時(shí)的狀況如圖3所示，槽中水的體積為： v(t)= （3）由圖3有： cos （4） 由（4）式得： （5） sin2=2(a-

5、h) (6)把(5)、（6）式代入(1)式得： V(t)=adarcos()- (7)下面運(yùn)用maple對(duì)（7）式中t求導(dǎo)【用v(t)表示d(v)/d(t)】：>V(t):=a2*d*(arcos(a-h(t)/a)-(a-h(t)*sqrt(2*a*h(t)-h(t)2)/a2)定義v(t);V(t):=adarccos->V1：=diff(v(t),t);#求v（t） >v2:=a2*d(diff(h(t),t)/(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)+diff(h(t),t)*(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)/a2-1/2*(a-h(t)/(2*a*h(t

6、)-h(t)2)(1/2)/a2*(2*a*diff(h(t),t)-2*h(t)*diff(h(t),t);>v(t):=simplify(%);#對(duì)上式化簡(jiǎn) v(t):=- （8）所以根據(jù)（1）、（2）、（8）這樣就得到模型： （9）即 （10）： 四、 模型的求解與分析設(shè)定一組數(shù)據(jù)：a=0.075m,b=6m,d=12m,g=9.8m/s,A=0.0025m,h(0)=0.01m（假設(shè)槽內(nèi)有些積水）。下面，用Maple 求（10）數(shù)值解。 >restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t

7、)/(2*d*sqrt(2*a*h(t)-(h(t)2);#定義（10）式；>eq:=subs(a=0.075,b=6,d=12,g=9.8,A=0.0025*Pi,alpha=Pi/6,%);把這組數(shù)據(jù)代到上式eq := > eq:=evalf(eq);化簡(jiǎn)針對(duì)房屋管理部門的要求，所以我們可能遇到兩種情況：1、r(t)為常數(shù)；2、r(t)為周期函數(shù)：（1） 當(dāng)r(t)為常數(shù)時(shí)?？紤]水槽的深度趨于一個(gè)低于0.075m的穩(wěn)定值，即h(t)=0> eq1:=0 = .4166666667e-1*(31.17691454*r-.3477105892e-1*h(t)(1/2)/(.1

8、50*h(t)-1.*h(t)2)(1/2);eq1:=0=> solve(eq1,h(t);8.03952576210r> eq2:=803952.5762*r2>=0.075; eq2:=0.075<=8.03952576210r> solve(eq2,r);r<=-0.0003054326190,0.0003054326190<=r 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我們可以得知，當(dāng)r=0.00305時(shí)，水不溢出；當(dāng)r>0.000305時(shí)，水溢出。 所以我們可以令r=0.00021; r=0.000305; r=0.00031 分別代入eq中求出其數(shù)值解，并作

9、出h(t)的圖如圖（4）所示；>eq3:=diff(h(t),t)=0.4166666667e-1*(31.19458600*r-0.3477105892e-1*h(t)(1/2)/(0.150*h(t)-1*h(t)2)(1/2);#定義方程h(t)= >eq3:=subs(r=0.00021,eq)=0； #將r=0.00021代入eq3并令其為0 =）>initvals:=h(0)=0.01>s1:=dsolve(eq4,initvals,h(t),type=numeric)；#求方程eq3的數(shù)值解 h(0)=0.01 proc(x_rkf45)end proc&

10、gt;sl(5)；#可以看出s1的第2項(xiàng)為好h(t)>plot(rhs(s1(t)2,t=0.110):所以根據(jù)圖（4）知道，當(dāng)r=0.00021m/s時(shí)，h為t的增函數(shù)，h的最大值在0.035m附近；而根據(jù)圖（5）知道當(dāng)r=0.000305時(shí)，h為t的增函數(shù)，h的最大值為0.074m左右；而根據(jù)圖（6）知道當(dāng)r=0.00031m/s時(shí)，h為t的增函數(shù)，h的最大值超過0.075m。 由于各地具體情況不同,各地氣象預(yù)報(bào)部門對(duì)于當(dāng)?shù)馗黝惤邓臉?biāo)準(zhǔn)也有些自己的規(guī)定。一般而言, 當(dāng)?shù)貧庀蟛块T規(guī)定24 h降水量在60 mm 以上的雨為特大暴雨。對(duì)于r(t)= 常數(shù)這種情形, r> 0.000

11、 305 m/s 的強(qiáng)降雨機(jī)率幾乎為0,因此,這個(gè)公司的承諾是能兌現(xiàn)的。（2）當(dāng)r(t)為周期函數(shù)時(shí)，并且設(shè)為正弦函數(shù)： r(t)= ，h（t）=0.01這表明下雨過程是在60s內(nèi)發(fā)生的一個(gè)短促的強(qiáng)震雨行為，最大的降雨強(qiáng)度是0.000001m/s，由方程eq3得到如下的微分方程：而且h(0)=0.01這樣我們可以運(yùn)用上面的數(shù)值解法，得到h(t)的圖（7）。 而且我們可以從圖（7）中可以看出，h(t)的最大值才只有0.01m，也就是水槽的高度，而上圖的最大值為0.075m，所以不會(huì)造成溢出現(xiàn)象，對(duì)于第2種情況，水槽的水也不會(huì)出現(xiàn)溢出的情況，所以這個(gè)公司的承諾可以兌現(xiàn)。五、 對(duì)模型的優(yōu)化并且改進(jìn)：

12、如果是長(zhǎng)時(shí)間下暴雨，可能會(huì)造成溢出現(xiàn)象，因此有兩種優(yōu)化方案；a):增大排水管的橫截面積A,即增大排水管的半徑。當(dāng)排水管半徑 增大為0. 056 m,對(duì)于模型的第1 種情形,r 0. 000 36 m/ s, 水槽的水不會(huì)出現(xiàn)溢出的情況。圖8 是h( t)隨時(shí)間t 變化的形。h( t)的最大值不會(huì)超過0.07 m。對(duì)于模型的第2 種情形, 水槽的水不會(huì)溢出。圖9 是h( t)隨時(shí)間t 變化的圖形。h( t)的最大值不會(huì)超過0.01 m。b):改變水槽的連接方式, 如圖10, 讓水槽往屋檐傾斜一定角度, 這相當(dāng)于增加水槽的容水高度。圖9 改進(jìn)后的h隨t 變化示意參考文獻(xiàn)1劉斌中國(guó)三農(nóng)問題報(bào)告M北京

13、：中國(guó)發(fā)展出版社，2O04 2黎詣遠(yuǎn)微 經(jīng)濟(jì)分析M北京：清華大學(xué)出版社，20(13 3葛志華wro與當(dāng)代中國(guó)農(nóng)民M南京：江蘇人民出版社，2001 4鮮祖德，農(nóng)民收入增長(zhǎng)問題研究M北京：中國(guó)經(jīng)濟(jì)出版社，2002附件1restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t)/(2*d*sqrt(2*a*h(t)-(h(t)2);> eq:=subs(a=0.075,b=6,d=12,g=9.8,A=0.0025*Pi,alpha=Pi/6,%);> eq:=evalf(eq);> eq1:=subs

14、(diff(h(t),t)=0,eq);> h(t):=solve(eq1,h(t);> eq2:=803952.5762*r2>=0.075; solve(eq2,r);> restart;eq := diff(h(t),t) = .4166666667e-1*(31.17691454*r-.3477105892e-1*h(t)(1/2)/(.150*h(t)-1.*h(t)2)(1/2);> eq3:=subs(r=1/2000*sin(Pi/40*t),eq);eq4:=evalf(eq3);> s1:=dsolve(eq4,h(0)=0.01,h(t),numeric);> s1(5);#可以看出是（1）第二項(xiàng)為h(t)> plot('rhs(s1(t)2)',t=0.50);> eq4:=subs(r=0.000305,eq);>