屋檐水槽構建模型555

1、 組別：第六小組 姓名：梁偉仙、葉佳盛、冼深發(fā)屋檐水槽模型摘要 對于傾斜屋頂采用何種結構進行有組織排水，是民用建筑一個普通而有實際的問題。在民用建筑中一般是在房頂的邊緣安裝一個檐槽和一個豎立的排水管來排水，這種排水方式的可行性探討實際上是解決水槽的容量在單位時間內能否足以排除雨水的問題。構建這種排水方式的微分方程模型，運用Maple對設計方案進行了可行性論證，提出了屋檐水槽模型的優(yōu)化方案。關鍵詞: 速度平衡原理；微分方程；數值解；maple一、問題的重述 為了雨天出入方便，房屋管理部門想在房頂邊緣安裝一個檐槽?，F在有一個公司想承擔這項業(yè)務，他們承諾：提供一種新型的可持久的檐槽，這種檐槽不管天氣

2、如何都能排掉房頂的雨水。房屋部門希望檢驗公司的承諾能否實現。簡單來說, 從屋脊到屋檐的房頂可以看成是一個12米長,6米寬的矩形平面.房頂與水平方向的傾斜角度要視具體的房屋而定,一般來說,這個角度通常在20°50°之間?，F在有一個公司想承接這項業(yè)務,他們允諾:提供一種新型的可持久的檐槽,它包括一個橫截面為半圓形(半徑為7.5厘米)的水槽和一個豎直的排水管(直徑為10厘米),并且不管天氣情況如何,這種檐槽都能排掉房頂的雨水。如圖1所示。 二、模型的假設2.1、合理假設 (1)、降雨分布均勻并以垂直下落，并且直接落在房頂上；(2)、所有落在房頂上的雨水迅速流入水槽中；(3)、雨水

3、不斷從水槽中濺出；(4)、排水管道順暢，沒有任何障礙或阻塞；(5)、假設雨開始下時槽內有雨水，且水深高度為0.01m。2.2、符號說明 ： 如下圖表所示 各因素與符號說明有關的因素因素類型 符號 單位降水強調輸入變量rm/s時間變量ts房頂的傾斜度輸入參數 弧度房頂長度輸入參數dm房頂的寬度輸入參數bm水槽的半徑輸入參數am水槽中水的深度輸入參數hm水槽中水的容量變量Vm流入水槽的流速變量Qm/s流出水槽的流速變量Qm/s排水管橫截面積參數Am重力加速度常數gm/s 表1三、模型的建立參照圖1, 根據速度平衡的原理, 對于房頂排水系統(tǒng)有:水槽中水的流量的變化率= 雨水的流入流量- 排水流出的流

4、量。即Vc(t)= Q- Q,這里Q、Q 分別是單位時間流入水槽和從水槽流出的雨水流量。房頂雨水的流動情況, 如圖2 所示。房頂的面積是bd, 由于房頂是傾斜的, 根據合理假設(1), 實際受雨的水平面積應為bdcos, 房頂上雨水的流量就是r(t)bdcos,雨水的流動是沿傾斜的房頂向下的, 從而流入水槽的流量應該是它在鉛垂方向的分量 , 即Q= r( t)cossin (1) 而根據能量守恒定律 得出， （2） 所以，Vc(t)= Q- Q水槽中水的深度h<a時的狀況如圖3所示，槽中水的體積為： v(t)= （3）由圖3有： cos （4） 由（4）式得： （5） sin2=2(a-

5、h) (6)把(5)、（6）式代入(1)式得： V(t)=adarcos()- (7)下面運用maple對（7）式中t求導【用v(t)表示d(v)/d(t)】：>V(t):=a2*d*(arcos(a-h(t)/a)-(a-h(t)*sqrt(2*a*h(t)-h(t)2)/a2)定義v(t);V(t):=adarccos->V1：=diff(v(t),t);#求v（t） >v2:=a2*d(diff(h(t),t)/(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)+diff(h(t),t)*(2*a*h(t)-h(t)2)(1/2)/a2-1/2*(a-h(t)/(2*a*h(t

6、)-h(t)2)(1/2)/a2*(2*a*diff(h(t),t)-2*h(t)*diff(h(t),t);>v(t):=simplify(%);#對上式化簡 v(t):=- （8）所以根據（1）、（2）、（8）這樣就得到模型： （9）即 （10）： 四、 模型的求解與分析設定一組數據：a=0.075m,b=6m,d=12m,g=9.8m/s,A=0.0025m,h(0)=0.01m（假設槽內有些積水）。下面，用Maple 求（10）數值解。 >restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t

7、)/(2*d*sqrt(2*a*h(t)-(h(t)2);#定義（10）式；>eq:=subs(a=0.075,b=6,d=12,g=9.8,A=0.0025*Pi,alpha=Pi/6,%);把這組數據代到上式eq := > eq:=evalf(eq);化簡針對房屋管理部門的要求，所以我們可能遇到兩種情況：1、r(t)為常數；2、r(t)為周期函數：（1） 當r(t)為常數時?？紤]水槽的深度趨于一個低于0.075m的穩(wěn)定值，即h(t)=0> eq1:=0 = .4166666667e-1*(31.17691454*r-.3477105892e-1*h(t)(1/2)/(.1

8、50*h(t)-1.*h(t)2)(1/2);eq1:=0=> solve(eq1,h(t);8.03952576210r> eq2:=803952.5762*r2>=0.075; eq2:=0.075<=8.03952576210r> solve(eq2,r);r<=-0.0003054326190,0.0003054326190<=r 根據以上數據，我們可以得知，當r=0.00305時，水不溢出；當r>0.000305時，水溢出。 所以我們可以令r=0.00021; r=0.000305; r=0.00031 分別代入eq中求出其數值解，并作

9、出h(t)的圖如圖（4）所示；>eq3:=diff(h(t),t)=0.4166666667e-1*(31.19458600*r-0.3477105892e-1*h(t)(1/2)/(0.150*h(t)-1*h(t)2)(1/2);#定義方程h(t)= >eq3:=subs(r=0.00021,eq)=0； #將r=0.00021代入eq3并令其為0 =）>initvals:=h(0)=0.01>s1:=dsolve(eq4,initvals,h(t),type=numeric)；#求方程eq3的數值解 h(0)=0.01 proc(x_rkf45)end proc&

10、gt;sl(5)；#可以看出s1的第2項為好h(t)>plot(rhs(s1(t)2,t=0.110):所以根據圖（4）知道，當r=0.00021m/s時，h為t的增函數，h的最大值在0.035m附近；而根據圖（5）知道當r=0.000305時，h為t的增函數，h的最大值為0.074m左右；而根據圖（6）知道當r=0.00031m/s時，h為t的增函數，h的最大值超過0.075m。 由于各地具體情況不同,各地氣象預報部門對于當地各類降水的標準也有些自己的規(guī)定。一般而言, 當地氣象部門規(guī)定24 h降水量在60 mm 以上的雨為特大暴雨。對于r(t)= 常數這種情形, r> 0.000

11、 305 m/s 的強降雨機率幾乎為0,因此,這個公司的承諾是能兌現的。（2）當r(t)為周期函數時，并且設為正弦函數： r(t)= ，h（t）=0.01這表明下雨過程是在60s內發(fā)生的一個短促的強震雨行為，最大的降雨強度是0.000001m/s，由方程eq3得到如下的微分方程：而且h(0)=0.01這樣我們可以運用上面的數值解法，得到h(t)的圖（7）。 而且我們可以從圖（7）中可以看出，h(t)的最大值才只有0.01m，也就是水槽的高度，而上圖的最大值為0.075m，所以不會造成溢出現象，對于第2種情況，水槽的水也不會出現溢出的情況，所以這個公司的承諾可以兌現。五、 對模型的優(yōu)化并且改進：

12、如果是長時間下暴雨，可能會造成溢出現象，因此有兩種優(yōu)化方案；a):增大排水管的橫截面積A,即增大排水管的半徑。當排水管半徑 增大為0. 056 m,對于模型的第1 種情形,r 0. 000 36 m/ s, 水槽的水不會出現溢出的情況。圖8 是h( t)隨時間t 變化的形。h( t)的最大值不會超過0.07 m。對于模型的第2 種情形, 水槽的水不會溢出。圖9 是h( t)隨時間t 變化的圖形。h( t)的最大值不會超過0.01 m。b):改變水槽的連接方式, 如圖10, 讓水槽往屋檐傾斜一定角度, 這相當于增加水槽的容水高度。圖9 改進后的h隨t 變化示意參考文獻1劉斌中國三農問題報告M北京

13、：中國發(fā)展出版社，2O04 2黎詣遠微 經濟分析M北京：清華大學出版社，20(13 3葛志華wro與當代中國農民M南京：江蘇人民出版社，2001 4鮮祖德，農民收入增長問題研究M北京：中國經濟出版社，2002附件1restart;eq:=diff(h(t),t)=(r*b*d*sin(alpha)*cos(alpha)-A*sqrt(2*g*h(t)/(2*d*sqrt(2*a*h(t)-(h(t)2);> eq:=subs(a=0.075,b=6,d=12,g=9.8,A=0.0025*Pi,alpha=Pi/6,%);> eq:=evalf(eq);> eq1:=subs

14、(diff(h(t),t)=0,eq);> h(t):=solve(eq1,h(t);> eq2:=803952.5762*r2>=0.075; solve(eq2,r);> restart;eq := diff(h(t),t) = .4166666667e-1*(31.17691454*r-.3477105892e-1*h(t)(1/2)/(.150*h(t)-1.*h(t)2)(1/2);> eq3:=subs(r=1/2000*sin(Pi/40*t),eq);eq4:=evalf(eq3);> s1:=dsolve(eq4,h(0)=0.01,h(t),numeric);> s1(5);#可以看出是（1）第二項為h(t)> plot('rhs(s1(t)2)',t=0.50);> eq4:=subs(r=0.000305,eq);>