初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題

1、初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題、矩形中的折疊1 .將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊，其中BGBD為折痕,折疊后BG和BH在同一條直線上，/CBD=度.2 .如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A處,再過(guò)點(diǎn)A折疊使折痕DEBG若AB=4AC=3則ADE的面積是3 .如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DG,求AG的長(zhǎng).根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到相等的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即可.把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著B(niǎo)F折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則/DFB等于（）D注意折疊前后

2、角的對(duì)應(yīng)關(guān)系4 .如圖，沿矩形ABC面對(duì)角線BM疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cmAB=6cm求折疊后重合部分的面積.重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形C初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題監(jiān)利縣第一中學(xué)度；4EFG5 .將一張矩形紙條ABCD$如圖所示折疊，若折疊角/的形狀三角形.對(duì)折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫(huà)出對(duì)折前后的圖形，便于尋找對(duì)折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰GEF6 .如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對(duì)折，展平，得折痕EF（如圖）；延CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B'處，（如圖）；展平，得折痕GC（如圖）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落

3、在DH上的點(diǎn)C'處，（如圖）；沿GC'折疊（如圖）；展平，得折痕GC',GH（如圖）.（1）求圖中/BCB'的大??；（2）圖中的GCC'是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.理清在每一個(gè)折疊過(guò)程中的變與不變.忸圖，正方形紙片ABCD勺邊長(zhǎng)為8,將其沿EF折疊，則圖中四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等.如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD&著折痕EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD的中點(diǎn)G處，求四邊形BCFE勺面積注意折疊過(guò)程中的變與不變，圖形的形狀和大小不變，對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角相等10.如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上不與A、D重合.MN

4、為折痕，折疊后B'C'與DN交于P.（1）連接BB',那么BB'與MN的長(zhǎng)度相等嗎？為什么?（2）設(shè)BM=y,AB'=x,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時(shí)，折疊起來(lái)的梯形MNC'B'面積最??？并驗(yàn)證你的猜想.、紙片中的折疊11.如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則/a的度數(shù)等于（）及對(duì)稱的性質(zhì),折疊的角與其對(duì)應(yīng)角相等，和平角為180度的性質(zhì)，注意EAB是以折痕AB為底的等腰三角形.如圖，將一寬為2cm的紙條，沿BC,使/CAB=45°,則后重合部分的面積為在折疊問(wèn)題中，一般要注意折疊前后圖形之間的聯(lián)系，將圖

5、形補(bǔ)充完整，對(duì)于矩形（紙片）折疊,折疊后會(huì)形成“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)，即重疊部分是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形ABC.將寬2cm的長(zhǎng)方形紙條成如圖所示的形狀，那么折痕PQ的長(zhǎng)是注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，會(huì)出現(xiàn)“平行線+角平分線”的基本結(jié)構(gòu)圖形，即有以折痕為底邊的等腰三角形APQ.如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，/DEF=20°,將紙帶沿EF折疊成圖b,再沿BF折疊成圖c,則圖c中的/CFE的度數(shù)是（）本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變.由題意知/DEF=/EFB=20&#

6、176;圖b/GFC=140°,圖c中的/CFE=/GFC-/EFG.將一張長(zhǎng)為70cm的長(zhǎng)方形紙片ABCD,沿對(duì)稱軸EF折疊成如圖的形狀，若折疊后,AB與CD間的距離為60cm,則原紙片的寬AB是()J6.一根30cm、寬3cm的長(zhǎng)方形紙條，將其按照?qǐng)D示的過(guò)程折疊(陰影部分表示紙條的反面)，為了美觀，希望折疊完成后紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，則最初折疊時(shí)，求MA的長(zhǎng)三、三角形中的折疊.如圖，把RtAABC(/C=90),使A,B兩點(diǎn)重合，得到折痕ED再沿BE折疊，C點(diǎn)恰好與D點(diǎn)重合，則CEAE.在ABC中，已知AB=2a/A=30°,CD是AB邊的中線，若將ABOCD對(duì)折

7、起來(lái),1折疊后兩個(gè)小ACDBCD1疊部分的面積恰好等于折疊前ABC勺面積的二.|4(1)當(dāng)中線CD等于a時(shí)，重疊部分的面積等于;(2)有如下結(jié)論(不在“CD等于a”的限制條件下)：AC邊的長(zhǎng)可以等于a；折疊前的ABC的面積可以等于乎a2;折疊后，以AB為端點(diǎn)的線段AB與中線CD平行且相等.其中，結(jié)論正確(把你認(rèn)為正確結(jié)論的代號(hào)都填上，若認(rèn)為都不正確填“無(wú)”).注意“角平分線+等腰三角形”的基本構(gòu)圖，折疊前后圖形之間的對(duì)比，找出相等的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.在4ABC中，已知/A=80°,/C=30°,現(xiàn)把CDE沿DE進(jìn)行不同的折疊得C(1)如圖(1)把4CDE沿DE折疊在四邊形AD

8、EB內(nèi)，則求/1+/2的和;CDE,72=180°-2ZCED,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理比可求出答案；(2)連接DG,將/ADG+/AGD作為一個(gè)整體，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求；(3)將/2看作180°-2ZCED,/1看作2/CDE-180。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理來(lái)求.圖DE,對(duì)折疊后產(chǎn)生的夾角進(jìn)行探究:由于等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，所以在折疊三角形時(shí)常常會(huì)出現(xiàn)等腰三角形17 .觀察與發(fā)現(xiàn)：將三角形紙片ABC（AB>AC）沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,展開(kāi)紙片（如圖）；在第一次折疊的基礎(chǔ)上第二次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF,展

9、平紙片后得到AEF（如圖）.小明認(rèn)為AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.實(shí)踐與運(yùn)用：（1）將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE（如圖）；再沿過(guò)點(diǎn)E的直線折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D'處，折痕為EG（如圖）；再展平紙片（如圖）.求圖中/a的大小.由于角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，所以在三角形中的折疊通常都與角平分線有關(guān)。要抓住折疊前后圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（2）將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對(duì)折得折痕EF,折痕與AD邊交于點(diǎn)E,與BC邊交于點(diǎn)F;將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展開(kāi)紙片，

10、此時(shí)恰好有MP=MN=PQ（如圖），求/MNF的大小.在矩形中的折疊問(wèn)題，通常會(huì)出現(xiàn)“角平分線+平行線”的基本結(jié)構(gòu)，即以折痕為底邊的等腰三角形18 .直角三角形紙片ABC中，/ACB=90°,AC<BC,如圖，將紙片沿某條直線折疊，使點(diǎn)A落在直角邊BC上，記落點(diǎn)為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F.計(jì)算過(guò)程，并畫(huà)出符合條件的后的圖形.探究：如果折疊后的CDF與4BDE均為等腰三角形，那么紙片中/B的度數(shù)是多少？寫(xiě)出你的先確定CDF是等腰三角形，得出/CFD=/CDF=45°,因?yàn)椴淮_定BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形，故需討論，DE=DB,BD=BE,DE=

11、BE,然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可.下列圖案給出了折疊一個(gè)直角邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形紙片（圖1）的全過(guò)程：首先對(duì)折，如圖2,折痕CD交AB于點(diǎn)D;打開(kāi)后，過(guò)點(diǎn)D任意折疊，使折痕DE交BC于點(diǎn)巳如圖3;打開(kāi)后，如圖4;再沿AE折疊，如圖5;打開(kāi)后，折痕如圖6.則折痕DE和AE長(zhǎng)度的和的最小值是（）本題經(jīng)過(guò)了三次折疊，注意理清折疊過(guò)程中的對(duì)稱關(guān)系，求兩條線段的和的最小值問(wèn)題可以參見(jiàn)文章本題是一道找規(guī)律的題目，這類(lèi)題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的.如圖，矩形紙片ABC砰，AB=J6,BC邛0.第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD

12、交于點(diǎn)Q;QD的中點(diǎn)為口，第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)Q;設(shè)QD的中點(diǎn)為E2,第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)Q,.按上述方法，第n次折疊后白折痕與BD交于點(diǎn)Q,則BQ=,BQ=問(wèn)題中涉及到的折疊從有限到無(wú)限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì)過(guò)程。在找規(guī)律時(shí)要把最終的結(jié)果寫(xiě)成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數(shù)據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系.如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3,AC=4,D為斜邊BC中點(diǎn)，第1次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pi；設(shè)PiD的中點(diǎn)為Di,第2次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)Di重合，折痕與AD

13、交于點(diǎn)P2；設(shè)P2D1的中點(diǎn)為D2,第3次將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D2重合,折痕與AD交于點(diǎn)P3；設(shè)Pn-iDn-2的中點(diǎn)為Dn-i,第n次紙片折疊，使A與點(diǎn)Dn-i重合，折痕與AD交于點(diǎn)Pn(n>2),則AP6長(zhǎng)()此題考查了翻折變換的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是寫(xiě)出前面幾個(gè)有關(guān)線段長(zhǎng)度的表達(dá)式，從而得出一般規(guī)律，注意培養(yǎng)自己的歸納總結(jié)能力.閱讀理解如圖i,ABC43,1才/BAC勺平分線AB折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BiAiC的平分線AB2折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/MAC的平分線AnBn+i折疊，點(diǎn)3與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BACABC勺好角.小麗展

14、示了確定/BABABC勺好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；情形二：如圖3,沿/BAC勺平分線AB折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿/BiAiC的平分線AiB2折疊，此時(shí)點(diǎn)Bi與點(diǎn)C重合.探究發(fā)現(xiàn)(1) ABC中，/B=2/C,經(jīng)過(guò)兩次，/BAB不是ABC勺好角？(填“是”或“不是”).(2)小麗經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC4ABC的好角，t#探究/B與/C(不妨設(shè)/B>/C)之間的等量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊/BAB4ABC的好角，則/B與/C(不妨設(shè)ZB>/C)之間的等量關(guān)系為.ZB=n/C應(yīng)用提升(3)小麗

15、找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為i5。、60。、i05°,發(fā)現(xiàn)60°和i05。的兩個(gè)角都是此三角形的好角.請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角.19 注意折疊過(guò)程中的對(duì)應(yīng)角和三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)外角的和的運(yùn)用，理解三角形中如果有一個(gè)角是好角之后，另兩個(gè)角之間的關(guān)系，通過(guò)這樣的問(wèn)題培養(yǎng)歸納總結(jié)能力.我們知道：任意的三角形紙片可通過(guò)如圖所示的方法折疊得到一個(gè)矩形.(1)實(shí)踐：將圖中的正方形紙片通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一個(gè)矩形(在圖中畫(huà)圖說(shuō)明).(2)探究：任意的四邊形紙片是否都能通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ郫B成一

16、個(gè)矩形？若能，直接在圖中畫(huà)圖說(shuō)明；若不能，則四邊形至少應(yīng)具備什么條件才行？并畫(huà)圖說(shuō)明.(要求：畫(huà)圖應(yīng)體現(xiàn)折疊過(guò)程,用虛線表示折痕，用箭頭表示方向，后圖形中既無(wú)縫隙又無(wú)重疊部分)折疊即對(duì)稱628 .如圖，雙曲線y=-(x>0)經(jīng)過(guò)四邊形OABC勺頂點(diǎn)A、C,/xABC=90,OC平分OA與x軸正半軸的夾角，AB/x軸，將ABC行AC翻折后彳#到4AB'C,B'點(diǎn)落在OA±，則四邊形OABC勺面積是多少？明白折疊中的對(duì)應(yīng)邊就行29 .已知一個(gè)直角三角形紙片OAB,其中/AOB=90°,OA=2,OB=4.如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折

17、痕與邊OB交于點(diǎn)C,與邊AB交于點(diǎn)D.(1)若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B',設(shè)OB'=x,OC=y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并確定y的取值范圍；(3)若折疊后點(diǎn)B落在邊OA上的點(diǎn)為B，且使BD/OB,求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo).四、圓中的折疊.如圖，正方形ABCD勺邊長(zhǎng)為2,。的直徑為AD將正方形的BC邊沿EC折疊，點(diǎn)B落在圓用對(duì)稱關(guān)系構(gòu)造勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折疊問(wèn)題中求線段長(zhǎng)度的常用方法.如圖，將半徑為8的。O沿AB折疊，弧AB恰好經(jīng)過(guò)與AB垂直的半徑OC的中點(diǎn)D,則折痕AB長(zhǎng)為（）注意折疊過(guò)程中形成的對(duì)應(yīng)邊，利用勾股定理求解32.如圖，將弧BC沿弦B0f疊交直徑AB于點(diǎn)D,若AD=5DB=7則BC的