關(guān)于三角形的四心與平面向量的結(jié)合

1、關(guān)于三角形的“四心”與平面向量的結(jié)合關(guān)鍵字高中|數(shù)學(xué)|平面向量|內(nèi)心|外心|重心|垂心內(nèi)容摘要每年全國各地高考試卷中,都有不少習(xí)題與三角形的“四心”有關(guān)，學(xué)生在解決這些問題時錯誤率較高，甚至是無從下手.筆者搜集了部分資料，結(jié)合本人積累的一些高三知識，就高中新課標(biāo)向量的相關(guān)知識進(jìn)行闡述，對有關(guān)三角形的“四心”的相關(guān)知識進(jìn)行復(fù)習(xí).特別體現(xiàn)出它們之間的結(jié)合,不當(dāng)疏漏之處,懇請讀者批評指正.一、 基礎(chǔ)知識復(fù)習(xí)1.定義：我們把三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,即三角形內(nèi)切圓圓心;三角形三條邊上的中垂線的交點(diǎn)叫做三角形的外心,即三角形外接圓圓心;三角形三條邊上的中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心;三

2、角形三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.我們將三角形的“內(nèi)心”、“外心”、“重心”、“垂心”合稱為三角形的“四心”.2.應(yīng)用:三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等;三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等;三角形的重心到三角形的頂點(diǎn)的距離是相應(yīng)中線長的三分之二;三角形的垂心與頂點(diǎn)的連線垂直于該頂點(diǎn)的對邊.3.注意點(diǎn):三角形的“四心”與平面向量知識的結(jié)合.二、 典型例題分析例已知點(diǎn)G是內(nèi)任意一點(diǎn),點(diǎn) M是所在平面內(nèi)一點(diǎn).試根據(jù)下列條件判斷G點(diǎn)可能通過的_心.(填“內(nèi)心”或“外心”或“重心”或“垂心”).提出問題(1)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過的_.(2)若點(diǎn)D是的底邊BC上的中點(diǎn),滿足,則點(diǎn)G可能

3、通過的_.(3)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過的_.(4)若存在常數(shù),滿足,則點(diǎn)G可能通過的_.思路分析以上四個問題的解決要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性質(zhì),同時更要熟悉平面向量的性質(zhì),對于平面向量與三角函數(shù)的結(jié)合也要相當(dāng)熟悉.解答過程(1)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是角平分線上的點(diǎn),故應(yīng)填內(nèi)心.(2)簡單的變形后發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G是BC邊中垂線上的點(diǎn),故應(yīng)填外心.(3)記,則.由平面向量的平行四邊形或三角形法則知,點(diǎn)G是BC邊的中線上的點(diǎn),故應(yīng)填重心.(4)分析后發(fā)現(xiàn),本題學(xué)生難以找到解決問題的突破口,主要在于平面向量的數(shù)量積的充分利用.由,得,(關(guān)鍵點(diǎn)) 于是.從而,點(diǎn)G是高線上的點(diǎn),故應(yīng)填垂心.教師點(diǎn)評以上四個問題處理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性質(zhì)在解答問題時的作用.特別注意第四問兩邊同乘以某個表達(dá)式的技巧.三、 綜合運(yùn)用提出問題若O點(diǎn)是的外心, H點(diǎn)是的垂心,且,求實(shí)數(shù)m的值.思路分析許多學(xué)生在解答此類題時，只能用特殊值的方法解決.要求學(xué)生能夠充分利用本節(jié)提到的一些基礎(chǔ)知識及相關(guān)性質(zhì)解題.解答過程由,得,于是,(關(guān)鍵點(diǎn)) 即,由題意,知,及,從而,其中,因此.教師點(diǎn)評請讀者特別注意解題中的關(guān)鍵點(diǎn),解這類問題時的技巧也應(yīng)熟練掌握.舉一反三通過上述例題及解答,我們