以平面波展開法分析光子晶體能帶結(jié)構(gòu)

1、以平面波展開法分析光子晶體能帶結(jié)構(gòu)廖淑慧 講師中州技術(shù)學院 電子工程系黃坤賢 學生黃照智 學生中州技術(shù)學院 電子工程系摘 要光子晶體的主要特色在於所謂的光子能隙 電磁波無法在能隙中傳播。雖然三維的光子晶體被認為是最具應用潛力的，但是二維光子晶體的結(jié)構(gòu)在製程上卻佔有較易製作的優(yōu)勢，所以在光電元件裝置及相關研究領域上亦廣為使用。我們使用平面波展開法，分別計算一維和二維光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。根據(jù)理論分析的結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)一維光子晶體無論介電常數(shù)差異如何，總是存在著光子能隙。對於二維正方晶格的結(jié)構(gòu)計算，我們發(fā)現(xiàn)正方晶格對TM波有能隙，對TE波則無。關鍵詞: 光子晶體，光子能隙，平面波展開法壹前言當半導體中

2、的電子受到晶格的週期性位勢(periodic potential)散射時，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(energy gap)，導致電子的色散關係(dispersion relation)呈帶狀分佈，此即所謂的電子能帶結(jié)構(gòu) (electronic band structure)。西元1987年，E. Yablonovitch 與S. John不約而同地提出相關見解12，說明類似的現(xiàn)象亦存在於所謂的光子系統(tǒng)中。根據(jù)他們提出的研究報告顯示，在介電係數(shù)呈週期性排列的三維介電材料中，電磁波被散射後，某些波段的電磁波強度將會因破壞性干涉而呈指數(shù)衰減，無法在該材料內(nèi)傳遞，這樣的現(xiàn)象相當於在對應的頻譜上

3、形成能隙，因此，色散關係也具有帶狀結(jié)構(gòu)，此即所謂的光子能帶結(jié)構(gòu)(photonic band structure)。這種具有光子能帶結(jié)構(gòu)的介電物質(zhì)，就稱為光子晶體(photonic crystal)。事實上，在三維光子能帶結(jié)構(gòu)的概念尚未被提出之前，科學家們對於一維的光子晶體(層狀介電材料) 的研究早已行之多年。電磁波在一維的光子晶體中的干涉現(xiàn)象早已應用在各種光學實驗以及相關的應用產(chǎn)品之中，例如作為波段選擇器、濾波器、繞射光柵元件或反射鏡等。因為科學界一直未能以晶格的角度來看待週期性光學材料，所以遲遲未能將固態(tài)物理上已發(fā)展成熟的能帶理論運用在這方面。直到1989年，Yablonovitch與Gmi

4、tter首次嘗試在實驗上證明三維光子能帶結(jié)構(gòu)的存在3，終於引起相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。 目前，光子晶體在光通訊系統(tǒng)中已有非常多的應用，例如光開關、光放大器、光交換等元件，甚至於非線性光子晶體光纖、多模態(tài)光子晶體光纖等，都在光電領域中有著非常具大的應用潛力。若能在元件中或電路製作前，先以演算法分析所需的光子晶體，必能為龐大的半導體製程省下大量的費用。目前計算光子能帶結(jié)構(gòu)的數(shù)值方法最常見的主要有: 平面波展開法(plane wave expansion method, PWM)4-7有限元素法(finite element method, FEM)8-10及時域有限差分法

5、(finite difference time domain, FDTD)11-14。在本論文中將利用平面波展開法，計算一維與二維光子晶體的色散曲線(dispersion curve)，找出其能隙所在。貳光子能帶結(jié)構(gòu)分析平面波展開法主要的功能是用來求解光子晶體的色散關係(dispersion relation)。透過平面波展開法，可以了解光子晶體能隙的形成，並且可以利用超晶胞(supercell)的技巧求解含有缺陷(defect)的光子晶體的色散關係。考慮一無源、線性、非損耗性()介質(zhì)的Maxwell方程式如下： (1) (2) (3) (4)其中為電場強度，為磁場強度，為相對介電常數(shù)，、為真

6、空中的介電常數(shù)和導磁係數(shù)。 假設電場與磁場都是時間的諧和場，可令: (5) (6)將(5)及(6)式代入(1)、(2)式中，整理之後可得到磁場的赫姆霍茲方程式(Helmholtz's equation)： (7)其中和c分別為光在真空中的角頻率及光速，為介電常數(shù)函數(shù)。根據(jù)布洛赫定理(Bloch's Theorem)，在週期性排列結(jié)構(gòu)中的電磁場可以用平面波展開如下： (8)其中為倒晶格向量，、2，為布洛赫波向量(Bloch's wave vector)，為磁場沿著方向的係數(shù)，為兩個與相互垂直的單位向量。由於為一週期函數(shù)，所以可用傅立葉級數(shù)展開之： (9) (10)其中為單

7、位晶格(unit cell)，V為單位晶格的體積。接著將(8)及(9)式代入(7)式，透過一些整理後可得到一特徵方程式如下： (11)由(11)式，可根據(jù)不同的值解出對應特徵值n及特徵向量。若只考慮二維的問題時，(11)式可分解為兩個特徵值方程式，分別對應於橫磁波(TM mode)和橫電波(TE mode)。一橫磁波(TM mode)假設電磁波的傳播方向在x-y平面上，在TM模態(tài)下僅考慮、和三個場量，則(11)式可化簡如下： (12)二橫電波(TE mode)在TE模態(tài)下，電場方向在x-y平面上，磁場在z方面上(、和)，(11)式可化簡如下： (13)若考慮一維的問題，k和G只有兩個方向，分別

8、是+x與-x，此時可將分別取為，所以，特徵方程式可簡化為: (14)在此情況下，和都在y-z平面，所以TE mode和TM mode 的情況是一樣的。參結(jié)果分析 在本論文中，我們使用了一部份參考文獻15.中的數(shù)據(jù)，以作為確認數(shù)值演算的結(jié)果依據(jù)。在一維光子晶體結(jié)構(gòu)中，無論介電常數(shù)比值為何，只要，永遠存在著能隙(圖1.)。由圖1.、圖2.及圖3.能隙的比較，我們也發(fā)現(xiàn)介電常數(shù)差額愈小者，能隙亦較小。對於二維光子晶體結(jié)構(gòu)，則主要計算正方晶格(square lattice)結(jié)構(gòu)排列的二維光子晶體，探討其在橫磁波與橫電波下的色散特性曲線?？紤]一介電質(zhì)圓柱在x-y平面的週期排列，圓柱在z方向上無窮延伸出去

9、，晶格基底向量(primitive lattice vector)為，a代表晶格間距，R為圓柱半徑，圓柱的材質(zhì)為鋁(Al，其介電常數(shù))。正方晶格的倒晶格還是正方晶格，倒晶格基底向量(reciprocal lattice vector)為，根據(jù)(9)、(10)式可以求得如下所示： (15) (16)上式中，為填充係數(shù)(filling factor)，為圓柱的截面積，為單位晶胞的面積，為貝索函數(shù)(Bessel function)。令，選取足夠的，利用(12) 、 (13) 、 (15) 及(16)式，代入不同的值求出其對應的特徵值，分別畫出TM模態(tài)下和TE模態(tài)下的色散曲線如圖4.、圖5.所示。由圖

10、4.、圖5.可發(fā)現(xiàn)，此狀況下的晶格排列在TM模態(tài)下存在著一光子晶體能隙，但在TE模態(tài)下並未發(fā)現(xiàn)能隙的存在。肆結(jié)論經(jīng)由對光子晶體能帶的特性曲線探討，我們更加確信利用適當設計的週期性介電質(zhì)結(jié)構(gòu)與適合的介電係數(shù)，可以在光波範圍內(nèi)的色散關係中產(chǎn)生能隙結(jié)構(gòu)。因為在能隙範圍內(nèi)，任何傳播方向的電磁波均無法傳遞，所以，我們可以配合不同的幾何結(jié)構(gòu)與材料相關參數(shù)，設計出具有不同能隙位置與不同能隙大小的光子晶體。光子晶體的理論發(fā)展已日益成熟。實驗的部分，隨著半導體製程的進步，近年來，用在光波段的光子晶體已被製造出來，並驗證了理論，引起電機、電子、物理、通訊等相關研究領域的注意，並且開始大舉投入這方面的研究。光的平行

11、處理能力以及光速般的處理速度，讓光子晶體和積體光學在高運算量及高資訊量、高速度的系統(tǒng)上必能表現(xiàn)其潛力。未來經(jīng)由積體光路與電子電路整合，將能發(fā)揮更大的效用。圖1.The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths. The width of thea=11.58 layer is 0.2a, and the width of theb=1 layer is 0.8°.圖2.Th

12、e one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a and alternating layers of different widths. The width of thea=8.9 layer is 0.2a, and the width of theb=1 layer is 0.8a.圖3.The one dimentional photonic band structure of a multilayer film with lattice constant a an

13、d alternating layers of different widths. The width of thea=5.2 layer is 0.2a, and the width of theb=1 layer is 0.8a.圖4.The TE mode photonic band structure for a square array of dielectric columns with R=0.2a.The band structure is for a crystal consisting of alumina(a=8.9) rodsembedded in air(b=1).圖

14、5. The TM mode photonic band structure for a square array of dielectric columns with R=0.2a.The band structure is for a crystal consisting of alumina(a=8.9) rodsembedded in air(b=1).誌謝 本研究工作之完成承蒙中州技術(shù)學院專題研究計畫(編號:CCUT-94-EE09)之經(jīng)費補助，也參考了Shangping Guo先生提供的Matlab code，特此致謝。參考文獻1.E.Yablonovitch, "Inh

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22、ane Wave Expansion Method for Photonic Crystal Band Structure ComputationsShu-Hui LiaoDepartment of Electronic Engineering, Chungchou Institute of TechnologyKun-Hsien Huang Department of Electronic Engineering, Chungchou Institute of TechnologyChao-Chih HuangDepartment of Electronic Engineering, Chungchou Institute of TechnologyAbstract: The major property of photonic crystals is photonic band gap a frequency region where propagating waves are forbidden. Although three dimensional photonic crystals may provide the most potential applications, two dimensional photonic crystal