第三節(jié) Taylor中值定理

1、第三節(jié) Taylor中值定理Taylor（1685-1731，英國） 18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德爾塞克斯的埃德蒙頓出生。1709年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位。他在1712年當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員，并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位。同年（即1714年）出任英國皇家學(xué)會秘書，四年后因健康理由辭退職務(wù)。1717年，他以泰勒定理求解了數(shù)值方程。最后在1731年12月29日于倫敦逝世。泰勒的主要著作是1715年出版的正的和反的增量方法，書內(nèi)以下列形式陳述出他已于1712年7月給其老師梅欽（數(shù)學(xué)家 、天文學(xué)家）信中首先提出

2、的著名定理泰勒定理：式內(nèi)v為獨(dú)立變量的增量， 及 為流數(shù)。他假定z隨時間均勻變化，則 為常數(shù)。上述公式以現(xiàn)代形式表示則為：這公式是從格雷戈里牛頓插值公式發(fā)展而成的，當(dāng)x=0時便稱作麥克勞林定理。1772年 ，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了此公式之重要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但泰勒于證明當(dāng)中并沒有考慮級數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)， 這工作直至十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成。 泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論，使任何單變量函數(shù)都可展成冪級數(shù)；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒于書中還討論了微積分對一系列物理問題之應(yīng)用，其中以有關(guān)弦的橫向振動之結(jié)果尤為重要。他透過求解方程 導(dǎo)出了基本頻率公式，開創(chuàng)了研究弦振

3、問題之先河。此外，此書還包括了他于數(shù)學(xué)上之其他創(chuàng)造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。 1715年，他出版了另一名著線性透視論，更發(fā)表了再版的線性透視原理（1719）。他以極嚴(yán)密之形式展開其線性透 視學(xué)體系，其中最突出之貢獻(xiàn)是提出和使用“沒影點(diǎn)”概念， 這對攝影測量制圖學(xué)之發(fā)展有一定影響。另外，還撰有哲學(xué)遺作，發(fā)表于1793年。一、引入常用近似公式，充分?。瑢?fù)雜函數(shù)用簡單的一次多項(xiàng)式函數(shù)來近似表示，這是一個進(jìn)步。當(dāng)然這種近似表示式還比較粗糙。尤其當(dāng)較大時。 上述近似表達(dá)式至少可以在如下兩個方面進(jìn)行改進(jìn)：1、提高近似程度，其可能的辦法是提高多項(xiàng)式的次數(shù)；2、任何一種近似，應(yīng)告

4、訴它的誤差，否則會讓使用者“心中不安”。 將上述思想進(jìn)一步數(shù)學(xué)化： 對復(fù)雜函數(shù)，想找多項(xiàng)式函數(shù)近似表示它。當(dāng)然我們希望盡可能多的反映出的性態(tài)，如：（1）在某點(diǎn)處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值；（2）形式如何確定；（3）與的誤差二、做法1、多項(xiàng)式函數(shù)的構(gòu)造形式 設(shè)函數(shù)在含點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，所求的多項(xiàng)式為 .（1）其中都是待定常數(shù)。為了使與在含點(diǎn)的某鄰域內(nèi)盡可能地接近，要求，., .由于，于是按要求，,所以有 （2）（2）式稱為在點(diǎn)的Taylor多項(xiàng)式。2、Taylor中值定理（Taylor公式） 設(shè)函數(shù)在含點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對內(nèi)任一異于點(diǎn)的點(diǎn)，都有，其中，介于和之間。稱為Lagran

5、ge型余項(xiàng)。若令，則，。證明：記和反復(fù)應(yīng)用柯西中值定理。關(guān)于Taylor中值定理的幾點(diǎn)說明：（1）有時不需要明確的表達(dá)式，只用表示，稱為Peano余項(xiàng)。（2）當(dāng)時，Taylor中值定理即為Lagrange中值定理。（3）時，Taylor公式稱為Maclaurin(1698-1746)公式。（4）Taylor公式中Lagrange型余項(xiàng)內(nèi)含的既和有關(guān)，也和有關(guān)。（5）帶Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式要求有階導(dǎo)數(shù)，而帶Peano型余項(xiàng)的Taylor公式僅要求有階導(dǎo)數(shù)即可。（6）若，則余項(xiàng)估計(jì)式為可用于分析精確度，求函數(shù)展開項(xiàng)數(shù)等。三、基本初等函數(shù)的Maclaurin公式1、，；2、3、4、5、四、Taylor中值定理的應(yīng)用題型一、求在某點(diǎn)的展開式例1、按的冪展開多項(xiàng)式。例2、求的階Maclaurin公式。題型二、利用Taylor公式或Maclaurin公式求極限例3、求極限例4、例5、例6、例7、例8、求的值，使是的高階無窮小。題型三、利用Taylor公式證明等式例9、設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：至少存在一點(diǎn)，使。例10、設(shè)在上具三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使。例11、設(shè)，且，證明題型四、利用Tayl