思維特訓(xùn)(十一)　相似三角形中的輔助線作法歸類

1、.思維特訓(xùn)十一相似三角形中的輔助線作法歸類在添加輔助線時(shí)，所添加的輔助線往往能構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段，或得出等角、等邊，從而為證明三角形相似或進(jìn)展有關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系作輔助線的方法主要有以下幾種：1作平行線構(gòu)造“A型或“X型相似；2作平行線轉(zhuǎn)換線段比；3作垂直證明相似圖11S1類型一作平行線構(gòu)造“A型或“X型相似1如圖11S2，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AB延長線上一點(diǎn)，OE交BC于點(diǎn)F，假設(shè)ABa，BCb，BEc，求BF的長圖11S22如圖11S3，在ABC中，AD為BC邊上的中線，CF為任一直線，CF交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F.求證：.

2、圖11S33在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題讓學(xué)生探究：如圖11S4，在ABC中，D是BA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且，連接DF交AC于點(diǎn)E.1如圖，當(dāng)E恰為DF的中點(diǎn)時(shí)，懇求出的值；2如圖，當(dāng)aa0時(shí)，懇求出的值用含a的代數(shù)式表示考慮片刻后，同學(xué)們紛紛表達(dá)自己的想法：甲：過點(diǎn)F作FGAB交AC于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題；乙：過點(diǎn)F作FGAC交AB于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題；丙：過點(diǎn)D作DGBC交CA的延長線于點(diǎn)G，構(gòu)造相似三角形解決問題老師說：“這三位同學(xué)的想法都可以請參考上面某一種想法，完成第1問的求解過程，并直接寫出第2問中的值圖11S4類型二作平行線轉(zhuǎn)換線段的比4如圖

3、11S5，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，求的值圖11S55如圖11S6，等邊三角形ABC，D為AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，CDnDA，連接BD，M為線段BD上一點(diǎn)，AMD60°，連接AM并延長交BC于點(diǎn)E.1假設(shè)n1，那么_，_；2假設(shè)n2，如圖，求證：BM6DM；3當(dāng)n_時(shí)，M為BD的中點(diǎn)直接寫出結(jié)果，不要求證明圖11S662019·朝陽 ：如圖11S7，在ABC中，點(diǎn)D在AB上，E是BC的延長線上一點(diǎn)，且ADCE，連接DE交AC于點(diǎn)F.1猜測證明：如圖，在ABC中，假設(shè)ABBC，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：DFEF.下面是兩位學(xué)生的證明思路：思路1：過點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G，可通過證DF

4、GEFC得出結(jié)論；思路2：過點(diǎn)E作EHAB，交AC的延長線于點(diǎn)H，可通過證ADFHEF得出結(jié)論請你參考上面的思路，證明DFEF只用一種方法證明即可2類比探究：在1的條件下如圖，過點(diǎn)D作DMAC于點(diǎn)M，試探究線段AM，MF，F(xiàn)C之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論3延伸拓展：如圖，在ABC中，假設(shè)ABAC，ABC2BAC，m，請你用尺規(guī)作圖在圖中作出AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N不寫作法，只保存作圖痕跡，并用含m的代數(shù)式直接表示的值圖11S7類型三作垂直證相似7如圖11S8，在ABC中，C90°，D為邊AB的中點(diǎn)，M，N分別為邊AC，CB上的點(diǎn)，且DMDN.1求證：；2假設(shè)BC6，AC8,

5、 CM5，直接寫出CN的長圖11S88如圖11S9，在ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合，連接AD.問題引入：1如圖，當(dāng)D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，SABDSABC_；當(dāng)D是BC邊上任意一點(diǎn)時(shí)，SABDSABC_用圖中已有線段表示探究研究：2如圖，在ABC中，O是線段AD上一點(diǎn)不與點(diǎn)A，D重合，連接BO，CO，試猜測SBOC與SABC之比應(yīng)該等于圖中哪兩條線段之比，并說明理由拓展應(yīng)用：3如圖，O是線段AD上一點(diǎn)不與點(diǎn)A，D重合，連接BO并延長交AC于點(diǎn)F，連接CO并延長交AB于點(diǎn)E.試猜測的值，并說明理由圖11S99如圖11S10，一個(gè)直角三角形紙片ACB，其中，ACB90°，AC4

6、，BC3，E，F(xiàn)分別是AC，AB邊上的點(diǎn)，連接EF.1如圖，假設(shè)將直角三角形紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且S四邊形ECBF3SEDF，那么AE_；2如圖，假設(shè)將直角三角形紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且MFCA，求EF的長；3如圖，假設(shè)FE的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)N，CN1，CE，求的值圖11S10詳解詳析1解：如圖，過點(diǎn)O作OMBC交AB于點(diǎn)M.O是AC的中點(diǎn)，OMBC，M是AB的中點(diǎn)，即MBa，OM是ABC的中位線，OMBCb.OMBC，BEFMEO，即，BF.2證明：如圖，過點(diǎn)D作DGCF交AB于點(diǎn)G.DGCF，D為BC

7、的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，F(xiàn)GBGBF.EFDG，.3解：1甲同學(xué)的想法：如圖，過點(diǎn)F作FGAB交AC于點(diǎn)G，AEDGEF，.E為DF的中點(diǎn)，EDEF，ADGF.FGAB，CGFCAB，.，.乙同學(xué)的想法：如圖，過點(diǎn)F作FGAC交AB于點(diǎn)G，.E為DF的中點(diǎn)，EDEF，ADAG.FGAC，.，.丙同學(xué)的想法：如圖，過點(diǎn)D作DGBC交CA的延長線于點(diǎn)G，CG，CFEGDE，GDECFE，.E為DF的中點(diǎn)，EDEF，GDCF.DGBC，CG，BADG，ADGABC，.，.2如圖，過點(diǎn)D作DGBC交CA的延長線于點(diǎn)G，CG，CFEGDE，GDECFE，.a，EDaEF，DGaCF.DGBC，CG，BA

8、DG，ADGABC，.，即BC3CF.4解：取CF的中點(diǎn)G，連接BG.B為AC的中點(diǎn)，且BGAF.又E為BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為DG的中點(diǎn)，.5解：1當(dāng)n1時(shí)，CDDA.ABC是等邊三角形，BDAC，BAC60°，ADM90°.又AMD60°，MAD30°，BAEBACMAD30°，即BAEEAD，AE為ABC的中線，1.在AMD中，DMAM30°角所對的直角邊等于斜邊的一半BAMABM30°，AMBM，2.2證明：AMDABDBAE60°，CAEBAE60°，ABDCAE.又BAAC，BADACE60°

9、;，BADACEASA，ADCE，CDBE.如圖，過點(diǎn)C作CFBD交AE的延長線于點(diǎn)F，由×得，BM6DM.3M為BD的中點(diǎn)，BMMD.BADACE，ADCE，CDBE.AMDACE，BMEBCD，AD，CD，由×得CDDA，n.6解：1思路1：如圖，過點(diǎn)D作DGBC，交AC于點(diǎn)G.ABBC，ABCA.DGBC，DGABCA，DGFECF，ADGA，DADG.ADCE，DGCE.又DFGEFC，DFGEFC，DFEF.思路2：如圖，過點(diǎn)E作EHAB，交AC的延長線于點(diǎn)H.ABBC，ABCA.EHAB，AH.ECHBCA，HECH，CEEH.ADCE，ADEH.又AFDHFE

10、，DFAEFH，DFEF.2結(jié)論：MFAMFC.證明：如圖，由思路1可知：DADG，DFGEFC，F(xiàn)GFC.DMAG，AMGM.MFFGGM，MFAMFC.3AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，如圖所示連接DN，過點(diǎn)D作DGCE交AC于點(diǎn)G.設(shè)DGa，BCb，那么ABACmb，ADAGma.ABC2BAC，設(shè)BACx，那么BACB2x，5x180°，x36°，A36°.NAND，AADN36°.ADGB72°，NDGA36°.又DGNAGD，GDNGAD，DG2GN·GA.易知DGDNANa，a2maa·ma，兩邊同除以

11、a，得m2amaa0.DGCE，DGCEFGFCDGDA1m.CGmbma，F(xiàn)G·mba，F(xiàn)NGNFGmaamba，.7解：1證明：如圖，過點(diǎn)D作DPBC于點(diǎn)P，DQAC于點(diǎn)Q，DQMDPN90°.又C90°，四邊形CPDQ為矩形，QDP90°，即MDQMDP90°.DMDN，MDN90°，即MDPNDP90°，MDQNDP，DMQDNP，.D為AB的中點(diǎn)，DQBC，DPAC，DQBC，DPAC，.2由題意得AQCQ4，MQCMCQ541，DQBC3，DPAC4.DMQDNP，NP.又CPPB3，CN3.8解：112BDBC

12、2猜測SBOC與SABC之比應(yīng)該等于ODAD.理由：如圖，分別過點(diǎn)O，A作BC的垂線OE，AF，垂足分別為E，F(xiàn)，OEAF，ODADOEAF.SBOCBC·OE，SABCBC·AF，SBOCSABCOEAFODAD.3猜測的值是1.理由如下：由2可知：1.9解：1將ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，EFAB，AEFDEF，SAEFSDEF.S四邊形ECBF3SEDF，SABC4SAEF.在RtABC中，ACB90°，AC4，BC3，AB5.EAFBAC，RtAEFRtABC，2，即2，AE2.5.2連接AM交EF于點(diǎn)O，如圖，將ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，AEEM，AFMF，AFEMFE.MFCA，AEFMFE，AEFAFE，AEAF，AEEMMFAF，四邊形AEMF為菱形設(shè)AEx，那么EMx，CE4x.四邊形AEMF為菱形，EMAB，CMECBA，即，解得x，CM.在RtAC