曲線與方程含答案

1、曲線與方程一、知識(shí)疏理：1、直線截曲線所得弦長(zhǎng)的計(jì)算公式：或；2、求曲線方程的步驟：（1）建立平面直角坐標(biāo)系；（2）設(shè)為軌跡上任意一點(diǎn)；（3）寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)所滿足的軌跡條件；（4）將軌跡條件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的含的解析式，并將所得結(jié)果化簡(jiǎn)，即得軌跡的方程；（5）證明滿足方程的任意一組實(shí)數(shù)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)必在軌跡上。3、求軌跡方程的一般方法：（1）直接法；（2）代入法；（3）參數(shù)法。二、典型例題：1、若直線與曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值。解：當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，符合題意；當(dāng)時(shí)，由得；綜上所述，或。2、（求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程）（1）已知兩個(gè)定點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之比為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）的邊長(zhǎng)為，邊

2、上的中線長(zhǎng)為，試求頂點(diǎn)的軌跡方程；（3）已知，動(dòng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（4）求直線與直線的交點(diǎn)的軌跡方程。解：（1）以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，由已知可得，故所求軌跡方程為；（2）以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系設(shè)，由中點(diǎn)公式得（3）設(shè)，由中點(diǎn)公式得，即所求軌跡方程為；（4）交點(diǎn)為設(shè)，消參得，即所求軌跡方程為。3、已知曲線的方程是求：（1）曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的曲線的方程；（2）曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程。解：（1）在曲線上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則點(diǎn)在曲線上，得，即曲線的方程為；（2）在曲線上任取一點(diǎn)，它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則點(diǎn)在曲線上，得，即曲線

3、的方程為。4、（弦長(zhǎng)公式）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值。解：由，。三、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固：1、下列各組方程中表示同一曲線的是（ ）； ； ； 2、若曲線與軸有公共點(diǎn)，則的取值范圍是3、直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)為4、方程表示的曲線是（ ）兩個(gè)點(diǎn)； 四個(gè)點(diǎn)； 兩條直線； 四條直線。5、點(diǎn)到兩直線的距離之積為，則點(diǎn)的軌跡方程為6、已知，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)的軌跡方程為四、能力提高：1、已知直線和的夾角平分線為，如果直線的方程為，則的方程為2、方程的曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)中的（ ）4個(gè)； 3個(gè)； 2個(gè)； 1個(gè)。3、以曲線與曲線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)作多邊形，則此多邊形的面積為4、在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程表示的曲線與直線

4、的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 0個(gè) 5、方程表示的曲線關(guān)于直線對(duì)稱的曲線的方程為6、若點(diǎn)在曲線上，是原點(diǎn)，則的最小值為7、設(shè)兩點(diǎn)，求（1）以為一條直角邊的的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）滿足面積為的點(diǎn)的軌跡方程；（3）以為斜邊的的頂點(diǎn)的軌跡方程；（4）以為一條邊的矩形（按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┑捻旤c(diǎn)的軌跡方程。解：（1）設(shè)，或故所求軌跡方程為或；（2）由已知得，故所求軌跡方程為或；（3）由已知得的中點(diǎn)為，因?yàn)槭且詾樾边叺闹苯侨切?，所以點(diǎn)到的距離，又點(diǎn)與點(diǎn)不重合，故所求軌跡方程為；（4）因?yàn)榘茨鏁r(shí)針?lè)较蚺帕?，所以且點(diǎn)在所在直線的上方故所求軌跡方程為。8、畫(huà)出方程所對(duì)應(yīng)的曲線：。 或9、過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)，則方法一：，故所求軌跡方程為；方法二：由勾股定理，可得故所求軌跡方程為；方法三：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，故，故所求軌跡方程為。10、已知點(diǎn)，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，表示與的面積之差，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)或。五、拓展思維：1、已知過(guò)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)，分別過(guò)作軸的平行線與函數(shù)的圖像交于兩點(diǎn)（1）證明：和原點(diǎn)在同一直線上；（2）當(dāng)平行于軸時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線方程為，又，即，故三點(diǎn)共線；（2）因?yàn)槠叫杏谳S，所以，又因?yàn)椤?、方程和 表示的曲線有兩