曲線積分與曲面積分19246

1、第十章 曲線積分與曲面積分§10.1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分教學(xué)目的：了解對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算 教學(xué)難點(diǎn)：弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算 教學(xué)內(nèi)容：一、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念與性質(zhì)1 曲線形構(gòu)件質(zhì)量設(shè)一構(gòu)件占面內(nèi)一段曲線弧，端點(diǎn)為，線密度連續(xù)求構(gòu)件質(zhì)量。解：（1）將分割（2），（3）（4）2定義 為面內(nèi)的一條光滑曲線弧，在上有界，用將分成小段，任取一點(diǎn) 作和，令，當(dāng)時(shí)，存在，稱此極限值為在上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一類曲線積分）記為 注意：（1）若曲線封閉，積分號(hào)（2）若連續(xù)，則存在，其結(jié)果為一常數(shù).（3）幾何意義=1，則=L（L為

2、弧長(zhǎng)）（4）物理意義 M=（5）此定義可推廣到空間曲線=（6）將平面薄片重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量推廣到曲線弧上重心：，。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：， ， （7）若規(guī)定L的方向是由A指向B，由B指向A為負(fù)方向，但與的方向無關(guān)3對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的性質(zhì)a：設(shè)，則=+b：=c：=。二 對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算定理：設(shè)在弧上有定義且連續(xù)，方程 （），在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則曲線積分存在，且=。說明：從定理可以看出（1） 計(jì)算時(shí)將參數(shù)式代入，在上計(jì)算定積分。（2） 注意：下限一定要小于上限，< （恒大于零，>0）（3） ：, 時(shí)，=同理：，時(shí)，=(4) 空間曲線：， =例1計(jì)算曲線積分，其中是第一象限內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的單位圓弧

3、解 () ：=() 若是象限從到的單位圓?。?）=+=+=+ =(2) 若： () =+(3) ：，=例2計(jì)算：所圍成的邊界解 在上 = 在上 =在上 =+例3計(jì)算：解 ：，= 或=例4： 圍成區(qū)域的整個(gè)邊界解 = 交點(diǎn)=+=+ =+=+小結(jié) 1.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的概念和性質(zhì)，2.對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用作業(yè) P23 1 P24 2、3§10.2對(duì)坐標(biāo)的曲線積分教學(xué)目的：了解對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念和性質(zhì)，理解和掌握對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算法和應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算 教學(xué)內(nèi)容：一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義和性質(zhì)1引例：變力沿曲線所作的功。 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)

4、在面內(nèi)從點(diǎn)沿光滑曲線弧移到點(diǎn)，受力，其中，在上連續(xù)。求上述過程所作的功解：（1）分割 先將分成個(gè)小弧段（2）代替 用近似代替，近似代替內(nèi)各點(diǎn)的力，則沿所 做的功（3） 求和 （4）取極限 令的長(zhǎng)度2 定義： 設(shè)L為面內(nèi)從點(diǎn)A到點(diǎn)B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)在L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一點(diǎn)列把L分成個(gè)有向小弧段設(shè)，點(diǎn)為 上任意取定的點(diǎn).如果當(dāng)個(gè)小弧段長(zhǎng)度的最大值時(shí)，的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記作.類似地，如果的極限值總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對(duì)坐標(biāo)曲線積分，記作.即，說明：（1）當(dāng)在上連續(xù)時(shí)，則，存在 （2）可推廣到空間有向曲線上 （

5、3）為有向曲線弧，為與方向相反的曲線，則=，= （4）設(shè)=，則=+ 此性質(zhì)可推廣到=組成的曲線上。二、計(jì)算定理：設(shè)，在上有定義，且連續(xù),當(dāng)單調(diào)地從變到時(shí)，點(diǎn)從的起點(diǎn)沿變到終點(diǎn)，且在以，為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則存在，且=注意1）：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，：終點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù) 不一定小于 2）若由 給出 3）此公式可推廣到空間曲線：，：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，：終點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)例1 計(jì)算：擺線，從點(diǎn)到點(diǎn)。解：原式= = = =例2：1）曲線 2）折線 起點(diǎn)為，終點(diǎn)為.解1）原式= 2） 原式=1故一般來說，曲線積分當(dāng)起點(diǎn)、終點(diǎn)固定時(shí)，與路徑有關(guān) 例3設(shè)，計(jì)算由到直線練習(xí)：1計(jì)算，其中為（1）的拋物線上從到 一段

6、弧。（2）拋物線上從到的一段弧。（3）有向折線，這里依次是點(diǎn)，結(jié)論：起點(diǎn)，終點(diǎn)固定，沿不同路徑的積分值相等。2計(jì)算從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段3 兩類曲線積分的關(guān)系設(shè)有向曲線弧的起點(diǎn) 終點(diǎn) 取弧長(zhǎng)為曲線弧的參數(shù)。 則若在 上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則=其中，是的切線向量的方向余弦，且切線向量與 的方向一致，又=同理對(duì)空間曲線：=為在點(diǎn)處切向量的方向角，用向量表示：，為上主單位切向量，為有向曲線元小結(jié)：1.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分概念和性質(zhì) 2. 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算 3.兩類曲線積分的關(guān)系作業(yè)：P2526，4§10.3Green公式教學(xué)目的：理解和掌握Green公式及應(yīng)用 教學(xué)重點(diǎn)：Grenn公式

7、 教學(xué)難點(diǎn)：格林公式的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容：一、Green公式1 單連通區(qū)域。設(shè)為單連通區(qū)域，若內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于。稱為單連通區(qū)域（不含洞），否則稱為復(fù)連通區(qū)域（含洞）。規(guī)定平面的邊界曲線的方向，當(dāng)觀看者沿行走時(shí)，內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊，如定理1. 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有=。為的取正向的邊界曲線。即格林公式證：對(duì)既為- 型又為-型區(qū)域：連續(xù)，=： 又 =+ =對(duì)于-型區(qū)域，同理可證 =原式成立對(duì)于一般情況，可引進(jìn)輔助線分成有限個(gè)符合上述條件區(qū)域，在上應(yīng)用格林公式相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證。幾何應(yīng)用，在格林公式中，取，=說明

8、：1）格林公式對(duì)光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立 2）記法= 3）在一定條件下用二重積分計(jì)算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計(jì)算二重積分。 4）幾何應(yīng)用。 例1 計(jì)算： 解： 原式=， ，例2 計(jì)算星形線圍成圖形面積 =二 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件1） 與路無關(guān)：是為一開區(qū)域，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若內(nèi)任意指定兩點(diǎn)及內(nèi)從到的任意兩條曲線恒成立，則稱在內(nèi)與路徑無關(guān)。否則與路徑有關(guān)。 例1 ：從到的折線從到的直線 解：= 3：,即 =定理：設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件相互等價(jià)（1）內(nèi)任一閉曲線，=。（2）對(duì)內(nèi)任一曲線，與路徑無關(guān)（3）在內(nèi)存在某一函數(shù)使在內(nèi)成立。（4），在

9、內(nèi)處處成立。證明：（1）（2） 在內(nèi)任取兩點(diǎn)，及連接的任意兩條曲線，為內(nèi)一閉曲線 由（1）知，即+=（2）（3）若在內(nèi)與路徑無關(guān)。當(dāng)起點(diǎn)固定在（）點(diǎn)，終點(diǎn)為后，則是的函數(shù)，記為。下證：=的全微分為=。，連續(xù)，只需證， 由定義=+ =+=， 即， 同理。（3）（4）若=，往證=， 由具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)故=（4）（1）設(shè)為內(nèi)任一閉曲線，為所圍成的區(qū)域。=。例2曲線積分， 為過，和點(diǎn)的圓弧。解： 令，則，與路徑無關(guān)。 取積分路徑為。+=例3 計(jì)算， （1）為以為心的任何圓周。 （2）為以任何不含原點(diǎn)的閉曲線。解：（1）令，在除去處的所有點(diǎn)處有=，做以0為圓心，為半徑作足夠小的圓使小圓含在內(nèi)，=，即

10、= （2）=02 二元函數(shù)的全微分求積與路徑無關(guān)，則為某一函數(shù)的全微分為=+注：有無窮多個(gè)。例4 驗(yàn)證：是某一函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)原函數(shù)。解：令，原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取，=例5 計(jì)算， 為從到再到，是半圓弧 解：令， ， 添加直線，則，原式+= =原式=例6設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，求，其中 為從點(diǎn)到的直線段。 解；令， =，故原積分與路徑無關(guān)，添構(gòu)成閉路，原式+原式= 練習(xí)：1.證明：若為連續(xù)函數(shù)，而為無重點(diǎn)的按段光滑的閉曲線，則。 2.確定的值，使在不經(jīng)過直線的區(qū)域上，與路徑無關(guān)，并求當(dāng)為從點(diǎn)到點(diǎn)的路徑時(shí)的值。 ， 3設(shè)，為上的連續(xù)函數(shù)，證明小結(jié)： 1. 格林公式及應(yīng)用，積分與路徑

11、無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題，全微分求積。2. 格林公式使有些問題簡(jiǎn)化，有時(shí)可計(jì)算不封閉曲線積分，只需添上一條線使之成為封閉曲線，再減去所添曲線的積分值即可。作業(yè)：P27 5 P28 6 P29 7，8§10.4 對(duì)面積的曲線積分 教學(xué)目的：理解和掌握對(duì)面積的曲線積分的概念性質(zhì)及計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)面積的曲線積分的計(jì)算教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)面積的曲線積分的計(jì)算 教學(xué)內(nèi)容：一：概念和性質(zhì)1空間曲面質(zhì)量在對(duì)平面曲線弧長(zhǎng)的曲線積分中，將曲線換為曲面，線密度換為面密度，二元函數(shù)換為三元函數(shù)即可得對(duì)面積的曲面積分。設(shè)有一曲面。其上不均勻分布著面密度為上的連續(xù)函數(shù)，求曲面的質(zhì)量。經(jīng)分割，代替，求和，取極限四步，2定義

12、設(shè)曲面是光滑的，在上有界，把分成小塊，任取，作乘積，再作和，當(dāng)各小塊曲面直徑的最大值時(shí)，這和的極限存在，則稱此極限為在上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面，記，即=說明：（1）為封閉曲面上的第一類曲面積分 （2）當(dāng)連續(xù)時(shí)， 存在 （3）當(dāng)為光滑曲面的密度函數(shù)時(shí)，質(zhì)量 （4）=1時(shí)，為曲面面積 （5）性質(zhì)同第一類曲線積分 （6）若為有向曲面，則與的方向無關(guān)。二、計(jì)算 定理：設(shè)曲面的方程，在面的投影，若在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則=說明：（1）設(shè)為單值函數(shù) （2）若：或可得到相應(yīng)的計(jì)算公式。 （3）若為平面里與坐標(biāo)面平行或重合時(shí)=例1 計(jì)算，為立體的邊界解：設(shè)，為錐面，為上部分，在面投影為=，+

13、 = =例2 計(jì)算，由，的邊界 解：，：，：，：由對(duì)稱性= =。=原式=）+（）+（）=例3 計(jì)算，為被平面所割得部分解：設(shè)第一象限內(nèi)的部分為：，=或 = =練習(xí)：，6（1）（3） ，4， 7小結(jié)：（1）對(duì)面積的曲線積分的概念和性質(zhì) （2）對(duì)面積的曲線積分的計(jì)算作業(yè)：P30，9 P31，10 §10.5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分教學(xué)目的：理解和掌握對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：一、定義、性質(zhì)1有向曲面 側(cè)：設(shè)曲面，若取法向量朝上（與軸正向的夾角為銳角），則曲面取定上側(cè)，否則為下側(cè)；對(duì)曲面，若的方向與正向夾角為銳角，取定曲面

14、的前側(cè)，否則為后側(cè)，對(duì)曲面，的方向與正向夾角為銳角取定曲面為右側(cè)，否則為左側(cè)；若曲面為閉曲面，則取法向量的指向朝外，則此時(shí)取定曲面的外側(cè)，否則為內(nèi)側(cè)，取定了法向量即選定了曲面的側(cè)，這種曲面稱為有向曲面2投影 設(shè)是有向曲面，在上取一小塊曲面，把投影到面上，得一投影域 （表示區(qū)域，又表示面積），假定上任一點(diǎn)的法向量與軸夾角的余弦同號(hào)，則規(guī)定投影為 實(shí)質(zhì)將投影面積附以一定的符號(hào)，同理可以定義在面，面上的投影，3流向曲面一側(cè)的流量 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮的流體（設(shè)密度為1）的速度場(chǎng)為=+，為其中一片有向曲面，在上連續(xù)，求單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體在此閉域上各點(diǎn)處流速為常向量，又設(shè)為該平面的單位法向量，則

15、在單位時(shí)間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一底面積為，斜高為的斜柱體，斜柱體體積為時(shí)，此即為通過區(qū)域流向所指一側(cè)的流量。當(dāng)時(shí)，流量為0，當(dāng)時(shí)，流量為負(fù)任稱為流體通過閉區(qū)域流向所指一側(cè)的流量均稱為。 解：但所考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速也不是常向量，故采用元素法。把分成小塊，設(shè)光滑，且連續(xù)，當(dāng)很小時(shí)，流過的體積近似值為以為底，以為斜高的柱體，任，為處的單位法向量，故流量，= 又，最大曲面直徑4定義 設(shè)為光滑的有向曲面，在上有界，把分成塊，在面上投影，是上任一點(diǎn)，若，存在，稱此極限值為在上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，或在有曲面上的第二類曲面積分，記為。類似對(duì)及曲面積分分別為=說明：（1）有向，且光滑 （

16、2）在上連續(xù)，即存在相應(yīng)的曲面積分 （3）+= （4）穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體，流向指定側(cè)的流量= （5）若，則+ （6）設(shè)為有向曲面，表示與相反的側(cè) 則=二、計(jì)算 定理：設(shè)由給出的曲面的上側(cè)，在面上的投影為，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，則=。取上側(cè)，則，即，又為上的點(diǎn)，則，=，令，取極限則= 說明：（1）將用代替，將投影到面上，再定向，則= （2）若：取下側(cè)，則，= （3），與此類似：時(shí)，右側(cè)為正，左側(cè)為負(fù)：時(shí)，前側(cè)為正，后側(cè)為負(fù)例1 計(jì)算，為，的上側(cè)解：將向面投影為半圓，= =由對(duì)稱性=，=原式=注意： 必須為單值函數(shù)，否則分成片曲面 例2為與圍成，取外側(cè)。解：；園錐面上底，上側(cè) 園錐

17、面?zhèn)让?，為前?cè)， 為后側(cè)=， ， ， += =+=原式=三、兩類曲面積分間的關(guān)系 若：，在面的投影域，在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在上連續(xù)，取上側(cè)=，= =若取下側(cè)，= =類似=， =為在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。例2 計(jì)算是介于和之間部分的下側(cè)解： ， = = =原式= =練習(xí)： 設(shè)是球面的外側(cè)，投影域： ，下面等式是否成立？將錯(cuò)的更正 （1）= （2） （3）兩類曲面積分間的關(guān)系用向量形式表示如下：其中 =，為有向曲面上點(diǎn)，處的單位法向量，=稱為有向曲面元，為向量在向量上的投影小結(jié)：（1）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的感念和性質(zhì) （2）對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算 （3）兩類曲面積分的聯(lián)系作業(yè)：P32，11 P33

18、 ，12§10.6高斯公式，通量與散度教學(xué)目的：理解和掌握高斯公式及應(yīng)用，了解通量與散度的概念 教學(xué)重點(diǎn)：高斯公式 教學(xué)難點(diǎn)：高斯公式的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容：一. Gauss公式定理，設(shè)空間閉區(qū)域是有分片光滑的閉曲面所圍成的，函數(shù)，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則= =其中是的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)，是上點(diǎn)處的法向量的方向余弦，稱之為高斯公式。證明：設(shè)在面上證明：設(shè)在面上的投影域，且過內(nèi)部且平行于軸的直線與的邊界曲面的交點(diǎn)恰好兩個(gè)，則由組成，取下側(cè)，取上側(cè)，是以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面的一部分，取外側(cè)，類似：若過內(nèi)部且平行于x軸，y 軸的直線與的邊界曲面的交點(diǎn)也且由兩個(gè)時(shí)有(1)+(2)

19、+(3)即可證得高斯公式若不滿足上述條件，可添加輔助面將其分成符號(hào)條件的若干塊，且在輔助面兩側(cè)積分之和為零例1 的外側(cè)解：令例2 計(jì)算的上側(cè)解：添上與構(gòu)成封閉曲面令而原式=二、通量與散度高斯公式：右端物理意義：為單位時(shí)間內(nèi)（流體經(jīng)過流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量）離開閉域的流體的總質(zhì)量流體不可壓縮且流動(dòng)是穩(wěn)定的，有流體離開的同時(shí)，其部必須有產(chǎn)生流體的“源頭”產(chǎn)生同樣多的流體來進(jìn)行補(bǔ)充，故左端可解釋為分布在內(nèi)的源頭在單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量高斯公式可用向量形式表示：同除閉區(qū)域的體積:左端為內(nèi)的源頭在單位時(shí)間、單位體積內(nèi)所產(chǎn)生流體質(zhì)量的平均值，應(yīng)用中值定理得：，令縮為一點(diǎn)取極限得，稱為在點(diǎn)M的散度，記，即散度可看成穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體在點(diǎn)M的源頭強(qiáng)度單位時(shí)間內(nèi)、單位體積所產(chǎn)生的流質(zhì)的質(zhì)量.如果為負(fù)時(shí)，表示點(diǎn)M處流體在消失一般：若向量場(chǎng)，有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為場(chǎng)內(nèi)一片有向曲面，為上點(diǎn)處的單位法向量，則稱為向量場(chǎng)通過