期末考試試卷A答案—彈性力學(xué)

1、姓名 學(xué)號(hào) 學(xué)院 專(zhuān)業(yè) 座位號(hào) ( 密 封 線 內(nèi) 不 答 題 )密封線線_ _ 誠(chéng)信應(yīng)考,考試作弊將帶來(lái)嚴(yán)重后果！ 華南理工大學(xué)2011年期末考試試卷（A）卷彈性力學(xué)注意事項(xiàng)：1. 考前請(qǐng)將密封線內(nèi)各項(xiàng)信息填寫(xiě)清楚； 2. 所有答案請(qǐng)直接答在答題紙上； 3考試形式：閉卷； 4. 本試卷共三大題，滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間120分鐘。題 號(hào)一二三總分得 分評(píng)卷人一、簡(jiǎn)答題（共20分）1、五個(gè)基本假定在建立彈性力學(xué)基本方程時(shí)有什么用途？(10分)答：1、連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可以看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的基本方程時(shí)就可以用坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來(lái)表示他們的變化

2、規(guī)律。 (2分)2、完全彈性假定：引用這一完全彈性的假定還包含形變與形變引起的正應(yīng)力成正比的含義，亦即二者成線性的關(guān)系，符合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。 （4分）3、均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點(diǎn)的物理性質(zhì)顯然都是相同的。因此，反映這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)（如彈性模量E和泊松比等）就不隨位置坐標(biāo)而變化。 （6分）4、各向同性假定：所謂“各向同性”是指物體的物理性質(zhì)在各個(gè)方向上都是相同的。進(jìn)一步地說(shuō)，就是物體的彈性常數(shù)也不隨方向而變化。 （8分）5、小變形假定：我們研究物體受力后的平衡問(wèn)題時(shí)，不用考慮物體尺寸的改變而仍然按照原來(lái)的尺寸和形狀進(jìn)行計(jì)算。同時(shí)，在研究物體的變形

3、和位移時(shí)，可以將他們的二次冪或乘積略去不計(jì)，使得彈性力學(xué)中的微分方程都簡(jiǎn)化為線性微分方程。 在上述假定下，彈性力學(xué)問(wèn)題都化為線性問(wèn)題，從而可以應(yīng)用疊加原理。 （10分）2、試分析簡(jiǎn)支梁受均布荷載時(shí)，平面截面假設(shè)是否成立？（5分）解：彈性力學(xué)解答和材料力學(xué)解答的差別，是由于各自解法不同。簡(jiǎn)言之，彈性力學(xué)的解法，是嚴(yán)格考慮區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程和物理方程，以及邊界上的邊界條件而求解的，因而得出的解答是比較精確的。而在材料力學(xué)中沒(méi)有嚴(yán)格考慮上述條件，因而得出的是近似解答。例如，材料力學(xué)中引用了平面假設(shè)而簡(jiǎn)化了幾何關(guān)系，但這個(gè)假設(shè)對(duì)一般的梁是近似的。所以，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，不成立。3、為什么在主要邊界

4、（占邊界絕大部分）上必須滿(mǎn)足精確的應(yīng)力邊界條件，教材中式（2-15），而在次要邊界（占邊界很小部分）上可以應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來(lái)代替？如果在主要邊界上用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替教材中式（2-15），將會(huì)發(fā)生什么問(wèn)題？（5分）解：彈性力學(xué)問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)物理方程中的邊值問(wèn)題，而要邊界條件完全得到滿(mǎn)足，往往遇到很大的困難。這時(shí)，圣維南原理可為簡(jiǎn)化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應(yīng)力分布，對(duì)遠(yuǎn)處的應(yīng)力影響可以忽略不計(jì)。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個(gè)應(yīng)力邊

5、界條件來(lái)代替精確的邊界條件。教材中式（2-15），就會(huì)影響大部分區(qū)域的應(yīng)力分布，會(huì)使問(wèn)題的解答具有的近似性。三、計(jì)算題（80分）2.1 已知薄板有下列形變關(guān)系：式中A,B,C,D皆為常數(shù)，試檢查在形變過(guò)程中是否符合連續(xù)條件，若滿(mǎn)足并列出應(yīng)力分量表達(dá)式。（10分）1、 相容條件：將形變分量帶入形變協(xié)調(diào)方程（相容方程）其中 所以滿(mǎn)足相容方程，符合連續(xù)性條件。 （4分）2、 在平面應(yīng)力問(wèn)題中，用形變分量表示的應(yīng)力分量為 （10分）2.2如圖所示水壩，試寫(xiě)出其邊界條件。（10分）左側(cè)面： （2分）由應(yīng)力邊界條件公式，有 （4分） （6分）右側(cè)面： （8分） （10分）2.3 圖示懸臂梁，梁的橫截面為矩

6、形，其長(zhǎng)度為L(zhǎng),寬度取為1，高度為2h,右端固定、左端自由，荷載分布在其右端上，其合力為P（不計(jì)體力），求梁的應(yīng)力分量。（20分）解：這是一個(gè)平面應(yīng)力問(wèn)題，采用半逆解法求解。（1）選取應(yīng)力函數(shù)。由材料力學(xué)可知，懸臂梁任一截面上的彎矩方程M（x）與截面位置坐標(biāo)x成正比，而該截面上某點(diǎn)處的正應(yīng)力又與該點(diǎn)的坐標(biāo)y成正比，因此可設(shè) (a) (3分)式中的為待定常數(shù)。將式（a）對(duì)y積分兩次，得 (b)式中的，為x的待定函數(shù)，可由相容方程確定。將式（b）代入相容方程， 得 （5分）上式是y的一次方程，梁內(nèi)所有的y值都應(yīng)是滿(mǎn)足它，可見(jiàn)它的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須為零，即，積分上二式，得式中為待定的積分常數(shù)。將，代

7、入式（b），得應(yīng)力函數(shù)為.(c) （8分）(2)應(yīng)力分量的表達(dá)式 （10分）(3)考察應(yīng)力邊界條件：以確定各系數(shù)，自由端無(wú)水平力；上、下部無(wú)荷載；自由端的剪力之和為P，得邊界條件 ,自然滿(mǎn)足； ,得; （12分）上式對(duì)x的任何值均應(yīng)滿(mǎn)足，因此得，即 （14分），得X取任何值均應(yīng)滿(mǎn)足，因此得. （16分）將式（e）代入上式積分，得計(jì)算得 , （18分）其中,橫截面對(duì)Z軸的慣性矩。最后得應(yīng)力分量為 （20分）2.4 如題下圖所示的懸臂梁，長(zhǎng)度為l，高度為h, l>>h,在上邊界受均布荷載q，試檢驗(yàn)應(yīng)力函數(shù)能否成為此問(wèn)題的解？如可以，試求出應(yīng)力分量。 （10分）解 （1）相容條件將代入相

8、容方程，得，若滿(mǎn)足相容方程，有 （2分） (2)應(yīng)力分量表達(dá)式 （4分）(3)考察邊界條件;主要邊界上，應(yīng)精確滿(mǎn)足應(yīng)力邊界條件（6分）在次要邊界上x(chóng)=0上，主矢和主矩為零，應(yīng)用圣維南原理，用三個(gè)積分的應(yīng)力邊界條件代替 (e) 聯(lián)立求解式（a）,(b),(c),(d)和（e），得 （8分）將各系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得 （10分）2.5楔形體在兩側(cè)面上受有均布剪力q,如下圖所示，試求其應(yīng)力分量。（10分） 【解】（1）應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)，進(jìn)行求解。由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量 （2分）（2）考察邊界條件：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，得 （a） (b) (c) (d) （4分）同式（a）得 (e)同式（b）得 (f)同式（c）

9、得 (g)同式（d）得 (h) （6分）式(e) 、(f) 、(g)、 (h)聯(lián)立求解，得 （8分）將以上各系數(shù)代入應(yīng)力分量，得 （10分）2.6 設(shè)半平面體在直邊界上受有集中力偶，單位寬度上力偶矩為M，如下圖所示，試求應(yīng)力分量。 （20分） 【解】應(yīng)用半逆解法求解。（1） 按量綱分析方法，單位寬度上的力偶矩與力的量綱相同。應(yīng)力應(yīng)與有關(guān)，由于應(yīng)力的量綱是單位面積上的力，即L-1MT-2，應(yīng)力只能以形勢(shì)組合。 （2分）（2） 應(yīng)比應(yīng)力的長(zhǎng)度量綱高二次冪，可假設(shè)。（3） 將代入相容方程，得 （4分）刪去因子，得一個(gè)關(guān)于的常微分方程。令其解為，代入上式，可得到一個(gè)關(guān)于的特征方程， （a）（6分）其解為，于是得到的四個(gè)解；前兩項(xiàng)又可以組合為正弦、余弦函數(shù)。由此得 (b)(8分)本題中結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)于的x軸，而M是反對(duì)稱(chēng)荷載，因此，應(yīng)力應(yīng)反對(duì)稱(chēng)于x軸，為的奇函數(shù)，從而得A=D=0。 （c）（10分）（4）由應(yīng)力函數(shù)得應(yīng)力分量的表達(dá)式 （12分）（5）考察邊界條件。由于原點(diǎn)O有集中力偶作用，應(yīng)分別考察大邊界上的條件和原點(diǎn)附近的條件。