微積分同步練習

1、§8.1向量及其線性運算（1）、（2）、（3）、（4）一、 設，試用表示二、為三個模為1的單位向量，且有成立，證明：可構成一個等邊三角形三、 把的邊四等分，設分點依次為，再把各分點與點連接，試以表示向量和四、 已知兩點和，試用坐標表示式表示向量及五、 在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？并畫出前兩個：，六、 指出下列各點的位置，觀察其所具有的特征，并總結出一般規(guī)律：，七、 求點關于（1）各坐標面；（2）各坐標軸；（3）坐標原點的對稱點的坐標§8.1向量及其線性運算（5） §8.2數量積 向量積一、 試證明以三點為頂點的三角形是等腰直角三角形二、 設已知兩點

2、，計算向量的模、方向余弦和方向角，并求與方向一致的單位向量三、 設，求在軸上的投影及在軸上的分向量四、 已知為三個模為1的單位向量，且，求之值五、 已知，計算：； ； 六、 設，問滿足何關系時，可使與軸垂直？七、 已知，求的面積§8.3曲面及其方程一、 一動點與兩定點等距離，求這動點的軌跡方程二、 方程表示什么曲面？三、 將平面上的雙曲線分別繞軸及軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程四、 指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形？； 五、 說明下列旋轉曲面是怎樣形成的？； 六、 指出下列方程所表示的曲面：； ； §8.4空間曲線及其方程 §8

3、.5平面及其方程(1)一、 填空題：1曲面與平面的交線圓的方程是，其圓心坐標是，圓的半徑為2曲線在面上的投影曲線為3螺旋線,在面上的投影曲線為4上半錐面（）在面上的投影為，在面上的投影為，在面上的投影為二、 選擇題：1方程在空間解析幾何中表示（）、橢圓柱面（）、橢圓曲線（）、兩個平行平面（）、兩條平行直線2參數方程的一般方程是（）、 (B)、 (C)、 (D)、3平面的位置是 （）、平行坐標面。（）、平行軸 （）、垂直于軸（）、通過軸4下列平面中通過坐標原點的平面是 （）、 ()、 (C)、 (D)、三、 化曲線為參數方程 四、 畫出下列曲線在第一卦限內的圖形：； . 五、 求通過三點、和的平

4、面方程§8.5平面及其方程(2)(3) §8.6空間直線及其方程一、 填空題：過點且平行于直線的直線方程為過點且與直線垂直的平面方程為過點且與二平面和平行的直線方程是4當時，直線與平面平行二、 選擇題：1下列直線中平行與坐標面的是（A） （C） （B） （D）2直線與平面的關系是 （A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直3設直線與，則與的夾角為（A）/6 （B）/4 （C）/3 （D）/24兩平行線與之間的距離是（） （） （） （）三、 設直線通過，且與相交，又與垂直，求直線的方程四、 求通過軸，且與平面的夾角為的平面方程五、 求通過點，且又通過直線的平

5、面方程六、 設直線，（）求證與相交，并求交點坐標；（）求與交角；（）求過與交點且與垂直的平面方程；（）求過且與垂直的平面方程；（）求在上的投影直線方程第八章 習題課一、 選擇題：1若直線和直線相交，則=.（A） （B） （C） （D2母線平行于軸且通過曲線的柱面方程是.（A） (B)(C) (D)3曲線的參數方程是.（） (B)（C） (D)二、 填空題：1已知與垂直，且=5，=12，則，=.2.一向量與軸和軸成等角，而與軸組成的角是它們的二倍，那么這個向量的方向角 ，.3已知從原點到某平面所作的垂線的垂足為點，則該平面方程為.三、證明：與垂直.四、求原點關于平面的對稱點.五、求過點垂直于直線

6、，且平行于平面的直線方程.六、求過原點且與直線垂直相交的直線方程.七、討論兩直線與的位置關系.§9.1 多元函數的基本概念一、 已知 ，求。二、 求下列函數的定義域：1 2. 3三、求下列極限，若不存在，說明理由。1 2.3 4. 四、討論函數的連續(xù)性。五、設，證明：對任意，在處連續(xù)。§9.2 偏導數 §9.3全微分(1)一、 計算：1. 設，求，。2. 設函數, ,且,，求。二、 求下列函數的一階偏導數：1. 2.3.三、求下列函數的二階偏導數：1.2. 四、設，求證：。五、求下列函數的全微分：1. 2.3.，求。六、求在點的偏導數。§9.4 多元復合

7、函數的求導法則一、 計算： 1. 設,求。 2. ，其中可微,求。二、 設,，求。三、 設，且可微，求。四、 設，求。五、 已知, 。六、 設，其中連續(xù)偏導，求。七、 設，求。八、 設函數滿足, 作變換，求證：。§9.5 隱函數的求導公式 §9.6 多元微分學的幾何應用（1）1. 設，求。2. 設，求，。3. 設，其中可微，求。4. 設，可微，求。5. 設，求及。6. 設，求、。7. 證明由方程（可微）確定的函數滿足：。8. 求曲線，在處的切線和法平面方程。9. 求曲線在點處的切線和法平面方程。10求曲線，在點處的切線和法平面方程。§9.6 多元微分學的幾何應用（

8、2） §9.7 方向導數和梯度1. 求曲面在點處的切平面與法線方程。2. 求曲面上平行于平面的切平面方程。3. 求函數在點處，沿從點到的方向的方向導數。4. 求函數在點處方向導數的最大值。5. 設，求。6. 求在點處的梯度，并求該梯度方向的方向導數。7. 求在點處沿曲線的內法向量的方向導數。8. 設是曲面在點處指向外側的法向量，求函數在點處沿方向的方向導數。9. 試證：曲面上任意一點處切平面與三個坐標軸所圍四面體體積為常數。§9.8 多元函數的極值及其求法1. 求的極值。2. 求的極值點及極值。3. 求在條件下的極值。4. 設，求在條件下的極值。5. 設，求在區(qū)域上的最大值

9、與最小值。6. 求曲線上到坐標面距離最短的點。7. 求內接于橢球面且棱平行于坐標軸的體積最大的長方體。8. 求周長為的三角形的最大面積。第九章 習題課1. 求偏導數：（1）（2）2. 已知，求。3. 設，其中具有2階連續(xù)導數，求。4. 設，而由方程確定，其中、一階連續(xù)可導，求。5. 設，二階可導，求：、。6. 設，及點，（1）試求：；（2）若在處取最大值，求。7. 設滿足方程，且，求。8. 證明：錐面上任一點的切平面都經過其頂點。9. 求周長為定值的三角形，使它繞自己的一邊旋轉所產生的旋轉體體積最大者。§10.1 二重積分的概念與性質 §10.2 二重積分的計算法（1）1.

10、 利用二重積分的幾何意義計算：（1）（2）由 所圍，求2. 利用估值定理估計下列積分的值：（1）（2）3. 比較下列積分的大?。海?）、（2）、，4. 計算：（1）（2）5. 畫出積分區(qū)域，并計算：（1），其中由所圍（2），其中6. 交換積分次序：（1）（2）（3）§10.2 二重積分的計算法（1）（續(xù)）（2）1. 畫出下列積分區(qū)域，并把化為極坐標系下的二次積分：（1）（2）2. 將下列二次積分化為極坐標形式并計算：（1）（2）3. 利用極坐標計算：（1）（2）4. 計算二重積分：（1），是由，直線圍成（2），其中為5. 求圓錐體被柱面所截下部分的體積。6. 用二重積分表示由三個坐標

11、面及所圍立體的體積，并計算之。§10.3 三重積分（1）（2）1 化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別為：（1）由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域（2）由曲面及所圍成的閉區(qū)域2 計算，其中為。3 計算，其中為平面所圍成的四面體。4 利用三重積分計算由曲面及所圍成的立體的體積。§10.3 三重積分（2）續(xù)1 利用柱面坐標計算下列三重積分：（1），其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域（2），其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域2 利用球面坐標計算下列三重積分：（1），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域（2），其中閉區(qū)域由不等式所確定3 利用三重積分計算由曲面及所圍成的立體的體積。§10.

12、4 重積分的應用 第十章 習題課（1）1 求底圓半徑相等的兩個直交圓柱面及所圍立體的表面積。2 求球面含在圓柱面內部的那部分面積。3 計算下列二重積分：（1），其中（2），其中是圓周所圍成的閉區(qū)域（3），其中第十章 習題課（2）1 交換下列二次積分的積分次序：（1）（2）2 將化為極坐標形式。3. 計算，其中。4. 求曲面包含在圓柱內那部分的面積。5. 設可微，且，求，其中。6. 計算下列三重積分：（1），其中是：與的公共部分（2），其中是由球面所圍成的閉區(qū)域（3），其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域§11.1 對弧長的曲線積分 §11.2 對坐標的曲線積分（1）1 計算下列

13、對弧長的曲線積分：（1），其中為（2），其中為由與所表示的圓的一周（3），其中為曲線上相應于從變到的一段弧（4），其中為內擺線2 設為雙紐線：，求。§11.2 對坐標的曲線積分（2）（3） §11.3 格林公式及其應用（1）1 計算下列對坐標的曲線積分：（1），其中為及軸所圍成的在第一象限內的區(qū)域的逆時針方向繞行的整個邊界（2），其中為逆時針方向繞行的圓周（3），其中為從點到點的一段直線（4），其中為上從點到點的一段弧2 將對坐標的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其中為：（1）在平面內從點到點的直線段（2）沿的上半部分從點到點3 利用曲線積分計算星形線所圍圖形的面積。4 利用

14、格林公式計算下列曲線積分：（1），其中為三頂點分別為、和的三角形正向邊界（2），其中為，且為逆時針方向§11.3 格林公式及其應用（2）（3）一、 驗證下列曲線積分與路徑無關，并求積分值：1、2、沿在右半平面的路線二、利用格林公式計算曲線積分，其中為圓周上從點到點的一段弧。三、驗證下列是某一函數的全微分，并求這樣的一個：1、2、四、在過點與的曲線族中，求一條曲線，使沿該曲線從到的積分的值最小。五、求可微函數，使關系式成立，其中為與軸不相交的任何閉曲線。第十一章 曲線積分及格林公式習題課一、 計算，其中為連接點、的閉折線。二、 計算，其中為圓周，直線和在第一象限內圍成扇形的邊界。三、

15、計算，是從沿到的圓弧。四、計算曲線積分，其中為圓周的正向；為橢圓的正向。五、設曲線積分與路徑無關，其中具有連續(xù)的導數，且，計算。六、設曲線是正向圓周，是連續(xù)的正函數，證明：。§11.4 對面積的曲面積分 §11.5 對坐標的曲面積分(1)一. 計算下列對面積的曲面積分：1. , 其中是上半球面2. , 其中為柱面被平面所截取的部分3. , 其中為平面在第一卦限的部分二. 求面密度為的拋物面殼的質量。三. 如是坐標面面內的一個閉區(qū)域時, 曲面積分與二重積分有什么關系?§11.5 對坐標的曲面積分(2)(3) §11.6 高斯公式(1)一. 計算下列對坐標的

16、曲面積分：1. , 其中是球面的上半部分并取外側2. , 其中是由平面和所圍的四面體表面并取外側二. 求流速場穿過曲面與平面所圍成的立體表面的流量。三. 試把對坐標的曲面積分化成對面積的曲面積分, 其中是平面在第一卦限的部分的上側。四. 利用高斯公式計算曲面積分, 其中是，所圍正方體表面的外側。第十一章 曲面積分及高斯公式習題課一. 計算，為球面的外側。二. 設是球面的外側，求曲面積分。三計算為的下側。四.求曲面積分，為錐面與平面所圍成的區(qū)域的邊界曲面。五. 利用高斯公式計算曲面積分, 其中為界于和 之間的圓柱體的整個表面的外側。六. 計算對坐標的曲面積分,其中是平行六面體的表面并取外側, 為

17、上的連續(xù)函數。§12.1 常數項級數的概念和性質 §12.2常數項級數的審斂法（1）一、根據級數收斂與發(fā)散的定義判斷下列級數的收斂性：1. 2.二、判斷下列級數的收斂性：1. 2.3.三、若級數收斂于1，求級數的和。四、求級數的和。五、判別下列級數的收斂性：1. 2. 3. 4. §12.2 常數項級數的審斂法（1）（2）（3）一、 用比值審斂法判斷下列級數的收斂性：1. 2.3.二、 用根值審斂法判斷下列級數的收斂性：1. 2.3.，其中三、 判斷下列級數是否收斂？如果是收斂，是絕對收斂還是條件收斂？1. 2.3.四、 設收斂，證明絕對收斂。§12.3

18、 冪級數一、 求下列冪級數的收斂域：1. 2.3. 4.5.二、 設級數在處收斂，討論此級數在處的斂散性。三、 利用逐項求導或逐項積分，求下列級數的和函數：1. 2.四、 求級數的和函數，并求出級數的和。§12.4 函數展開成冪級數一、將下列函數展開成的冪級數，并求展開式成立的區(qū)間：1. 2.3. 4.二、將下列函數展開成的冪級數，并求展開式成立的區(qū)間：1.2.三、將函數展開成的冪級數，并求展開式成立的區(qū)間。第十二章 習題課一、 對于正項級數，（1） 若，是否一定發(fā)散？（2） 若，是否一定收斂？二、設正項數列單調減少，并且發(fā)散，判別的斂散性。三、判斷下列級數的收斂性： 1. 2. 3. 4.四、討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性： 1. 2.五、求下列冪級數的收斂域： 1. 2.六、求級