曲面上曲線的測(cè)地曲率向量和測(cè)地曲率

1、曲面上曲線的測(cè)地曲率向量的注記邢家省，張光照（1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100191;2.河南經(jīng)貿(mào)職業(yè)學(xué)院 技術(shù)科學(xué)系，鄭州 450000)摘 要: 指出了測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源意義，給出了測(cè)地曲率計(jì)算公式和劉維爾公式的直接推導(dǎo)。關(guān)鍵詞: 測(cè)地曲率向量; 測(cè)地曲率; 幾何意義；劉維爾公式中圖分類號(hào): O186. 11 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A關(guān)于曲面上曲線的測(cè)地曲率向量和測(cè)地曲率的定義，文獻(xiàn)1-4 中采用的是直接給出了表述定義的式子，沒有給出導(dǎo)致這種定義的幾何意義來(lái)源，使人感到過(guò)于突然。我們指出在導(dǎo)出曲面的第二基本形式的幾何意義時(shí)，蘊(yùn)涵了測(cè)地曲率向量

2、的幾何來(lái)源和意義，這樣就符合人們的認(rèn)識(shí)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，有利于教學(xué)理解。對(duì)測(cè)地曲率的計(jì)算公式和劉維爾公式，我們亦給出了直接的推導(dǎo)過(guò)程。1 測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源在導(dǎo)出曲面的第二基本形式的幾何意義時(shí)蘊(yùn)涵了測(cè)地曲率向量的幾何來(lái)源。設(shè)曲面的參數(shù)方程為 。如果具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，稱曲面為類曲面?，F(xiàn)在任固定曲面上一點(diǎn)，并設(shè)為曲面在點(diǎn)的切平面。 收稿日期：基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171013）。作者簡(jiǎn)介：邢家?。?964-），男，河南泌陽(yáng)人,博士，北京航空航天大學(xué)副教授,研究方向：偏微分方程、微分幾何. 張光照（1972- ），男，河南鹿邑人，副教授，碩士，研究方向：數(shù)論、數(shù)學(xué)應(yīng)用及高職教育.曲線

3、：或是上過(guò)點(diǎn)的一曲線，其中是曲線的自然參數(shù)。設(shè)是曲線上在點(diǎn)鄰近的一點(diǎn)，和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)自然參數(shù)和，即和點(diǎn)的向徑分別為。 根據(jù)泰勒公式，有 ，其中，。 設(shè)為曲面在點(diǎn)的單位法向量，由作切平面的垂線，垂足為，則有，其中是點(diǎn)到切平面的有向距離。由于，所以有，因此，當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小距離的主要部分是，于是。由此導(dǎo)致引入了曲面的第二基本形式的定義及其幾何意義?？紤]曲線在切平面上的投影向量與在切線上投影向量的接近程度 ，進(jìn)而 ， 右端表示在切平面上的投影向量。由此導(dǎo)致了測(cè)地曲率向量定義來(lái)源的幾何意義，并能解釋測(cè)地線的幾何意義。曲面上沿曲線的切向量場(chǎng)的絕對(duì)微分的思想和Levi-Civita平行移動(dòng)概念亦可認(rèn)為來(lái)源于此。

4、2 測(cè)地曲率向量的定義 以表示曲線上點(diǎn)處的單位切向量；以表示曲線上點(diǎn)處的主法向量，是副法向量。 定義1 曲面上 曲線在點(diǎn)的單位切向量的導(dǎo)向量在切平面上的投影向量，稱為曲線在點(diǎn)的測(cè)地曲率向量。 稱為沿曲線的絕對(duì)微分。根據(jù)伏雷內(nèi)公式，有，其中是曲線在點(diǎn)的曲率。稱為曲率向量。故有 ，。以表示與的夾角，則曲面在點(diǎn)的切方向上的法曲率是 ；顯然 與都垂直。命 ，則是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成一右手系。在切平面上的投影向量也就是在上的投影向量 定義2 曲面上曲線的切向量的導(dǎo)向量在上的投影向量，稱為曲線在點(diǎn)的測(cè)地曲率向量。顯然有 ， ， 。定義3 將稱為曲線在點(diǎn)的測(cè)地曲率，記作， 。顯然有， 。定義4 將

5、在上的投影稱為曲線在點(diǎn)的測(cè)地?fù)下?，記作，。顯然有 。3 測(cè)地曲率向量的幾何意義 定理 1 曲面上曲線在 點(diǎn)的測(cè)地曲率向量， 即為在切平面 上的投影曲線在 點(diǎn)的曲率向量.證明 設(shè)曲線的方程是，是曲面在點(diǎn)的法向量。將曲線投影到切平面上, 得到上的一條曲線 , 其方程為，參數(shù)未必是曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)。，設(shè)曲線的弧長(zhǎng)參數(shù)為，記 。 則有 ，時(shí)，代入，得，結(jié)論得證 。 4 曲面上曲線的測(cè)地曲率與曲線的曲率和法曲率的關(guān)系已有測(cè)地曲率的計(jì)算公式。由于，共面，所以，定理2 成立 。證明 由 ， 即得 。5 曲面上曲線的測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式的直接推導(dǎo)為使記號(hào)方便，設(shè)曲面：。記；，；，則有， ； 。設(shè)是曲面上的一條

6、曲線，其參數(shù)方程為或，這里是該曲線的自然參數(shù)。由于，而，于是，我們知道 ，利用Lagrange恒等式 。得 ，代入計(jì)算，得 ， （1）以上是測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式，方便于直接使用。我們僅用向量運(yùn)算法的直接推導(dǎo)過(guò)程給出了測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式。這與利用曲面論的基本方程式，推導(dǎo)出測(cè)地曲率的計(jì)算公式是一致的。事實(shí)上，由曲面論的基本方程式中的記號(hào)， ，故 ， （2）6 正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測(cè)地曲率的Liouville公式的直接推導(dǎo)過(guò)程 對(duì)于曲面上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，有 ，；代入測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式（1）中，整理后得 。對(duì)于曲面上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，。，于是 。 令曲線的切方向與的夾角為，則有，又

7、，比較上面兩式，得，所以有，由此代入上面的表示式中，整理后，得， （3）這個(gè)公式稱為劉維爾（Liouville ）公式。 文獻(xiàn)1中指出的由（2）式可以推導(dǎo)出（3）式，計(jì)算過(guò)程將會(huì)是繁雜的。文獻(xiàn)2,3中為推導(dǎo)出（3）式，采用了另外的直接方法，掩蓋了由（2）式到（3）式的關(guān)系轉(zhuǎn)換。我們發(fā)現(xiàn)利用（1）式推導(dǎo)出（3）式則是簡(jiǎn)單直接的。文獻(xiàn)7中給出了關(guān)于曲面上法曲率的最值的直接求法和性質(zhì)的研究。參考文獻(xiàn)：1梅向明，黃敬之.微分幾何M.第4版.北京：高等教育出版社出版，2008：82-84，146-149.2陳維桓.微分幾何M.北京:北京大學(xué)出版社,2006：139-143,229-241.3 彭家貴，陳

8、卿.微分幾何M.北京：高等教育出版社，2002：43-47，110-117.4馬 力. 簡(jiǎn)明微分幾何M.北京：清華大學(xué)出版社, 2004：27-38.76-81.5 陳維桓.微分幾何例題詳解和習(xí)題匯編M. 北京: 高等教育出版社出版,2010：171-219.6邢家省，王擁軍.曲面上曲線的測(cè)地?fù)下实挠?jì)算公式及其應(yīng)用J.聊城大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2012,25(3):1-4.7邢家省.法曲率最值的直接求法J.吉首大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）.2012，33（4）：11-15. A note about geodesic curvature vector of curves on a surface

9、Xing Jiasheng ,Zhang Guangzhao(1.Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191，China;2.The department of  technology science ，Henan Economy & Trade Vocational College ， Zhengzhou 45000，China)Abstract: In this paper, we give the geometric meaning of the geodesic curvature vector , a direct derivation method about the calculate formu