數(shù)學(xué)建模論文奶牛場(chǎng)問題

1、奶牛場(chǎng)計(jì)劃摘要本文是對(duì)農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行最優(yōu)化建模，首先要求制訂未來五年的生產(chǎn)計(jì)劃, 計(jì)劃應(yīng)貸款的金額、應(yīng)賣的小母牛、以及用來種植糧食的土地，使成本降到最低。其中農(nóng)場(chǎng)的收入包含賣牛的收入，賣牛奶的收入，和賣糧食甜菜的收入（當(dāng)糧食和甜菜充足的情況下），農(nóng)場(chǎng)的支出包括勞動(dòng)力的消費(fèi)，買牛的費(fèi)用，承包農(nóng)場(chǎng)的費(fèi)用，以及購(gòu)買糧食甜菜的費(fèi)用（當(dāng)糧食和甜菜不足的情況下）。通過迭代計(jì)算可以把本模型簡(jiǎn)化成一個(gè)收入和支出的關(guān)系表達(dá)式，將銀行貸款利息結(jié)合到收支上，建立一個(gè)非線性規(guī)劃模型，同時(shí)考慮到糧食的充和不足情況，運(yùn)用0-1規(guī)劃方法解決建模問題。最后我們利用LINGO編程得到最終結(jié)果。關(guān)鍵詞：收入 支出 迭代計(jì)算 0

2、-1規(guī)劃 LINGO一、 問題重述1.1問題背景某公司計(jì)劃承包有200畝土地的農(nóng)場(chǎng)，建立奶牛場(chǎng)，雇傭工人進(jìn)行奶牛養(yǎng)殖經(jīng)營(yíng)。由于承租費(fèi)用較高，公司只能向銀行貸款進(jìn)行生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)。現(xiàn)在要為未來的五年制定生產(chǎn)計(jì)劃，并向銀行還本付息，使公司盈利最大。1.2相關(guān)信息開始承包時(shí)農(nóng)場(chǎng)有120頭母牛，其中20頭為不到2歲的幼牛，100頭為產(chǎn)奶牛。產(chǎn)奶牛平均每頭每年生1.1頭牛，其中一半為公牛，生出后不久即賣掉，平均每頭賣300元；另一半為母牛，可以在出生后不久賣掉，平均每頭賣400元，也可以留下飼養(yǎng)，養(yǎng)至2歲成為產(chǎn)奶牛。幼牛年損失5%；產(chǎn)奶牛年損失2%。產(chǎn)奶牛養(yǎng)到滿12歲就賣掉，平均每頭賣1200元?，F(xiàn)在有20頭

3、幼牛， 0歲和1歲 各10頭；100頭產(chǎn)奶牛，從2歲至11歲，每一年齡的都有10頭。應(yīng)該賣掉的小母牛都已賣掉。所有20頭是要飼養(yǎng)成產(chǎn)奶牛的。 一頭牛所產(chǎn)的奶提供年收入3700元?，F(xiàn)在農(nóng)場(chǎng)最多只能養(yǎng)130頭牛。超過此數(shù)每多養(yǎng)一頭，要投資2000元。每頭產(chǎn)奶牛每年消耗0.6噸糧食和0.7噸甜菜。每頭小牛每年消耗糧食和甜菜量為奶牛的2/3。糧食和甜菜可以由農(nóng)場(chǎng)種植出來。每畝產(chǎn)甜菜1.5噸。只有80畝的土地適于種糧食，產(chǎn)量平均0.9噸。從市場(chǎng)購(gòu)糧食每噸900元，賣出750元。買甜菜每噸700元，賣出500元。 養(yǎng)牛和種植所需的勞動(dòng)量為：每頭小牛每年10小時(shí)；每頭產(chǎn)奶牛每年42小時(shí)；種一畝糧食每年需20

4、小時(shí)；種一畝甜菜每年需30小時(shí)。 其它費(fèi)用：每頭幼牛每年500元，產(chǎn)奶牛每頭每年1000元；種糧食每畝每年150元，種甜菜每畝每年100元。勞動(dòng)力成本為每小時(shí)費(fèi)用為10元。 承包農(nóng)場(chǎng)需要一筆費(fèi)用，其中一部分是土地承租費(fèi)用，每年6萬元（每年底付清），另一部分用于支付開始承包時(shí)農(nóng)場(chǎng)已有的120頭牛的費(fèi)用。平均產(chǎn)奶牛每頭4000元，小牛每頭400元，到承包結(jié)束時(shí)，農(nóng)場(chǎng)的牛按此價(jià)折價(jià)抵賣。 任何投資都是從5年期的貸款得到。貸款的年利率為12%，每年償還本息總共的1/5，五年還清。此外，農(nóng)場(chǎng)主不希望產(chǎn)奶牛的數(shù)目在五年末與現(xiàn)在相比減少超過50%，也不希望增加超過75%。1.3待解決的問題（1）試分析承包人

5、有無盈利的可能性。若有，應(yīng)如何安排5年的生產(chǎn)，使得五年的凈收益為最大？ （2）更進(jìn)一步討論，若遇到銀行利率波動(dòng)（例如上下波動(dòng)2個(gè)百分點(diǎn)），還貸方式改變（如規(guī)定每年還息，改變還本的方式），由于氣候等外因變化引起的農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量與價(jià)格的變化及勞動(dòng)力市場(chǎng)價(jià)格的變動(dòng)等將會(huì)對(duì)你的五年生產(chǎn)計(jì)劃及收益產(chǎn)生怎樣的影響。二、題設(shè)分析2.1問題分析問題一的分析表1開始承包時(shí)每個(gè)年齡的奶牛以及承包費(fèi)用表牛種幼牛產(chǎn)奶牛歲數(shù)01234567891011牛數(shù)101010101010101010101010承包費(fèi)用400元/頭4000元/頭表2每年養(yǎng)牛所需費(fèi)用表牛種幼牛產(chǎn)奶牛費(fèi)用糧食0.6*2/30.6噸/頭甜菜0.7*2/3

6、0.7噸/頭勞動(dòng)力100元/頭420元/頭其他500元/頭1000元/頭表3糧食甜菜清單種植產(chǎn)量勞動(dòng)力費(fèi)用其他費(fèi)用購(gòu)入價(jià)格賣出價(jià)格土地?cái)?shù)糧食0.9噸/畝200元/畝150元/畝900元/噸750元/噸080畝甜菜1.5噸/畝300元/畝100元/畝700元/噸500元/噸0200畝本題要求分析農(nóng)場(chǎng)主5年后能否盈利，并制定5年的生產(chǎn)計(jì)劃設(shè)法使凈收益最大，我們認(rèn)為這是一個(gè)研究資源的合理配置和優(yōu)化問題。農(nóng)場(chǎng)投資最少收益為最大，要合理生產(chǎn)計(jì)劃，減少不必要的成本。 1. 由題意可知，第四年和第五年產(chǎn)出的小牛到第五年末都不可以產(chǎn)奶，所以第四年第五年不飼養(yǎng)剛出生的小奶牛，全部飼養(yǎng)產(chǎn)奶牛盈利最大。 2.種糧食

7、和甜菜均有利可圖，種糧食平均盈利比種甜菜平均盈利大，故可以先滿足糧食產(chǎn)量再考慮甜菜的產(chǎn)量。 問題二的分析1.使用窮舉法求解，先不考慮貸款及還款做出最優(yōu)解，然后通過每年運(yùn)營(yíng)所需費(fèi)用以及貸款所需費(fèi)用計(jì)算出貸款金額。2.貸款問題 任何投資都是從5年期的貸款得到。貸款的年利率為10%，每年償還本息總共的1/5，五年還清。此外，農(nóng)場(chǎng)主不希望產(chǎn)奶牛的數(shù)目在五年末與現(xiàn)在相比減少超過50%，也不希望增加超過75%。3. 勞動(dòng)力市場(chǎng)的價(jià)格變化可能對(duì)不同的牛（12歲母牛，0歲母牛）的養(yǎng)殖數(shù)目，種植飼料的畝數(shù)，以及間接地對(duì)貸款額造成一定影響。此題我們將結(jié)合模型中利率，農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)量和價(jià)格，及勞動(dòng)力價(jià)格這幾個(gè)變量來進(jìn)行分

8、析。三、模型假設(shè)3.1 問題一中的假設(shè)方法一的假設(shè)：假設(shè)一：年初幼牛出生，年末損失。小牛剛出生就賣掉，即剛出生的小牛無損失，12歲的老母牛在年末被賣掉。假設(shè)二：假設(shè)年初的奶牛消耗食物，也就是說即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假設(shè)三：先收益再還貸款錢，而且固定資產(chǎn)如：地皮錢，第一年買的牛的錢，種地錢，養(yǎng)牛的固定費(fèi)用等這些消費(fèi)設(shè)在年初，種地和養(yǎng)奶牛勞動(dòng)力時(shí)長(zhǎng)消費(fèi)統(tǒng)一設(shè)在年末。假設(shè)四： 第五年末的老牛將以一定折扣1200元/頭賣出。方法二的假設(shè)：假設(shè)一：年初幼牛出生，年末損失。小牛剛出生就賣掉，即剛出生的小牛無損失，12歲的老母牛在年末被賣掉。假設(shè)二：糧食是在每年末才能成熟并收割，第一年的牛的全部

9、飼料都從市場(chǎng)上購(gòu)買，以后每年的牛吃上一年種的糧食，不夠的再到市場(chǎng)上購(gòu)買。假設(shè)三：不考慮價(jià)格指數(shù)CPI。3.2 問題二中的假設(shè)1.銀行按照復(fù)利計(jì)息，即農(nóng)場(chǎng)每年歸還1/5(1+r)5M2.銀行貸款利率穩(wěn)定。3.每年等額還款。四、符號(hào)說明方法一的符號(hào)說明 為0-1變量 為判斷系數(shù) 為第i年生育的母牛留下來數(shù)量 為第i年年初幼牛數(shù)量 為第i年年初奶牛數(shù)量 為第i年年末幼牛數(shù)量 為第i年年末奶牛數(shù)量 為第i年幼牛消耗糧食量 為第i年幼牛消耗甜菜量 為第i年奶牛消耗糧食量 為第i年奶牛消耗甜菜量 為第i年種植糧食噸數(shù)為第i年種植甜菜噸數(shù) 為第i年種植糧食畝數(shù)（甜菜為200-） 為第i年總消費(fèi) 為第i年的固

10、定投資 為第i年養(yǎng)牛固定費(fèi)用 為第i年種地固定消費(fèi)為第i年種地勞動(dòng)力時(shí)長(zhǎng)消費(fèi)為第i年養(yǎng)奶牛勞動(dòng)力時(shí)長(zhǎng)消費(fèi)為第i年年末還款數(shù)額 為第i年總收益 為第i年種地總收益賣幼牛和奶牛收益奶牛產(chǎn)奶收益 為第i年凈利潤(rùn) 為五年內(nèi)的總利潤(rùn) 貸款總額 五年內(nèi)應(yīng)還總錢數(shù)（也就是本息） 第i年年初貸款剩余錢五、模型的建立及求解51問題一的求解5.1.1 模型準(zhǔn)備（1）運(yùn)籌學(xué)0-1規(guī)劃只取0或1的變量，稱為0-1變量，若純整數(shù)規(guī)劃決策的變量都是0-1變量，則稱為0-1規(guī)劃。在討論線性規(guī)劃時(shí)，如果研究對(duì)象可以歸結(jié)為互相對(duì)立的兩種可能情況，那么引入0-1變量，就能夠?qū)⑺M(jìn)一步化成0-1規(guī)劃。數(shù)學(xué)模型為0-1規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型：

11、 如果0-1規(guī)劃模型不是標(biāo)準(zhǔn)型，總可以通過適當(dāng)變換，使其化為標(biāo)準(zhǔn)型。方法一5.1.2.1模型的建立設(shè)每年出生留下來的小母牛為，每年年初所飼養(yǎng)的小母牛，成熟奶牛，可分別表示為=20+=100=+0.95(10+)=100.95+900.98 =97.7=0.95+=0.90+ 95.14=0.95=0=用表格可表示為：年初奶牛分布表（單位：頭）年齡0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 第一年初10+L110.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00 第二年初L20.95(10+L1)9.50 9.8

12、0 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 9.80 第三年初L30.95L20.952(10+L1)9.31 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 9.60 第四年初0.00 0.95L30.952L20.93(10+L1)9.12 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 9.41 第五年初0.00 0.00 0.952L30.953L20.954(10+L1)8.94 9.22 9.22 9.22 9.22 9.22 9.22 根據(jù)農(nóng)場(chǎng)主的想法我們知道要保持每年養(yǎng)的數(shù)量保持在（60210）即滿足 接下來我們計(jì)

13、算賣掉的幼牛與奶牛的數(shù)量我們記為第i年賣的幼公牛數(shù)量，我們記為第i年賣的幼母牛數(shù)量我們記為第i年末賣的奶牛數(shù)量則有如下關(guān)系： =0.55=-于是我們就可以求出第i年賣奶牛收益：=300+400+1200（1）我們知道幼牛與奶牛的分布，可以求出每年需要的糧食和甜菜數(shù)量= = （2）（3）已知需求的食物量，我們還想知道我們種植的糧食是否夠吃，當(dāng)然不管是否夠吃我們都會(huì)把地種完，根據(jù)前面假設(shè) 為第i年種植糧食畝數(shù)，故甜菜畝數(shù)為200-。于是可以求出每年產(chǎn)的食物量分別為：（糧食）=0.9，<=80（甜菜）=1.5（200-）接下來求種地的固定消費(fèi) 種地勞動(dòng)力時(shí)長(zhǎng)消費(fèi) 我們接下來把其他消費(fèi)也求出來第

14、i年的固定投資為 第i年養(yǎng)牛固定費(fèi)用為 第i年養(yǎng)奶牛勞動(dòng)力時(shí)長(zhǎng)消費(fèi) 第i年年末需要償還貸款數(shù)額為 接下來我們求第i年的總消費(fèi)，但是有一件事我們需要先提前聲明，由于農(nóng)場(chǎng)場(chǎng)地的限制，我們?cè)陴B(yǎng)的數(shù)量超過130頭時(shí)，要額外投資2000元，知道了這一點(diǎn)，我們需要引入運(yùn)籌學(xué)中的01變量，具體做法如下： 接下來我們計(jì)算收益，先計(jì)算奶牛產(chǎn)奶收益，我們前面求出年初的幼牛和奶牛的分布，根據(jù)實(shí)際情況可以知道，每年年末產(chǎn)奶的奶牛數(shù)量與每年年初的奶牛數(shù)量相同，因?yàn)槟昴┑挠着ｋm然有部分達(dá)到了2歲，可是還沒有開始產(chǎn)奶，所以根據(jù)分析我們可以求出產(chǎn)奶收益為 上面我們已經(jīng)把賣幼牛和奶牛的收益求出來了，也求出來了產(chǎn)奶收益，我們接下

15、來分析最后一種收益，也就是第i年種地總收益。我們由于事先不完全知道每年年初養(yǎng)的具體的奶牛和幼牛數(shù)量，所以我們不知道種的食物是否夠用，如果夠用我們可以把多余的賣掉，也就是收益，如果不夠，我們需要購(gòu)買，原則上屬于消費(fèi)部分，我們只需要加上負(fù)號(hào)就可以了，也就是負(fù)收益。此時(shí)也很復(fù)雜，我們同樣引入0-1變量，具體做法如下： （此時(shí) ）所有收益均以求出，我們算第i年總收益： 每年年收益以及消費(fèi)求出之后，我們求出第i年凈利潤(rùn)表達(dá)式為：而我們文中最后說到消費(fèi)的所有資金是從銀行借貸，利率為r=12%，作為農(nóng)場(chǎng)主我們肯定希望借的越少越好，也就是說如果我們第一年利潤(rùn)已經(jīng)足夠償還，我們可以不進(jìn)行借貸.我們通過前面的分析

16、已經(jīng)寫出第i年的凈利潤(rùn)的表達(dá)式，但我們不知道凈利潤(rùn)具體為多少，所以我們需要根據(jù)這些表達(dá)式進(jìn)行一些處理，具體做法如下： 可以這樣理解，前i年通常情況下為負(fù)收益，故貸款數(shù)額應(yīng)該保證把這些負(fù)收益足夠抵消，根據(jù)假設(shè)三，我們也不難理解第二個(gè)式子。上面的式子用到了 ，而且題中也給出了貸款利率，還款方式，我們?cè)谇懊嬉惨呀?jīng)假設(shè)了貸款數(shù)額，所以接下來我們很容易把文中的最后一個(gè)貸款問題分析出來，具體如下： 模型的求解第一問已經(jīng)全部分析完畢，由于變量和等式很多，而且此問題屬于最優(yōu)化問題，并且第二問是敏感度問題，為了是模型簡(jiǎn)單明了化，我們做出如下假設(shè)：假設(shè)一：假設(shè)奶牛每年年初出生，年末賣掉老奶牛，并且損失率都發(fā)生在年

17、末假設(shè)二：假設(shè)年初的奶牛消耗食物，也就是說即使有部分奶牛中途死亡也消耗了食物假設(shè)三：先收益再還貸款錢，而且固定資產(chǎn)如：地皮錢，第一年買的牛的錢，種地錢，養(yǎng)牛的固定費(fèi)用等這些消費(fèi)設(shè)在年初，種地和養(yǎng)奶牛勞動(dòng)力時(shí)長(zhǎng)消費(fèi)統(tǒng)一設(shè)在年末我們選擇利用lingo軟件求解，具體做法見附錄，這里我們只給出lingo運(yùn)行結(jié)果如下： 5.1.3方法二.1模型的建立（一）目標(biāo)函數(shù)： ，（二）約束條件： 設(shè)貸款總額M，賣掉的0歲母牛的頭數(shù) ，賣掉的糧食噸數(shù)，賣掉的甜菜噸數(shù)買入的糧食噸數(shù)Wmj，買入的甜菜噸數(shù)Wej，六個(gè)變量作為決策變量，并用(W3j+1+WsjWmj)/O1 表示種植糧食的土地面積S1j，用(Wsj+W4

18、j+1Wej)/O2表示種植甜菜的土地面積S2j，則（1）14年末收益：賣奶收益Wkj=F1j*3700 賣牛收益 Wcj=Nj(A=12)*1200+Nj(Am=0)*300+Nj(Af =0)*400 賣糧食和甜菜的收益Wqj=Wrj*Pr1+Wsj*Ps1總收益Wj=Wkj+Wcj+Wqj= F1j*3700+ Nj(A=12)*1200+Nj(Am=0)*300+Nj(Af =0)*400+ Wrj*750+Wsj*50014年末花費(fèi)：勞動(dòng)力花費(fèi) Clj=(F1j*42+F2j*10+S1j*20+S2j*30)*P1 養(yǎng)?；ㄙM(fèi)Csj= F1j *1000+ F2j *500+Wmj*

19、Pr2+Wej*Ps2 地租 Rsj=60000+S1j*150+S2j*100 貸款本利和Cbj = 1/5M*(1+r)5 r=12%(年利率) 超過130頭年的額外投資 第一年超過130頭牛的額外投資 總花費(fèi)注：W3j = (F1j + F2j *2/3)*0.6，W4j =（F1j + F2j *2/3）*0.7) （2）第五年凈收益 （211歲成年母?？倲?shù)）， （12歲母?？倲?shù)） 是賣的0歲公?？倲?shù) N1(Am=0)=55,N1(Af=12)=9.8.2模型的求解將已知數(shù)代入LINGO解得結(jié)果如下：Global optimal solution found. Objective va

20、lue: 324122.3 Objective bound: 324122.3 Infeasibilities: 0.2546585E-10 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 24 Variable Value Reduced Cost Z1 6815.184 0.000000 Z2 4582.757 0.000000 Z3 199.7376 0.000000 Z4 226131.4 0.000000 Z5 235050.0 0.000000 Z6 572320.0 0.000000 S1 410546.6 0.000000 X

21、1 100.0000 0.000000 X2 98.00000 0.000000 X3 102.0000 730.5750 R1 47.75457 0.000000 X4 125.0000 -242.3823 R2 15.72613 0.000000 X5 146.0000 -2743.061 R3 19.84107 0.000000 X6 174.0394 0.000000 R4 34.44598 0.000000 Y1 27.24543 0.000000 S2 392002.5 0.000000 Y2 54.55703 0.000000 S3 413261.0 0.000000 Y3 72

22、.52411 0.000000 S4 316200.0 0.000000 Y4 0.000000 1360.000 S5 361360.0 0.000000 Y5 0.000000 0.000000 R5 80.30000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 324122.3 1.000000 2 0.000000 -9710.240 3 0.000000 9839.288 4 0.000000 7871.723 5 0.000000 4733.518 6 0.000000 3301.939 7 0.000000 0.000000 8 0.00

23、0000 -1.762342 9 0.000000 -1.000000 10 0.000000 -1.000000 11 0.000000 -1.000000 12 0.000000 -1.000000 13 0.000000 1.000000 14 0.000000 1.000000 15 0.000000 1.000000 16 0.000000 1.000000 17 0.000000 1.000000 18 0.000000 1.000000 19 47.75457 0.000000 20 15.72613 0.000000 21 19.84107 0.000000 22 7.2454

24、29 0.000000 23 38.17387 0.000000 24 36.25893 0.000000 25 34.30402 0.000000 26 0.000000 400.0000 27 0.000000 -2267.546 28 0.000000 -960.0000 29 0.000000 -960.0000 30 0.000000 400.0000 31 0.000000 -960.0000 32 124.0394 0.000000 33 0.9606225 0.000000截圖如下繪制成表格如下：年份年初產(chǎn)奶牛頭數(shù)年初賣出的幼年母牛年初賣出后剩余的幼母牛數(shù)年初?？倲?shù)賣出的12歲

25、母牛頭數(shù)年初賣牛后超過130頭的牛的數(shù)目年末支出的費(fèi)用當(dāng)年一年的年末凈利潤(rùn)第一年10048271279.80410546.66815.184第二年9816541329.62392002.54582.757第三年10220731759.445413261199.7376第四年1253401259.20316200226131.4第五年146800146016361360235050六、模型評(píng)價(jià)模型優(yōu)點(diǎn)模型缺點(diǎn)模型改進(jìn)七、參考文件1謝金星 薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件，北京：清華大學(xué)出版社，2005年。2 杜棟 龐慶華， 現(xiàn)代綜合評(píng)價(jià)方法與案例精選，清華大學(xué)出版社。八、附錄附錄一Li

26、ngo程序如下：model:max=z1+z2+z3+z4+z5+Z6-100*4000-20*400-(1+0.12)5-1)*s1;x1=100;x2=x1*0.98;x3=x2*0.98-10*0.98*0.98+10*0.95*0.95+(x1*0.55-r1)*0.95*0.95;x4=x3*0.98-10*0.98*0.98*0.98+(x2*0.55-r2)*0.95*0.95;x5=x4*0.98-10*0.98*0.98*0.98*0.98+(x3*0.55-r3)*0.95*0.95;x6=x5*0.98+(x4*0.55-r4)*0.95*0.95;s1=(0.6*x1+0.4*y1)*900+20*80*10+150*80+120*30*10+120*100+y1*100+y1*500+x1*42*10+x1*1000+(x1*0.55-r1-10)*2000+60000+(0.7*x1+0.7*2/3*y1)*700;s2=(0.6*x2+0.4*y2-72)*900+20*80*10+150*80+120*30*10+120*100+y2*100+y2*500+x2*42*10+x2*1000+(x2*0.55-r2)*2000+60000;s3=(0.6*x3+0.4*y3-72)