數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

1、§13.6 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入基礎(chǔ)自測(cè)1.（2008·浙江理，1）已知a是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，則a等于（ ）A.1B.-1C.D.-答案A2.設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)，則z為純虛數(shù)的必要不充分條件是（ ）A.a=0B.a=0且b0C.a0且b=0 D.a0且b0答案A3.滿(mǎn)足條件|z|=|3+4i|的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是 （ ）A.一條直線(xiàn)B.兩條直線(xiàn)C.圓D.橢圓答案C4.（2008·遼寧理，4）復(fù)數(shù)+的虛部是（ ）A.iB.C.-iD.-答案B5.設(shè)為復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)z同時(shí)滿(mǎn)足z-=2i，=iz，則z= .答案 -1+i例1 已知復(fù)數(shù)z

2、=+(a2-5a-6)i(aR),試求實(shí)數(shù)a分別取什么值時(shí)，z分別為：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).解 （1）當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí)，則有，,a=6，即a=6時(shí)，z為實(shí)數(shù).（2）當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，則有a2-5a-60且有意義，a-1且a6且a±1.a±1且a6.當(dāng)a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)時(shí)，z為虛數(shù).（3）當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，有,.不存在實(shí)數(shù)a使z為純虛數(shù).例2 已知x,y為共軛復(fù)數(shù)，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.解 設(shè)x=a+bi (a,bR)，則y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i

3、,根據(jù)復(fù)數(shù)相等得,解得或或或.故所求復(fù)數(shù)為或或或.例3 計(jì)算：（1）;(2);(3)+;(4) .解 （1）=-1-3i.(2) =+i.(3) +=+=+=-1.(4) =-i.例4 (12分)如圖所示，平行四邊形OABC，頂點(diǎn)O，A，C分別表示0，3+2i,-2+4i，試求：（1）表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)；（2）對(duì)角線(xiàn)所表示的復(fù)數(shù);(3)求B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解 （1）=-，所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.=，所表示的復(fù)數(shù)為-3-2i.4分（2）=-，所表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.8分(3)=+=+,表示的復(fù)數(shù)為(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6

4、i.12分1.已知mR，復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i,當(dāng)m為何值時(shí)，（1）zR；（2）z是純虛數(shù)；（3）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二像限；（4）z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y+3=0上.解 （1）當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),則有m2+2m-3=0且m-10得m=-3,故當(dāng)m=-3時(shí)，zR.（2）當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí),則有解得m=0，或m=2.當(dāng)m=0或m=2時(shí)，z為純虛數(shù).（3）當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面第二像限時(shí),則有解得m-3或1m2，故當(dāng)m-3或1m2時(shí)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二像限.（4）當(dāng)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線(xiàn)x+y+3=0上時(shí),則有+,得=0，解得m=0或m=-1±.當(dāng)m=0或m=-1±時(shí)，點(diǎn)Z在直

5、線(xiàn)x+y+3=0上.2.已知復(fù)數(shù)z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos+(+3sin)i (R).若z1=z2,求的取值范圍.解 z1=z2,m+(4-m2)i=2 cos+(+3sin)i,由復(fù)數(shù)相等的條件，得,=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4(sin-)2-,-1sin1,當(dāng)sin=時(shí)，min=-;當(dāng)sin=-1時(shí)，max=7,-7.3.計(jì)算下列各題（1）；（2）+.解 （1）=i（1+i）4=i（1+i）22=i（2i）2=-4i.（2）+=+=i+=i+i1 003=i+i4×250+3=i+i3=i-i=0.4.已知關(guān)于x的

6、方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）有實(shí)數(shù)根b.（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|-a-bi|-2|z|=0，求z為何值時(shí)，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解 （1）b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）的實(shí)根，（b2-6b+9）+（a-b）i=0，故 解得a=b=3.（2）設(shè)z=x+yi （x，yR），由|-3-3i|=2|z|，得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y-1）2=8.Z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)1（-1，1）為圓心，2為半徑的圓.如圖，當(dāng)Z點(diǎn)在OO1的連線(xiàn)上時(shí)，|z|有最大值或最小值.|OO1|=，半徑r=2，當(dāng)z=1-i

7、時(shí)，|z|有最小值且|z|min=.一、選擇題1.（2008·天津理，1）i是虛數(shù)單位，等于（ ）A.-1B.1C.-iD.i答案A2.（2008·廣東文，2）已知0a2，復(fù)數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是（ ）A.（1，5）B.（1，3）C.（1，）D.（1，）答案C3.（2008·山東文，2）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若z+=4，z·=8，則等于（ ）A.iB.-iC.±1D.±i答案D4.若(a-2i)i=b-i，其中a、bR,i是虛數(shù)單位，則a2+b2等于 （ ）A.0 B.2C.5D.答案 C5.在復(fù)平面上，一個(gè)正

8、方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,-2+i，0，則第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 （ ）A.3+i B.3-iC.1-3iD.-1+3i答案D6.設(shè)a是實(shí)數(shù)，且+是實(shí)數(shù)，則a等于（ ）A.B.1C.D.2答案B二、填空題7.（2008·北京理，9）已知（a-i）2=2i,其中i是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)a= .答案 -18.(2008·湖北理，11)設(shè)z1是復(fù)數(shù)，z2=z1-i1（其中1表示z1的共軛復(fù)數(shù)），已知z2的實(shí)部是-1，則z2的虛部為 .答案 1三、解答題9.已知z2=8+6i,求z3-16z-.解 原式=-=-=-,|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由z2=8+

9、6i=±（3+i)2,z=±(3+i),當(dāng)z=3+i時(shí)，原式=-60+20i；當(dāng)z=-3-i時(shí)，原式=60-20i.10.已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一像限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解 設(shè)z=x+yi (x、yR),z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2.=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+ (x-4)i.由題意得x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一像限,所以,解得2a6,實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，6）.11.是否存在復(fù)數(shù)z，使其滿(mǎn)足·z+2i=3+ai (aR),如果存在，求出z的值；如果不存在，說(shuō)明理由.解 設(shè)z=x+yi (x,yR)，則x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.消去x得y2+2y+-3=0,=16-a2.當(dāng)且僅當(dāng)|a|4時(shí)，復(fù)數(shù)z存在，此時(shí)z=-i.12.設(shè)zC，求滿(mǎn)足z+R且|z-2|=2的復(fù)數(shù)z.解 方法一 設(shè)z=a+bi (a,bR), 則z+=a+bi+=a+bi+=a+iR.b=.b=0或a2+b2=1.當(dāng)b=0時(shí),z=a,|a-